純量與向量場

1、第三章 純量與向量場在進入本章以前理應先複習多變數(shù)函數(shù)微積分之相關內容，包括：多變數(shù) 函數(shù)的定義、偏導函數(shù)(偏微分)的定義與幾何意義、偏微分的連鎖率及全微分 等。這些內容均可參考基礎微積分的課本，而不在此處贅述。3.1純量場；等值面；梯度在空間中的一個區(qū)域內的每一個點(x, y, z)均對應到f(x, y, z)，則f(x, y, z) 稱為一個純量場(scalar field)。所以就數(shù)學而言，純量場指的就是一個 x, y, z 的函數(shù)(或x, y的二維函數(shù))。在物理中，一塊絕熱的金屬板子上，假設不同的點 有不同的溫度，則每一個點的位置與溫度的對應關係就是一個純量場。假設f(x, y, z)

2、為一純量場，則任一由f(x, y, z)=C (常數(shù))所定義之曲面稱為等 值曲面(isotimic surfaces, or level surfaces。在物理中不同的應用領域對等值曲 面有不同的名稱，例如，當f代表電場或重力場位能時，f = C稱為等位能面(equipotential surface)，假設 f 代表溫度時，f = C 稱為等溫面(isothermal surface)，而當f代表壓力時，f = C稱為等壓面(isobaric surface)。同理，雙 變數(shù)函數(shù)f(x, y)=C則代表等值曲線(level curves)。例如，等高線、等溫線均為 等值曲線的概念。方向導函

3、數(shù)我們在多變數(shù)函數(shù)的微積分中學過偏導函數(shù)(partial derivatives)，以雙變 數(shù)函數(shù)z=f(x, y)為例，fx-：f表f對x的偏導函數(shù)，在幾何意義上為f所代表之曲 面上沿x軸方向之切線斜率，或解釋為f在x軸方向上之變化率；同理，fy十 表f對y的偏導函數(shù)，在幾何意義上為f所代表之曲面上沿y軸方向之切線斜率， 或解釋為f在y軸方向上之變化率。但如果考慮f對任意方向的偏導函數(shù)，也就 是求出：過曲面上某一點P，沿特 定方向之切 線斜率，稱為方向導函數(shù)(directional derivative)。而方向導函數(shù)的決定方式如下：如下圖所示，假設z=f(x, y)表一空間曲面(純量場)，

4、其上一點 P在XY平面上 的投影為Po(xo, yo)，並以一單位向量u定出該點之方向，即u = cos i + sin : j則可利用U決定通過P0的直線參數(shù)方程式：(X -Xo,y -yo) =su其中S為沿著該直線度量之長度。且進一步可得:X =X0 亠 Scos、£y = y0 ssin換言之，沿著該直線，z=f(x, y)=f(x(s), y(s)亦可化為參數(shù)s之函數(shù)。所以z=f(x, y)沿u方向的導函數(shù)，其實就是對直線參數(shù)s的變化率：蘭。利用連鎖率及向量ds內積定義：dfdxf dy=rdsds:：y dsf cos蘭sinjx；:y* cos ,sin :筋.:y其中

5、符號 定義為 i+j，稱為del。而f的梯度(gradient)則定義為&&y硏=匕，不丿，或記做grad f。所以f在P點上朝U方向上的方向導函數(shù)等於梯度 向量在u方向之分量(或投影量)，即梯度向量與u之內積。Y以上所討論的方向導函數(shù)是指沿直線方向，但假設對曲線求f的方向導函數(shù)，則可將上述之直線的參數(shù)方程式改為曲線的參數(shù)方程式，亦即利用第二章之方法， 以曲線路徑長度s為參數(shù)，建立曲線的參數(shù)方程式：x=x(s)及y=y(s)。同理可得 到z=f(x, y)=f(x(s), y(s)，故同前面的推導結果，方向導函數(shù)為df：f dx:f dy=dsx ds訝 dscos:；:f .

6、sin :一y* cos ,sin :.其中T =|丁，亠1=丁表曲線的單位切線向量。因此，上式可解釋為：f在點Po上vds ds / ds沿曲線對路徑長度s的變化率等於f在點Po上朝曲線之切線方向的方向導函數(shù)。 換言之，沿任意路徑的方向導函數(shù)就等於沿該路徑切線方向的方向導函數(shù)。所 以，沿直線方向求方向導函數(shù)可視為沿曲線方向求方向導函數(shù)的特例。以上的討論可推廣到3個或更多變數(shù)的函數(shù)，例如 w = f(x, y, z)，貝Idfjf dx；:f dy；:f dz=d s； x d s: y d s：z d s心x dy dz 'Ids ds ds.丿茲就與梯度有關的定理介紹如下: 函數(shù)f

7、在任意方向上的方向導函數(shù)等於梯度向量在該方向上之分量 原因：彳 f *uds 梯度向量所指的方向為函數(shù)f增加速率最大之方向。原因：f= £f|u cos日，當日=0時，表梯度向量W與u同方向，且方向導數(shù)f亦最大，故函數(shù)f朝梯度向量的方向增加速率最大。 ds(3)梯度向量的大小等於f之最大增加速率(最大方向導函數(shù))。原因：由可知，當日=0時，為最大值，故梯度向量的大小等於f的最 ds大增加速率。(4)對於等值曲面f(x, y, z)=C，梯度向量if表與該曲面垂直之法向量。原因：假設曲面上任意一曲線表為參數(shù)s的函數(shù)，則必滿足f(x(s), y(s), z(s)=C，故有df：fdx；：

8、f dy:fdz°ds：xds：y ds：zds=o二依,W，豆丿f 苕苕fdx dy dz"yds，ds，ds j二.f T =0TX其中T為曲線上的單位切線向量，因Vf與T的內積為零，故梯度向量一定與切 線向量垂直，而該曲線又在曲面之上，所以梯度向量“為與該曲面垂直之法向量，此定理將可用來求曲面之切平面的方程式。同理，對於等值曲線fx,y=C，梯度向量訂表與該曲線之切線垂直之法向量。法線導函數(shù)normal derivative在某些應用中，我們需要沿著曲線或曲面的單位法向量n求f的方向導函數(shù)，稱為法線導函數(shù)，記做： f。假設比照前述之沿切線方向求方向導函數(shù)的方式，可導出

9、：如下圖所示，因單位切線向量為 T二cosi + sin :j，故單位法向量n應與其相差90 度順鐘向，則n= cos:-二/2i + sin:-二/2j = sin: i - cos: j故假設z= fx, y，則其沿一曲線的法線導函數(shù)可表為參見下圖：3 Lsin 一蘭cos-蘭魚一蘭坐jn :x:y:x ds :y ds3.2向量場向量場(vector field)就是指一個區(qū)域內的每一個點(x, y, z)均對應到一個 向量F(x,y,z)的關係，換言之，向量場就是一個三變數(shù)的向量函數(shù)。任何一個 向量場可以其分量的方式表示如下：F(x,y,z)二 Fi(x,y,z) i + F2(x,y

10、,z) j + F3(x,y,z) k假設F(x,y,z)為定義於空間中某一區(qū)域不為零的向量場，假設任何一通過此 區(qū)域之曲線上的每一點均與F相切，則稱此曲線為F的流線(flow lines, or stream lines)，或特徵曲線(characteristic curves。一個向量場決定了一個區(qū)域內每一 個點的方向，如果有一個質點在此區(qū)域內運動時，其在任何位置的速度方向均 與該位置在向量場內的方向一致，則該質點的運動軌跡就是流線。由於流線的 方向是被向量場唯一決定，所以兩條流線不可能相交。如果空間中有某些點的 向量場的大小為零，則這些點就沒有方向可言，所以流線就不會通過這些點。假設R為

11、流線上任一點之位置向量，且 s表沿流線路徑度量之長度，則流線上的 單位切線向量為dRT ds妙i +史j +蟲kds ds ds因流線上的每一點均與向量場相切，故 T應與F同方向，即dzds二 dx dy此方程式即定義流線方程式。3.3散度一向量場 F (x,y ,z)二 Fi (x,y ,z)i + F? (x,y ,z)j + F3(x,y ,z) k 的散度被定義為:divF邛F =壬壬壬次 創(chuàng) 戲3.4旋度一向量場 F(x,y,z)二 R(x,y,z) i + F? (x,y ,z) j + F3(x,y ,z) k 的旋度為一向量場，被curIF - I F 二i:xFik.zRemarks：有關散度與旋度的物理意義可由流體力學來探討。 散度將一向量場轉換為一純量場。旋度將一純量場轉換為一向量場。在以上的討論中，i均視為一個向量。3.5 The Laplacian一個純量場f的Laplacian被定為div(grad f)，即卩_ 2f 2f 2fLaplacian(f )='、八f =2f = _2Tx:：y：:z例如：2f =o即為 PDE 中的 Lapl