隨機變量的數(shù)字特征習題課范文

1、第12講 隨機變量的數(shù)字特征習題課教學目的：掌握隨機變量的數(shù)字特征，了解切比雪夫不等式和大數(shù)定律。教學重點：理解數(shù)學期望和方差的概念，掌握它們的性質與計算，熟悉常用分布的數(shù)學期望和方差。教學難點：隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望。教學時數(shù)：2學時教學過程：一、知識要點回顧1. 隨機變量的數(shù)學期望對離散隨機變量 若，則假定這個級數(shù)絕對收斂，否則就沒有數(shù)學期望。對連續(xù)隨機變量 假定這個廣義積分絕對收斂，否則就沒有數(shù)學期望。2. 隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望，其中為實函數(shù)。對離散隨機變量 對連續(xù)隨機變量 假定所涉及的無窮級數(shù)絕對收斂，所涉及的廣義積分絕對收斂。3. 二維隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望，其中為二元實函數(shù)。

2、對離散隨機變量 對連續(xù)隨機變量 假定所涉及的無窮級數(shù)絕對收斂，所涉及的廣義積分絕對收斂。4. 數(shù)學期望的性質（假定所涉及的數(shù)學期望都存在）若相互獨立，則。若相互獨立，則。5. 隨機變量的方差，這里假定都存在。6. 方差的性質若相互獨立，則。若相互獨立，為常數(shù)，則。7. 隨機變量的階原點矩 隨機變量的階中心矩 易知，。8. 隨機變量與的協(xié)方差若，則稱與不相關。若隨機變量與相互獨立，則與一定不相關，反之不成立。9. 隨機變量與的相關系數(shù)10. 切比雪夫不等式：若隨機變量的數(shù)學期望與方差存在，則對任意正數(shù)有 由切比雪夫不等式可證明切比雪夫定理，進而推出伯努利定理。后面兩個定理是常用的大數(shù)定律。二 、

3、典型例題解析1.已知隨機變量的概率分布為-2010.30.40.3求。分析 由要點2，令，代入公式即可。解 注 計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望原則上有兩種方法：一種是先求出隨機變量的概率分布或概率密度，再按數(shù)學期望的定義計算；一種是直接帶入要點2種所列的公式。通常用后一種方法較簡便。2.設二維隨機變量的概率密度，求。分析 題中前五項計算均可按要點3所列公式計算，后兩項按要點8與9計算。解又 所以按對稱性有注 二維隨機變量的許多計算都可歸結為計算二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望，所以要點3所列公式應會靈活應用。3.填空(1) 已知，則_。(2) 隨機變量相互獨立，又，則_，_。(3) 設獨立且同分布，則_

4、。(4) 隨機變量的方差為2，則根據(jù)切比雪夫不等式，估計_。分析 在要點8中取代入公式解答(1)；由已知公式得，在利用方差性質解答(2)；對于(3)，可求出隨機變量的概率分布再求，或由都服從“0-1”分布得，再代相應公式；對于(4)，用帶入切比雪夫不等式。解(1) (2) (3) 解一 ， 解二 (4) 注 填空主要用于復習概念，熟悉各種計算公式，通常計算量較小。4.一臺設備有三大部件構成，在設備運轉中各部件需要調整的概率相應為0.1，0.2，0.3，假設各部件相互獨立，以表示同時需要調整的部件數(shù)，求數(shù)學期望和方差。 分析 先引入新隨機變量，則,相互獨立，利用，完成計算。 解 由服從“0-1”

5、分布，得,故，。 注 利用性質來計算數(shù)學期望和方差往往較有效，應該學會這種方法。另外，應記住常用分布相應的數(shù)學期望和方差。5.甲乙兩隊比賽，若有一隊先勝四場，則比賽結束。假定甲隊在每場比賽中獲勝的概率為0.6，乙隊為0.4，求比賽場數(shù)的數(shù)學期望。 分析 可能取值為4,5,6,7，按古典概型計算取各值的概率得到的概率分布，由此算出。解 注 對應用題而言，大量計算是計算概率，這就要求掌握好以前所學過的各種計算概率的方法。6.設隨機變量服從分布，其概率密度，其中是常數(shù)，求。分析 按定義求，又，計算中涉及函數(shù)，。 解 又 故注 分布也是一種常用分布，例如指數(shù)分布是的分布，統(tǒng)計中很有用的分布是的分布。7

6、. 設在區(qū)域上服從均勻分布，求，。 分析 設區(qū)域的面積為，則在上服從均勻分布時，聯(lián)合概率密度，本題中，所以，接著按要點3計算。 解 注 二維隨機變量服從均勻分布也是常見的情形?？梢宰匀坏耐茝V到維隨機變量服從均勻分布，其聯(lián)合概率密度寫法是類似的。8.計算下列各題(1) 設與相互獨立，求.(2) 設與相互獨立，其數(shù)學期望與方差均為已知值，求分析 根據(jù)要點4,5,6中相關公式計算。解 (1) (2) 注 由已知值導出未知值，通常要熟練掌握相關公式。使用公式應注意其成立條件，其中獨立性這一條件是很重要的。關于獨立性，有以下重要結論：設與相互獨立，是連續(xù)函數(shù)，則與相互獨立。本題用到，與相互獨立時，與也相互獨立，這里，。9. 設二維隨機變量的概率密度，試問：(1) 與是否相互獨立？(2) 是否相關？ 分析 根據(jù)是否成立回答(1)；根據(jù)是否成立回答(2)。 解 (1) 的邊際概率密度分別為 ， ，由于，所以與不相互獨立。 (2) ， （利用奇函數(shù)性質）， ， 所以，與不相關。三、 總結隨機變量的分布函數(shù)完整的描述隨機變量的統(tǒng)計特征，但在實際中要找出隨機變量的分布函數(shù)，或概率分布、概率密度，有時是十分困難的。而許多實際問題只需要知道隨機變量的某些特征數(shù)字就可以了。這說明掌握特征數(shù)字、即數(shù)學期望