高等數(shù)學(xué)考研知識點(diǎn)總結(jié)4

1、第四講 定積分與反常積分一、 考試要求1 理解（了解）定積分的概念。2 掌握定積分的性質(zhì)及換元積分法與分部積分法，掌握（了解）定積分中值定理。3 會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡單無理函數(shù)的積分。4 理解積分上限的函數(shù)，會求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓一萊布尼茨公式。5 了解反常積分的概念，會計算反常積分。二、內(nèi)容提要 1 定義 2 若f(x)在a,b上連續(xù)，則存在，特別 3 4 性質(zhì)： (1) (2) (3) (4) 不等式性質(zhì) (5) 估值定理 ， 則 (6) 積分中值定理：若f(x)在a,b上連續(xù)，則，注：可在開區(qū)間（a,b）內(nèi)取到. 一般地，f(x)在a,b上連續(xù), g(x)在a,b上可積且不變

2、號，則 5 定積分的計算 (1) 牛頓萊布尼茲公式 (2) 換元積分法 (3) 分部積分法 6 反常積分 （1）無界區(qū)域上的反常積分：設(shè)是在 上的一個原函數(shù)，且均存在，則稱收斂，且定義=；如果 中有一個不存在，則稱發(fā)散。同樣可定義 的收斂，發(fā)散，及其值。如果存在使得和都收斂，則稱收斂，且定義=+。（2）無界函數(shù)的反常積分：設(shè)在 上連續(xù)但無界，而是在 上的一個原函數(shù)，且存在，則稱收斂，且定義=；如果 不存在，則稱發(fā)散。如果在 上連續(xù)但無界，同樣可定義 的收斂，發(fā)散，及其值。設(shè)存在使得在 和上均連續(xù)但無界，如果和都收斂，則稱收斂，且定義=+。（3）幾個重要的反常積分（i）若則 （ii）若則 （ii

3、i）若則, 0k1時收斂；當(dāng)k1發(fā)散。（iv）； 三 、重要公式與結(jié)論1、 若在上可積（特別它在其上只有有限個第一類間斷點(diǎn)），則在上連續(xù)；若在上連續(xù)，則在可微，它是在上的一個原函數(shù)。 （變限積分求導(dǎo)）若連續(xù)，而可微，則可微，且 2、 =3、 設(shè)f(x+T)=f(x),則 特別，四、 典型題型與例題題型一、定積分的概念及性質(zhì)解題提示 1）利用定積分定義求數(shù)列極限；2）積分為常數(shù).例1、設(shè) ，則（A） MNP （B） NMP （C） PMN （D） PN0時連續(xù)，f(1)=3且，試求f(x).題型三、定積分的計算 方法：1、定積分的計算與不定積分的計算類似，要熟練掌握如下幾種基本方法分項(xiàng)積分法，湊

4、微分法，換元積分法，分部積分法。2、與不定積分不同的是作變量替換時相應(yīng)地要換積分限，不必變量還原了。同時，要注意定積分計算的一些特點(diǎn)，如（1）奇（偶）函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分。（2）周期函數(shù)的積分，定積分的幾何意義等。3、如果被積函數(shù)的原函數(shù)可求出，一般可用牛頓萊布尼茲公式求定積分。1、 利用常用的方法計算定積分(1) 基本方法：牛萊公式，換元積分法，分部積分法例12、求例13、求 ， 或 ， 例14、求例15、求 2、利用被積函數(shù)的奇偶性及積分區(qū)間的對稱性方法：利用公式 例16、求3、利用被積函數(shù)的周期性例17、求例18、設(shè)n為自然數(shù)，求I=4、利用定積分的幾何意義計算積分例19、求5、 循環(huán)

5、計算法例20、求 （注：上限不一樣）解：令x=-t,dx=-dt,x：0時，t：0,則I=于是故I=.例21、 求 解 對右邊第二個積分：作代換，令 6、作變換 則 用此方法可以方便的求一些定積分例22、求分析 相當(dāng)于，令解：令， 則 從而 例23、求分析 相當(dāng)于，令解：令，則 從而 評注：利用變換，則例24、求分析 相當(dāng)于，令解：令，則 評注：一般地7、利用分部積分法例25、設(shè)，求例26、（101）. 8、 幾類特殊問題 1) 分段函數(shù)求積分例27、(043,4分) 設(shè),則 2) 含有絕對值的積分例28、求分析 注意到關(guān)于t的被積函數(shù)中含有參數(shù)，積分應(yīng)對的取值分情況討論。但， 的取值分三種情

6、形，、解：（1）當(dāng)時， （2）當(dāng)時， （3）當(dāng)時，令，得分界點(diǎn)，注：在被積函數(shù)中若有參數(shù)，一定要討論參數(shù)的取值，再積分。 3) 含有抽象函數(shù)的積分例29、已知f(p)=2, 4)反常積分的計算反常積分是變限積分的極限，因此由定積分的運(yùn)算法則及極限運(yùn)算法則就可得到反常積分的運(yùn)算法則。下對無窮積分作一說明，無界函數(shù)的積分類似。1、 設(shè)在連續(xù)，在連續(xù)，。若存在，則2、設(shè)，收斂，則 ，其中為常數(shù)；3、設(shè)，在有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，若存在，收斂，則 ，這里例30、（002）例31、（011）例32、求 (混合型反常積分) 例33、利用冪級數(shù)計算積分 解 于是 題型四、 定積分有關(guān)命題的證明 (1) 定積分等式的證明 方法：1) 換元積分法；2) 分部積分法；3)參數(shù)變易法 定積分等式的證明常用如下幾種方法1. 換元積分法（由積分限及被積分函數(shù)確定變量代換的形式）2. 分部積分法3. 轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒等式，如可把中的b或a換為x，另外還應(yīng)掌握一些積分技巧。例34證明例35、設(shè)在有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，又，求證： (2) 定積分不等式的證明 基本方法：積分估值定理；單調(diào)性(參數(shù)變易法)；微分、積分中值定理；泰勒公式； 題設(shè)條件：f(x)在a,b上 1)連續(xù)；2)一階可導(dǎo)；3)二階以上可導(dǎo)定積分不等式的證明常用如下幾種方法1、定積分的性質(zhì)（估值等）2、分部積分法3、引進(jìn)輔助函數(shù)（如變?yōu)榈龋?/p>