中考數(shù)學(xué)思維方法講義【第11講】

1、狀元廊數(shù)學(xué)思維方法講義之十一 年級(jí)：九年級(jí) §第11講 圓的有關(guān)概念 “圓”是現(xiàn)實(shí)世界中常見的圖形，是初中幾何的最后一章，從整個(gè)初中幾何的學(xué)習(xí)來看，它屬于“提高階段”。在知識(shí)方面，不僅需要學(xué)好本章的知識(shí)，而且還需要能綜合運(yùn)用前面學(xué)過的知識(shí)，在數(shù)學(xué)能力方面，不僅要掌握好以前學(xué)習(xí)過的折疊、平移、旋轉(zhuǎn)、推理證明等方法，還要具備運(yùn)用這些知識(shí)和方法來繼續(xù)研究圓的有關(guān)性質(zhì)，并解決一些實(shí)際問題。另外，圓的許多性質(zhì)，在理論上和實(shí)踐中都有廣泛的應(yīng)用，所以，“圓”這章在初中幾何中占有非常重要的地位?！局R(shí)引導(dǎo)】§ 圓的有關(guān)概念1圓：平面上到_ 的距離等于_ 的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓，其中，_

2、為圓心，_ 為半徑_確定圓的位置，_確定圓的大小。2?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做_ ，簡稱弧，大于_ 的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧3弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做_ ，經(jīng)過圓心的弦叫做_ 。4能夠重合的兩個(gè)圓叫做_ ，同圓或等圓的_ ，在同圓或等圓中，能夠互相重合的兩條弧叫做_ 。5點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓的半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d，（1）點(diǎn)在圓外，即d_r ；(2) 點(diǎn)在圓上，即d_r；(3) 點(diǎn)在圓內(nèi)，即d_r.§圓的有關(guān)性質(zhì)：1圓是軸對(duì)稱圖形；其對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線；圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為圓心2垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧 推論：

3、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧 垂徑定理和推論可以結(jié)合起來表述為：對(duì)于一個(gè)圓和一條直線說，如果具備下列五個(gè)條件中的任何兩個(gè)，那么也具備其他三個(gè)：過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對(duì)的劣??；平分弦所對(duì)的優(yōu)弧【精彩知識(shí)】考點(diǎn)1: 圓的有關(guān)概念【例1】1. 有下列四個(gè)命題：直徑是弦；過圓心的線段是直徑；等弧一定是同圓中的弧；半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧其中正確的有（ ） A4個(gè) B3個(gè) C 2個(gè) D 1個(gè)2.若圓的半徑是5cm，圓心的坐標(biāo)是（0，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，2），則點(diǎn)P與O的位置關(guān)系是（ ）A.點(diǎn)P在O外 B.點(diǎn)P在O內(nèi) C.點(diǎn)P在O上 D.點(diǎn)P在O外或O上3.O的半徑

4、為5cm，一點(diǎn)P到圓的最小距離與最大距離之比為2：3，則OP長為 。變式訓(xùn)練: 1有4個(gè)命題: 直徑相等的兩個(gè)圓是等圓 長度相等的兩條弧是等弧圓中最大的弦是通過圓心的弦 一條弦把圓分為兩條弧,這兩條弧不可能是等弧,其中真命題是 。2矩形ABCD中，AB8，點(diǎn)P在邊AB上，且BP3AP，如果圓P是以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（ ）(A) 點(diǎn)B、C均在圓P外； (B) 點(diǎn)B在圓P外、點(diǎn)C在圓P內(nèi)；(C) 點(diǎn)B在圓P內(nèi)、點(diǎn)C在圓P外； (D) 點(diǎn)B、C均在圓P內(nèi)考點(diǎn)2 垂徑定理的理解【例2】下列命題正確的有 。（1）過弦的中點(diǎn)的直徑平分弦所對(duì)?。?（2）過弦所對(duì)的兩條弧的中點(diǎn)的

5、直線必過圓心； （3）垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條?。?（4）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分這條弦所對(duì)的另一條?。唬?）經(jīng)過弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦； （6）弦的垂直平分線一定平分這條弦所對(duì)的弧。 考點(diǎn)3 垂徑定理的基本運(yùn)用(基本計(jì)算題型)【例3】如圖，已知在O中，AB、CD兩弦互相垂直于E，AB被分成4cm和10cm兩段，求：（1）求圓心O到CD的距離；（2）若O的半徑為8cm，求CD的長?！纠?】如圖，等腰ABC內(nèi)接于半徑為5cm的O，ABAC，tanB。求：（1）BC的長；（2）AB邊上高的長?！纠?】如圖，O的直徑AB和弦CD相交于E，若AE2cm，BE6cm，C

6、EA300，求：（1）CD的長；（2）C點(diǎn)到AB的距離與D點(diǎn)到AB的距離之比。變式訓(xùn)練:1、如圖，O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，則O的半徑是 2、如圖，O的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，若AE=5,BE=1,則AED= . 第1題圖 第2題圖 第3題圖3、如圖，RtABC中，AC=，BC=1，若以C為圓心，CB為半徑的圓交AB于P，則AP= 。4、如圖，弦CD垂直于O的直徑AB，垂足為H，且CD，BD，求O的直徑。 考點(diǎn)4 垂徑定理的運(yùn)用(綜合推理與計(jì)算題型)【例5】如圖，點(diǎn)C、D分別在扇形AOB的半徑OA、OB的延長線上， CD平行于AB，并與弧

7、AB相交于點(diǎn)M、N（1）求證：CM=DN；（2）若OA3，AC2，求弦MN的長【例6】如圖, O的直徑為MN=20cm, 弦AB=16cm, MCAB于C, NDAB于D.(1) 求證：AC=BD； (2) 求NDCM的值。變式訓(xùn)練:已知如圖，AB為O的直徑，CD是弦，BECD于E，AFCD于F交O于點(diǎn)N，且BE=FN，連結(jié)OE，OF.求證：OEOF； CEDF?！舅季S拓展】【例7】如圖，AB是O的直徑，P為AB上的一點(diǎn)，弦MN過點(diǎn)P, NPB=45°，（1）若AP=2，BP=6，求MN的長；（2）當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持NPB的度數(shù)不變，試問：的值是否改變？若不變，請(qǐng)求其值；若改變

8、，請(qǐng)求出其值的取值范圍。 變式訓(xùn)練:如圖，O1與O2相交于A、B兩點(diǎn)，過A任作一直線與O1交于M，與O2交于N.(1) 問什么時(shí)候MN最長？為什么？(2) 再過A作直線EF與O1交于E，與O2交于F，O1的半徑為5，O2的半徑為，AE=6，AF=8，求MN的長。 【例8】如圖，已知：直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C（1，0）三點(diǎn).（1）求拋物線的解析式;（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0），在直線上有一點(diǎn)P，使ABO與ADP相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)E，使ADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請(qǐng)求出

9、點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由、【課后測試】1、把一小球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF=CD=16厘米，則球的半徑為 厘米2、如圖所示，若O的半徑為13cm，點(diǎn)P是弦上一動(dòng)點(diǎn)，且到圓心的最短距離為5 cm，則弦 的長為_cm3、如圖，在半徑為5的圓O中，AB，CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB=CD=8，則OP的長為 1題圖 2題圖 3題圖 4、如圖，O的半徑為2，弦AB=，點(diǎn)C在弦AB上，則OC的長為 5、如圖，AB是半圓O的直徑，E是弧BC的中點(diǎn)，OE交弦BC于點(diǎn)D，已知BC=8cm，DE=2cm，則AD的長為 。 4題圖 5題圖 6題圖5、半徑為4的O中有弦AB，如右圖，以AB為折痕劣弧恰好經(jīng)過圓心O，則弦AB的長為 。6、已知O的直徑CD=10cm，AB是O的弦，ABCD于 M，且AB=8cm，則AC的長為 7、P是O內(nèi)的一點(diǎn)，O的半徑為15，P點(diǎn)到圓心的距離為9，通過P點(diǎn)、長度是整數(shù)的弦的條數(shù)共有 .8、一座橋的橋拱是圓弧形（水面以上部分），測量時(shí)只測到橋下水面寬AB為16m，橋拱最高處離水面4m （1）求橋拱半徑； （2）若大雨過后，橋下面河面寬度為12m，問水面漲高了多少9、如圖，O直徑為25，點(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn)，弦C