數(shù)值分析第4章 數(shù)值積分與數(shù)值微分

1、第4章 數(shù)值積分與數(shù)值微分1 數(shù)值積分的基本概念實際問題當中常常需要計算定積分。在微積分中，我們熟知，牛頓萊布尼茲公式是計算定積分的一種有效工具，在理論和實際計算上有很大作用。對定積分，若在區(qū)間上連續(xù)，且的原函數(shù)為，則可計算定積分似乎問題已經(jīng)解決，其實不然。如1）是由測量或數(shù)值計算給出數(shù)據(jù)表時，Newton-Leibnitz公式無法應用。2）許多形式上很簡單的函數(shù)，例如等等，它們的原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示。3）即使有些被積函數(shù)的原函數(shù)能通過初等函數(shù)的有限形式表示，但應用牛頓萊布尼茲公式計算，仍涉及大量的數(shù)值計算，還不如應用數(shù)值積分的方法來得方便，既節(jié)省工作量，又滿足精度的要求。例如下

2、列積分對于上述這些情況，都要求建立定積分的近似計算方法數(shù)值積分法。1.1數(shù)值求積分的基本思想根據(jù)以上所述，數(shù)值求積公式應該避免用原函數(shù)表示，而由被積函數(shù)的值決定。由積分中值定理：對，存在，有表明，定積分所表示的曲邊梯形的面積等于底為而高為的矩形面積（圖4-1）。問題在于點的具體位置一般是不知道的，因而難以準確算出。我們將稱為區(qū)間上的平均高度。這樣，只要對平均高度提供一種算法，相應地便獲得一種數(shù)值求積分方法。如果我們用兩端的算術平均作為平均高度的近似值，這樣導出的求積公式 (4-1)便是我們所熟悉的梯形公式（圖4-2）。而如果改用區(qū)間中點的“高度”近似地取代平均高度，則可導出所謂中矩形公式（簡稱

3、矩形公式） (4-2)更一般地，我們可以在區(qū)間上適當選取某些節(jié)點，然后用加權平均得到平均高度的近似值，這樣構造出的求積公式具有下列形式： 圖4-1 圖4-2 (4-3)式中稱為求積節(jié)點；成為求積系數(shù)，亦稱伴隨節(jié)點的權。權僅僅與節(jié)點的選取有關，而不依賴于被積函數(shù)的具體形式。這類由積分區(qū)間上的某些點上處的函數(shù)值的線性組合作為定積分的近似值的求積公式通常稱為機械求積公式，它避免了Newton-Leibnitz公式尋求原函數(shù)的困難。對于求積公式(4-3)，關鍵在于確定節(jié)點和相應的系數(shù)。1.2 代數(shù)精度的概念由Weierstrass定理可知，對閉區(qū)間上任意的連續(xù)函數(shù)，都可用多項式一致逼近。一般說來，多項

4、式的次數(shù)越高，逼近程度越好。這樣，如果求積公式對階多項式精確成立，那么求積公式的誤差僅來源于階多項式對連續(xù)函數(shù)的逼近誤差。因此自然有如下的定義定義4.1 如果某個求積公式對于次數(shù)不超過的多項式均準確地成立，但對于次多項式就不準確成立，則稱該求積公式具有次代數(shù)精度。例1 判斷求積公式的代數(shù)精度。解 記因為所以求積公式具有5次代數(shù)精度。1.3插值型的求積公式最直接自然的一種想法是用在上的插值多項式代替，由于代數(shù)多項式的原函數(shù)是容易求出的，我們以在上的積分值作為所求積分的近似值，即這樣得到的求積分公式稱為插值型求積公式。通常采用Lagrange插值。設上有個互異節(jié)點，的次Lagrange插值多項式為

5、其中，插值型求積公式為 (4-4)其中?？煽闯?，僅由積分區(qū)間與插值節(jié)點確定，與被積函數(shù)的形式無關。求積公式(4-4)的截斷誤差為 (4-5)定義4.2 求積公式如其系數(shù)，則稱此求積公式為插值型求積公式。定理4.1形如(4-3)的求積公式至少有次代數(shù)精度的充分必要條件是插值型的。證明 如果求積公式(4-3)是插值型的，由公式(4-5)可知，對于次數(shù)不超過的多項式，其余項等于零，因而這時求積公式至少具有次代數(shù)精度。反之，如果求積公式(4-3)至少具有次代數(shù)精度，那么對于插值基函數(shù)應準確成立，并注意到，即有所以求積公式(4-3)是插值型的。1.4 求積公式的收斂性與穩(wěn)定性定義4.3 在求積公式(4-

6、3)中，若其中，則稱求積公式(4-3)是收斂的。實際使用任何求積公式時，除截斷誤差外，還有舍入誤差，因此我們必須研究其數(shù)值穩(wěn)定性。在求積公式(4-3)中，由于計算可能產生誤差，實際得到，即，記如果對任給正數(shù)，只要誤差充分小就有 (4-6)它表明求積公式(4-3)計算是穩(wěn)定的，由此給出：定義4.4對任給，若存在，只要就有(4-6)成立，則稱求積公式(4-3)是穩(wěn)定的。定理4.2 若求積公式(4-3)中系數(shù)，則此求積公式是穩(wěn)定的；若有正有負，計算可能不穩(wěn)定。證明 對任給，若取，對都有，則有注意對任何代數(shù)精度的求積公式均有可見時，有由定義4.4可知求積公式(4-3)是穩(wěn)定的。若有正有負時，假設，且，

7、有它表明初始數(shù)據(jù)的誤差可能會引起計算結果誤差的增大，即計算可能不穩(wěn)定。2 Newton-Cotes公式2.1 Cotes系數(shù)被積函數(shù)在積分區(qū)間內變化平緩，可用等距節(jié)點插值公式近似。將積分區(qū)間劃分為等分，步長，等距節(jié)點。此時求積公式(4-4)中的積分系數(shù)可得到簡化作變換，則有令則，求積公式(4-4)可簡化為 (4-7)稱為階Newton-Cotes公式，簡記為N-C公式，稱為Cotes系數(shù)。由的表達式可看出，它不但與被積函數(shù)無關，而且與積分區(qū)間也無關。因此可將Cotes系數(shù)事先列成表格供查用（見表4-1）。N-C公式的截斷誤差為 (4-8)時 (4-9)為梯形公式時(4-10)為辛普生公式。時

8、(4-11)為Cotes公式。表4-112345678從表4-1可看出，當時出現(xiàn)了負系數(shù)，由定理4.2可知，實際計算中將使舍入誤差增大，并且往往難以估計。從而Newton-Cotes公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證，因此實際計算中不用高階Newton-Cotes公式。2.2 偶階求積公式的代數(shù)精度作為插值型的求積公式，階的牛頓-柯特斯公式至少具有次的代數(shù)精度。求積公式的代數(shù)精度能否進一步提高呢？定理4.3當階為偶數(shù)時，公式(4-7)至少具有次代數(shù)精度。證明 我們只要驗證，當為偶數(shù)時，N-C公式對的余項為零。按余項公式(4-8)，由于這里，從而引進變換，并注意到，有當為偶數(shù)，則為整數(shù)，再令，進一步

9、有因為被積函數(shù)為奇函數(shù)。2.3 幾種低階求積公式的余項梯形求積公式的余項為由于在上不變號，利用積分中值定理有 (4-12)Simpson公式的余項為這里。構造次數(shù)不超過3的多項式，使?jié)M足由于Simpson公式具有三次代數(shù)精度，它對于這樣構造的三次式是準確的，即所以由第二章的例6，可知因在上保號，應用積分中值定理有 (4-13)3復化求積公式前面導出的誤差估計式表明，用N-C公式計算積分近似值時，步長越小，截斷誤差越小。但縮小步長等于增加節(jié)點數(shù)，亦即提高插值多項式的次數(shù)，Runge現(xiàn)象表明，這樣并不一定能提高精度。理論上已經(jīng)證明，當時，N-C公式所求得的近似值不一定收斂于積分的準確值，而且隨著的

10、增大，N-C公式是不穩(wěn)定的。因此，實際中不采用高階N-C公式，為提高計算精度，可考慮對被積函數(shù)用分段低次多項式插值，由此導出復化求積公式。3.1 復化梯形公式將區(qū)間劃分為等分，分點，在每個區(qū)間上采用梯形公式，則得 (4-14)記 (4-15)稱為復化梯形公式，其余項為由于，且所以存在使于是復化梯形公式余項為 (4-16)從式(4-16)可以看出，余項誤差是階，所以當，有，即復化梯形公式是收斂的。事實上只要，則可得收斂性，因為由(4-15)得所以復化梯形公式(4-15)收斂。此外，的求積系數(shù)為正，由定理4.2知復化梯形公式是穩(wěn)定的。3.2 復化辛普森公式將區(qū)間劃分為等分，在每個區(qū)間上采用辛普森公

11、式，記則得 (4-17)記 (4-18)稱為復化辛普森求積公式，其余項由(4-13)得于是當時，與復化梯形公式相似有 (4-19)可以看出誤差階是，收斂性是顯然的。事實上，只要，則有此外，由于中求積系數(shù)均為正數(shù)，故知復化辛普森求積公式計算穩(wěn)定。例2 根據(jù)函數(shù)表4-1表4-101用復化梯形公式和復化辛普森公式計算的近似值，并估計誤差。解 由復化梯形公式由復化辛普森公式與準確值比較，顯然用復化Simpson公式計算精度較高。為了利用余項公式估計誤差，要求的高階導數(shù)，由于所以有于是由復化梯形誤差公式(4-16)得由復化辛普森誤差公式(4-19)得例3 若用復化求積分公式計算積分的近似值，要求計算結果

12、有四位有效數(shù)字，應取多大？解 因為當時，有于是要求計算結果有四位有效數(shù)字，即要求誤差不超過。又因為由式(4-16)得即，開方得。因此若用復化梯形公式求積分，應等于41才能達到精度。若用復化Simpson公式，由式(4-19)即得。故應取。4龍貝格求積公式4.1梯形公式的逐次分半算法如前所述，復化求積公式的截斷誤差隨著步長的縮小而減少，而且如果被積函數(shù)的高階導數(shù)容易計算和估計時，由給定的精度可以預先確定步長，不過這樣做常常是很困難的，一般不值得推崇。實際計算時，我們總是從某個步長出發(fā)計算近似值，若精度不夠可將步長逐次分半以提高近似值，直到求得滿足精度要求的近似值。設將區(qū)間分為等分，共有個分點，如

13、果將求積區(qū)間再二分一次，則分點增至個，我們將二分前后兩個積分值聯(lián)系起來加以考慮。注意到每個子區(qū)間經(jīng)過二分只增加了一個分點，用復化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為注意，這里代表二分前的步長，將每個子區(qū)間上的積分值相加得即 (4-20)這表明，將步長由縮小為時，等于的一半再加新增加節(jié)點處的函數(shù)值乘以當前步長。算法4.11輸入2置3置，對45若，輸出，停機；否則，轉3。4.2李查遜（Richardson）外推法假設用某種數(shù)值方法求量的近似值，一般地，近似值是步長的函數(shù)，記為，相應的誤差為 (4-21)其中是與無關的常數(shù)。若用代替(4-21)中的，則得 (4-22)式(4-22)減去式(4-21)乘以

14、，得取滿足，以除上式兩端，得 (4-23)其中仍與無關。令由式(4-23)，以作為的近似值，其誤差至少為，因此收斂于的速度比快。不斷重復以上作法，可以得到一個函數(shù)序列 (4-24)以近似，誤差為。隨著的增大，收斂速度越來越快，這就是Richardson外推法。4.3 龍貝格求積公式由前面知道，復化梯形公式的截斷誤差為。進一步分析，我們有如下歐拉麥克勞林（Euler-Maclaurin）公式：定理4.4設，則有其中系數(shù)與無關。把李查遜外推法與歐拉麥克勞林公式相結合，可以得到求積公式的外推算法。特別地，在外推算法式(4-24)中，取，并記，則有 (4-25)經(jīng)過次加速后，余項便取下列形式： (4-

15、26)上述處理方法通常稱為李查遜（Richardson）外推加速方法。為研究Romberg求積方法的機器實現(xiàn)，引入記號：以表示二分次后求得的梯形值，且以表示序列的次加速值，則依以上遞推公式得到稱為龍貝格求積算法。Romberg公式的計算過程見下表4-2表4-201234算法4.2(1) 輸入(2) 置(3) 計算對(4)，輸出停機；否則，返回(3)。例4用Romberg算法計算積分。解利用逐次分半算法(4-20)和Romberg算法(4-25)，計算結果見表4-3。表4-300.50000010.4267770.40236920.40701830.4018120.4000770.4000540

16、.40005040.4004630.4000090.40000950.4001180.4000020.4000020.4000025 高斯求積公式5.1 一般理論等距節(jié)點的插值型求積公式，雖然計算簡單，使用方便，但是這種節(jié)點等距的規(guī)定卻限制了求積公式的代數(shù)精度。試想如果對節(jié)點不加限制，并適當選擇求積系數(shù)，可能會提高求積公式的精度。Gauss型求積公式的思想也正如此，亦即在節(jié)點數(shù)固定時，適當?shù)剡x取節(jié)點與求積系數(shù)，使求積分公式具有最高精度。設有個互異節(jié)點的機械求積分公式 (2-27)具有次代數(shù)精度，那么有取，式(1)精確成立，即 (2-28)式(2)構成階的非線性方程組，且具有個未知數(shù)，所以當給定

17、后，只要，即時，方程組有解。這表明式個節(jié)點的求積公式的代數(shù)精度可達到。另一方面，對式(1)，不管如何選擇與，最高精度不可能超過。事實上，對任意的互異節(jié)點，令有，然而。定義4 如果求積分公式(4-27)具有次代數(shù)精度，則稱這組節(jié)點為Gauss點，相應公式(4-27)稱為帶權的高斯求積公式。定理5 插值型求積公式的節(jié)點是高斯點的充分必要條件是以這些節(jié)點為零點的多項式與任何次數(shù)不超過的多項式帶權正交，即 (4-29)證明 必要性。設，則，因此，如果是高斯點，則式(1)對于精確成立，即有故式(4-29)成立。再證充分性。對于，用除，記商為，余式為，即，其中，由式(4-29)可得 (4-30)由于所給求

18、積公式(4-27) 是插值型的，它對于是精確成立的，即再注意到，知，從而由(4-30)有可見求積公式(4-27)對一切次數(shù)不超過的多項式精確成立，因此為高斯點。證畢。定理表明在上關于權的正交多項式系中的次多項式的零點就是求積公式(4-27)的高斯點。因此，求Gauss點等價于求上關于權的次正交多項式的個實根。有了求積節(jié)點后，可如下確定求積系數(shù)其中。下面討論高斯求積公式的余項。設在節(jié)點上的次Hermite插值多項式為，即由Hermite余項公式有定理6高斯求積公式的求積系數(shù)全是正的。證明由于具有高斯節(jié)點的高斯求積公式具有次代數(shù)精度，所以對于多項式，公式準確成立，即推論高斯求積公式是穩(wěn)定的。定理7 設，高斯求積公式是收斂的，即6 數(shù)值微分在微積分學里，求函數(shù)的導