隨機過程習題

1、5.1設有周期信號如圖題5-1所示，求它相關函數(shù)和功率譜密度。T/2-1解：首先，于是，所以，該信號的時間相關函數(shù)為確定性周期信號的功率譜密度是其時間相關函數(shù)的傅氏變換，即或者5.25.35.4設有二平穩(wěn)隨機過程，它們的功率譜密度分別為，（1）（2）求其相應的相關函數(shù)及其均方值。(1) 解：因為所以，相關函數(shù)為均方值為(2) 解：因為所以相關函數(shù)為： 均方值為：5.5 設一平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度如圖題5-5所示，即，求其相關函數(shù)及其均方值。圖題 5-5解：參見教材348頁圖5-10，將其中的用代替，得相關函數(shù)于是均方值為5.6 設有線性時不變動態(tài)系統(tǒng)，其沖激響應為。如果輸入為一平穩(wěn)隨機過程，

2、它的相關函數(shù)為，協(xié)方差函數(shù)為，試證輸出過程的相關函數(shù)可以表示為其中，。稱為系統(tǒng)的相關函數(shù)，并證明(1) 證明：輸出過程為作變換：則上式 =(2) 證明：因為而 = =及而。所以原式得證。5.7 設有一“平均電路”如圖題5-7所示，即當輸入為時，平均電路的輸出為 圖題 5-7平均電路(1) 試證該電路的沖激相應為(2) 求第6題所定義的系統(tǒng)的相關函數(shù)為（1） 如果該電路的輸入為一平穩(wěn)隨機過程，其協(xié)方差函數(shù)為用上題的方法求輸出過程的方差解：(1) 由給定的輸入和輸出之間的關系可得：對上式兩邊取拉氏變換得：于是得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為它對應的沖激函數(shù)為(2) 第6題中所定義的系統(tǒng)的相關函數(shù)為即(3) 由第

3、6題的結論可知于是，當時當時5.8 設有線性時不變系統(tǒng)，它的沖激響應為其中，為常數(shù)，U(t)階躍函數(shù)。如果系統(tǒng)的輸入為一寬平穩(wěn)隨機過程，它的相關函數(shù)為 (0)。求輸入輸出間的互 相關函數(shù)，設，畫出，問是否對稱于=0的軸。解：輸入輸出間的互相關函數(shù)為因此， 當=3，=1時，如下圖所示。顯然，不對稱于=0的軸。解決這個問題的另一種方法是功率譜方法。首先，輸出和輸入的互譜密度函數(shù)為其中，于是，互譜密度函數(shù)為其對應的互相關函數(shù)為因此，輸入和輸出的互相關函數(shù)為5.95.105.11 有實平穩(wěn)隨機過程，其相關函數(shù)為，試證明證明：因為又因為，所以，5.12 試證明表5-12中相應的功率譜密度表達式的正確性。

4、表中代表平穩(wěn)隨機過程，代表的相關函數(shù)，代表的功率譜密度。表5-12 過 程相 關 函 數(shù)功 率 譜 密 度（已知）（已知）（1）（2）（3）（4）解：(1) 顯然的相關函數(shù)為，于是的功率譜密度為(2) 于是的功率譜密度為=（3）利用分步積分，遞推過程同（2），推導略。（4）5.13. 設有平穩(wěn)隨機過程，它的樣本函數(shù)如圖題5-13(a)所示。每個脈沖的寬度為，幅度為，即每個脈沖的面積為1，而脈寬；脈沖的出現(xiàn)規(guī)律符合泊松分布，即單位時間內(nèi)出現(xiàn)的平均脈沖個數(shù)為l，不相交疊的時間間隔內(nèi)出現(xiàn)的脈沖數(shù)是相互統(tǒng)計獨立的，n=1，2，3，；每個脈沖極性可正可負，出現(xiàn)正或負的概率各為，不同脈沖出現(xiàn)正或負是相互統(tǒng)

5、計獨立的。(1) 求此隨機過程的相關函數(shù)(2) 求它的功率譜密度(3) 若把該隨機信號送入積分電路，求其輸出的樣本函數(shù)。輸出隨機信號的功率譜密度為何？（電路如圖5-13(b)所示）圖題5-13(a)圖題5-13(b)解：（1）在圖5-13中，脈寬時得到的是一個復合泊松脈沖過程，也就是一個復合泊松過程的微分過程。因此可以先求復合泊松過程的相關函數(shù)，然后再求復合泊松脈沖過程的相關函數(shù)。由其產(chǎn)生的復合泊松脈沖過程，有：此處，故（2）功率譜密度函數(shù)為相關函數(shù)的傅立葉變換：（3）積分電路的傳遞函數(shù)為故輸出的功率譜函數(shù)為：=樣本函數(shù)如圖題5-14。5.14 設有平穩(wěn)隨機過程，它的樣本函數(shù)如圖5-14所示，

6、每個脈沖的波形為負指數(shù)波形即，為脈沖的出現(xiàn)時刻，它符合泊松分布規(guī)律，且單位時間內(nèi)出現(xiàn)的脈沖平均個數(shù)。求證的功率譜密度為現(xiàn)有二個線性系統(tǒng)，它們的轉移函數(shù)分別為 ， 其中，如圖5-14所示。隨機信號分別送入這兩個線性系統(tǒng)，得到的輸出分別為和。求輸出功率譜密度和，并問和內(nèi)各脈沖的波形為何？0t圖5-14解：由于隨機過程中的每個脈沖的波形相同，只不過極性和出現(xiàn)時刻不同，且出現(xiàn)時刻符合泊松分布規(guī)律。因此可以看作是以5.13題的復合泊松脈沖過程作為輸入，以脈沖的基本波形作為沖激響應的系統(tǒng)的輸出，即如下圖所示。復合泊松脈沖過程其中，系統(tǒng)的沖激響應對應的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為由5.13題可知輸入的復合泊松脈沖過程的相

7、關函數(shù)為，即功率譜密度函數(shù)為。于是可得的功率譜密度函數(shù)為分別送入圖5-14所示的兩個線性系統(tǒng)，輸出的隨機過程和的功率譜密度分別為輸入隨機過程的一個基本脈沖波形通過兩個系統(tǒng)的輸出分別為和由此可見，輸出的隨機過程和的功率譜密度函數(shù)雖然相同，但是時間波形相差一個相位(如圖示)。所以，功率譜密度函數(shù)不包含相位信息。5.15 設有圖題5-15所示的線性反饋系統(tǒng)，其中h (t)，k (t)分別為兩個方塊圖的沖激響應，H(if)，K(if)為其相應的轉移函數(shù)，e (t)代表誤差信號，即輸入信號與輸出信號之差。如果在輸入端送入的信號是一平穩(wěn)隨機過程(t)，在系統(tǒng)中又 進入一平穩(wěn)隨機過程n (t)（即噪聲）,若

8、(t)，n (t)是相關的，又是聯(lián)合平穩(wěn)的。求：(1) 輸出端的(t)功率譜密度S(f)；(2) 在相減器輸出端獲得的誤差信號e (t)的功率譜密度Se (f)。解：系統(tǒng)的時域方程為 解此方程得將上式簡寫成。上述關系的系統(tǒng)框圖為A(jf)B(jf)(t)- e(t) h(t) +n(t) k(t)= e(t) (3)(if)- E(if)H(if) K(if)+N(if)K(if)=E(if) (4). (if)-(if)=E(if) (5)所以，(if)= 1-1+ H(if) K(if)(if)+ K(if) 1+ H(if) K(if)NifE(if)= 1+ H(if) K(if) (if)- K(if)1+ H(if) K(if)Nif令: A=1+ H(if) K(if),B= K(if) 1+ H(if) K(if),C=1-1+ H(if) K(if)(t)= (t) +(t)S(f)=S(f) +S (f) +S(f)+S(f)式中S(f