實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)設(shè)計(jì)方案

1、實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)設(shè)計(jì)方案（修改稿）為了落實(shí)教育部批準(zhǔn)的關(guān)于廣播電視大學(xué)開展人才培養(yǎng)模式改革和開放教育試點(diǎn)的報(bào)告的精神，保證中央廣播電視大學(xué)“開放教育試點(diǎn)”理學(xué)科數(shù)學(xué)類數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（本科）教學(xué)計(jì)劃的具體實(shí)施，搞好開放教育試點(diǎn)的具體教學(xué)與管理工作，保證試點(diǎn)工作的教學(xué)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)目標(biāo)，特制定“實(shí)變函數(shù)”課程設(shè)計(jì)方案。一、課程的性質(zhì)與任務(wù)實(shí)變函數(shù)課程是中央廣播電視大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門限選課，近年來，它已成為高等院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，實(shí)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)分析中微積分理論的深入和發(fā)展。它的主要任務(wù)是使學(xué)生掌握抽象分析的基本思想，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)打下必要的基礎(chǔ)。實(shí)變函數(shù)課程

2、的主要內(nèi)容是勒貝格測(cè)度和勒貝格積分理論，包括集合與點(diǎn)集、勒貝格測(cè)度與勒貝格積分等。學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)課程需要數(shù)學(xué)分析課程的有關(guān)知識(shí)，同時(shí)它也為應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)與泛函分析等后繼課的學(xué)習(xí)做好了必要的準(zhǔn)備。二、課程的目的與要求1.實(shí)變函數(shù)是一門抽象性很強(qiáng)的學(xué)科，它雖然是數(shù)學(xué)分析的深入和繼續(xù)，但在思想方法上卻有著較大的飛躍，它比后者更抽象、更理論化。通過本課程的學(xué)習(xí)要培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的能力，提高邏輯推理與論證能力。2.通過集合與n維歐氏空間點(diǎn)集理論的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)集合理論有初步了解。集合的基數(shù)及其大小的比較是集合論的基本內(nèi)容。點(diǎn)集理論是測(cè)度理論和新積分理論的必要基礎(chǔ)，同時(shí)也為一般抽象空間的學(xué)習(xí)提供了具體模型。3

3、.勒貝格測(cè)度是為建立勒貝格積分作準(zhǔn)備的，勒貝格積分的定義域一般是n維歐氏空間中的點(diǎn)集（可測(cè)集），因此就需要給出點(diǎn)集的一種“度量”，這種“度量”是人們熟知的長(zhǎng)度、面積和體積的推廣，也就是勒貝格測(cè)度。要求理解勒貝格測(cè)度的本質(zhì)所在。4.勒貝格積分理論是本課程的中心內(nèi)容，是數(shù)學(xué)分析中黎曼積分的推廣，它無論在理論上還是應(yīng)用上都比黎曼積分有許多優(yōu)越之處。學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)要把兩種積分相對(duì)照，注意它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，這樣會(huì)便于加深對(duì)新積分的理解與掌握。5.本課程中的概念和定理較多，要注意概念的本質(zhì)及與相關(guān)概念之間的聯(lián)系。通過例題和適當(dāng)?shù)木毩?xí)使學(xué)生加深對(duì)概念的理解。在定理的證明中，要注意引導(dǎo)學(xué)生掌握證明的思想方法

4、，教學(xué)中注意由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由特殊到一般。對(duì)重要定理，要指出它的實(shí)質(zhì)，意義和作用，使學(xué)生能深入理解并能用來解決實(shí)際問題。三、課程的教學(xué)內(nèi)容(一)集合1.集合及其運(yùn)算：集合的描述與表示，子集，集合的相等，集合的并、交、差、補(bǔ)及其運(yùn)算性質(zhì)，笛·摩根公式。2.映射與基數(shù)：?jiǎn)紊?、滿射、雙射，對(duì)等，基數(shù)的比較，伯恩斯坦定理。3.可列集合：可列集的定義及等價(jià)條件，可列集的運(yùn)算性質(zhì)，可列集的例：有理數(shù)集。4.無限不可列集：0,1中的點(diǎn)集是無限不可列集，連續(xù)點(diǎn)集的基數(shù)及常見的例子，基數(shù)無最大者。(二)n維空間中的點(diǎn)集1.距離、鄰域、內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)：距離、收斂、鄰域、內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)及其等價(jià)條件，孤立點(diǎn)、邊界點(diǎn)，

5、內(nèi)核、導(dǎo)集及其簡(jiǎn)單性質(zhì)。Bolzano-Weierstrass定理。2.開集、閉集、完備集：開集、閉集、完備集的定義，開集、閉集的運(yùn)算，直線上開集、閉集、完備集的構(gòu)造。平面上開集的構(gòu)造。3.覆蓋定理、點(diǎn)集間的距離：Borel有限覆蓋定理，距離可達(dá)定理，隔離性定理。4.康托（Cantor）集：Cantor集的構(gòu)造，Cantor集的性質(zhì)。(三)勒貝格測(cè)度1.勒貝格外測(cè)度及其性質(zhì)：勒貝格外測(cè)度，外測(cè)度的性質(zhì)，可列集與區(qū)間的外測(cè)度，勒貝格內(nèi)測(cè)度。2.勒貝格可測(cè)集：可測(cè)集的定義，卡拉皆屋獨(dú)利條件，可測(cè)集的運(yùn)算性質(zhì)，單調(diào)可測(cè)集列極限的測(cè)度。3.可測(cè)集的構(gòu)造：區(qū)間、開集、閉集皆可測(cè)、G 型集，F(xiàn) 型集，可測(cè)

6、集同開集、閉集、G 型集、F 型集之間的關(guān)系。(四)可測(cè)函數(shù)1.點(diǎn)集上的函數(shù)：廣義實(shí)數(shù)系R=RY(±)的運(yùn)算點(diǎn)集上的連續(xù)函數(shù)，點(diǎn)集上的連續(xù)函數(shù)列一致收斂的極限函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)列不收斂點(diǎn)集的表示，函數(shù)列的上、下極限，“幾乎處處”的概念。2.勒貝格可測(cè)函數(shù)：可測(cè)函數(shù)的定義及等價(jià)條件，連續(xù)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)皆可測(cè)，可測(cè)函數(shù)關(guān)于代數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算的封閉性，可測(cè)函數(shù)同簡(jiǎn)單函數(shù)列的關(guān)系。3.可測(cè)函數(shù)列的收斂性：葉果洛夫定理，依測(cè)度收斂，依測(cè)度收斂與幾乎處處收斂互不包含的例子，勒貝格定理，黎斯定理，依測(cè)度收斂極限的唯一性。4.可測(cè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)：魯金定理（兩種形式）(五)勒貝格積分1.有界函數(shù)的積分：測(cè)

7、度有限集合上有界函數(shù)的勒貝格大和與小和，上積分與下積分，有界勒貝格可積函數(shù)，有界可積的充要條件是有界可測(cè)。2.有界函數(shù)積分的性質(zhì)：積分區(qū)域與被積函數(shù)的有限可加性，積分的線性性質(zhì)。積分的單調(diào)性與絕對(duì)可積性，區(qū)間上的有界函數(shù)黎曼可積必勒貝格可積且積分值相等。3.一般可積函數(shù)：非負(fù)函數(shù)積分存在與可積的定義，一般函數(shù)積分存在與可積定義，勒貝格積分的性質(zhì)。4.積分極限定理：勒貝格控制收斂定理，勒貝格逐項(xiàng)積分定理，列維漸升函數(shù)列積分定理，法都引理，可積函數(shù)積分區(qū)域可列可加性。5.勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系：區(qū)間上有界函數(shù)黎曼可積的充分必要條件。區(qū)間上廣義黎曼可積是勒貝格可積的充分必要條件。6.乘積測(cè)度與富

8、比尼定理：可測(cè)集的乘積的測(cè)度，可測(cè)集的測(cè)度用截口的積分表示，非負(fù)函數(shù)的積分與下方圖形的測(cè)度的關(guān)系，富比尼定理。*7.微分與積分：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)幾乎處處可微（不證），有界變差函數(shù)及其性質(zhì)，不定積分，絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，牛頓萊布尼公式。四、教學(xué)措施及策略1文字教材文字教材是學(xué)生學(xué)習(xí)課程的主要用書，是學(xué)生獲得知識(shí)和能力的重要媒體，是教和學(xué)的根本依據(jù)。本課程的文字教材為實(shí)變函數(shù)（許鳳主編，中央電大出版社出版），文字教材采用主輔合一的形式，主教材部分由許鳳、陳衛(wèi)宏編寫，輔導(dǎo)教材部分由陳衛(wèi)宏、顧靜相編寫。2網(wǎng)上教學(xué)（1）文本輔導(dǎo)文本輔導(dǎo)內(nèi)容主要介紹本期教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)要求及學(xué)習(xí)方法，對(duì)教材中的難點(diǎn)作必要的展開說明。（2

9、）錄像教材錄像教材是配合文字教材使用的強(qiáng)化教學(xué)媒體，可與文字教材配套使用，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重點(diǎn)講授，本課程的錄像教材為“實(shí)變函數(shù)”，由許鳳教授主講，共24講。（3）IP課IP課程是基于網(wǎng)絡(luò)的新型教學(xué)媒體之一。利用IP課程的衛(wèi)星、網(wǎng)絡(luò)傳播的優(yōu)勢(shì)，充分發(fā)揮IP課程的教學(xué)內(nèi)容可選和交換性，為學(xué)生自主學(xué)習(xí)本課程提供更方便的教學(xué)資源。本課程的IP教材為“實(shí)變函數(shù)”，是課程部分內(nèi)容的系統(tǒng)講授。由許鳳教授主講，共45講。IP課重點(diǎn)講授本課程的基本要點(diǎn)和學(xué)習(xí)方法，有選擇地講授比較適合在IP課中表現(xiàn)的重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容。3面授輔導(dǎo)面授輔導(dǎo)(包括習(xí)題課)是電大的重要教學(xué)方式之一，由于電大是遠(yuǎn)距離教育，面授輔導(dǎo)是學(xué)生接觸

10、老師、獲得疑難解答的重要途徑。本課程是一門理論性較強(qiáng)的課程，因此面授輔導(dǎo)或答疑是重要的輔助教學(xué)手段。開設(shè)本課程的地方電大，要聘請(qǐng)有經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)真負(fù)責(zé)的教師，為學(xué)生進(jìn)行面授輔導(dǎo)或答疑。要求教師認(rèn)真鉆研教學(xué)大綱，認(rèn)真?zhèn)湔n，批改作業(yè)。面授輔導(dǎo)要求以學(xué)生為中心，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的問題，并針對(duì)這些問題進(jìn)行重點(diǎn)輔導(dǎo)。4.助學(xué)服務(wù)為確保本課程教學(xué)活動(dòng)正常有效地開展，保證課程的教學(xué)質(zhì)量，中央電大及開設(shè)本課程的地方電大應(yīng)及時(shí)組織課程的教學(xué)研討培訓(xùn)會(huì)，提高大家對(duì)開放教育意義的認(rèn)識(shí)，布置課程的教學(xué)任務(wù)，研究落實(shí)課程設(shè)計(jì)方案。中央電大及開設(shè)本課程的地方電大應(yīng)利用現(xiàn)代教育技術(shù)（如IP技術(shù)、網(wǎng)上教學(xué)輔導(dǎo)）和各種教學(xué)輔助

11、手段加強(qiáng)對(duì)個(gè)體自主學(xué)習(xí)本課程學(xué)生教學(xué)輔導(dǎo)。開設(shè)本課程的地方電大，除適當(dāng)面授輔導(dǎo)外，還應(yīng)開展函授、電話、電子信箱答疑，幫助學(xué)生建立學(xué)習(xí)小組等多種形式的助學(xué)活動(dòng)，為學(xué)生自學(xué)提供必要的助學(xué)服務(wù)。5. 自學(xué)自學(xué)是電大學(xué)生獲得知識(shí)的重要方式，自學(xué)能力的培養(yǎng)也是高等教育的目的之一，面授輔導(dǎo)時(shí)要注意對(duì)學(xué)生自學(xué)能力的培養(yǎng)。6. 形成性考核(1) 形成性考核要求獨(dú)立完成形成性考核是學(xué)好本課程的重要手段。形成性考核的作業(yè)題目應(yīng)根據(jù)教學(xué)基本要求精選，份量要適度，由易到難。通過做練習(xí)題來加深對(duì)概念的理解和掌握，熟悉各種公式的運(yùn)用，從而達(dá)到消化、掌握所學(xué)知識(shí)的目的。每學(xué)期學(xué)生必須完成形成性考核的4次課程作業(yè)，形成性考核

12、內(nèi)容由中央電大統(tǒng)一規(guī)定。中央電大和省市電大將對(duì)規(guī)定的形成性考核的完成情況進(jìn)行檢查。任課教師必須認(rèn)真批閱學(xué)生形成性考核的作業(yè)，并根據(jù)作業(yè)完成的情況進(jìn)行評(píng)分，給出形成性考核成績(jī)并計(jì)入學(xué)生期末總成績(jī)。開設(shè)本課程的地方電大可以根據(jù)教學(xué)情況，適當(dāng)補(bǔ)充一定的練習(xí)。（2）形成性考核的作業(yè)評(píng)判學(xué)生必須按規(guī)定時(shí)間完成形成性考核的作業(yè)，態(tài)度認(rèn)真，字跡工整，抄寫題目，解答題有解答過程。任課教師必須按時(shí)收取形成性考核的作業(yè)，對(duì)于規(guī)定的作業(yè)進(jìn)行詳批詳改，公平公正評(píng)定成績(jī)，并對(duì)學(xué)生的作業(yè)情況做詳細(xì)記錄。任課教師應(yīng)將批改后的作業(yè)返還學(xué)生，學(xué)生對(duì)做錯(cuò)的題目應(yīng)認(rèn)真進(jìn)行改正。形成性考核的作業(yè)最終成績(jī)按平均值確定。任課教師批改形成性考核的作業(yè)應(yīng)記相應(yīng)的教學(xué)工作量。各省市電大須及時(shí)布置并檢查學(xué)生作業(yè)的完成情況，并將檢查結(jié)果進(jìn)行通報(bào)。（3）形成性考核的作業(yè)成績(jī)的認(rèn)定經(jīng)辦學(xué)單位鑒定，報(bào)上級(jí)教學(xué)部門審定，驗(yàn)收合格后成績(jī)有效。各省市級(jí)電大須在學(xué)期的第19周前對(duì)形成性考核的作業(yè)進(jìn)行全部檢查，并將作業(yè)成績(jī)報(bào)送中央電大。7.考試考試是對(duì)教與學(xué)的全面驗(yàn)收，是不可缺少的教學(xué)環(huán)節(jié)