第三章_空間向量與立體幾何_導(dǎo)學(xué)案

1、§3.1.1 空間向量及其運算兩個平面向量的加法和減法運算，例如右圖中，uuur，uuurOBAB，學(xué)習(xí)目標試試 ：1.分別用平行四邊形法則和三角形法則求1.理解空間向量的概念，掌握其表示方法；rr rrab2.會用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及ab, ab.它們的運算律；3. 能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題學(xué)習(xí)過程一、課前準備（預(yù)習(xí)教材 P84 P86，找出疑惑之處）復(fù)習(xí) 1：平面向量基本概念：具有和的量叫向量，叫向量的模（或長度） ；叫零向量，記著；r叫單位向量.叫 相 反 向 量 ， a 的 相 反 向 量 記 著叫相等向量.向量的表示方法有，

2、和共三種方法 .復(fù)習(xí) 2：平面向量有加減以及數(shù)乘向量運算：1. 向量的加法和減法的運算法則有法則和法則.2. 實數(shù)與向量的積：實數(shù) 與向量 a 的積是一個量，記作，其長度和方向規(guī)定如下：(1)|a|.(2)當(dāng) 0 時， a 與 A.；當(dāng) 0 時， a 與 A.；當(dāng) 0 時， a.3. 向量加法和數(shù)乘向量，以下運算律成立嗎？加法交換律： a b b a加法結(jié)合律： (a b) ca（ b c）數(shù)乘分配律： (a b) a b二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一 ：空間向量的相關(guān)概念問題 ： 什么叫空間向量？空間向量中有零向量，單位向量，相等向量嗎？空間向量如何表示？新知：空間向量的加法和減法運算：空

3、間任意兩個向量都可以平移到同一平面內(nèi)，變?yōu)榉此?：空間向量加法與數(shù)乘向量有如下運算律嗎？加法交換律： A. + B. = B. + B；加法結(jié)合律： (A. + B ) + C. =A. + (B. + c)； 典型例題例 1 已知平行六面體ABCDA' B'C ' D ' （如圖），化簡下列向量表達式，并標出化簡結(jié)果的向量：uuuruuuur AB BC；uuur uuuur uuuur AB AD AA '；uuuruuuur1 uuuurABADCC'21 uuuruuuuruuuur(ABADAA ' )2uuur uuuruuu

4、ruuuur uuuur'''和變式 ：在上圖中，用AB, AD, AA表示 AC,BDuuuur'DB .小結(jié) ：空間向量加法的運算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量例 2 化簡下列各式：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuuur AB BC CA;uuur ABMBBOOM ;uuuruuuruuuruuuruuuruuur ABACBDCD ; OAODDC .變式：化簡下列各式：uuuruuuruuuruuur OA OC BO CO;

5、 uuur uuur uuur AB AD DC;uuuruuuruuuuruuur NQ QP MN MP.小結(jié) ：化簡向量表達式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則，遇到減法既可轉(zhuǎn)化成加法，也可按減法法則進行運算，加法和減法可以轉(zhuǎn)化. 動手試試練1. 已知平行六面體ABCD A'B'C'D ' , M 為A1C 1 與 B1 D 1的交點 ，化簡下列表達式：uuuruuuurAA1A1B1 ;1 uuuur1 uuuurA1B1A1D1 ;221 uuuuruuur1 uuuur AA1A1B12A1 D12uuuuruuuruuur uuur uuuur

6、AB BC CC1 C1 A1A1A .三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 空間向量基本概念；2. 空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運算律 知識拓展平面向量僅限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點都是指“將圖形上所有點沿相同的方向移動相同的長度”，空間的平移包含平面的平移 .學(xué)習(xí)評價 自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A. 很好B. 較好C. 一般D. 較差當(dāng)堂檢測 （時量： 5 分鐘 滿分： 10 分） 計分 ：1. 下列說法中正確的是（）rrrrA. 若 a = b ，則 a ， b 的長度相同，方向相反或相同 ;rrr rB. 若 a 與 b

7、是相反向量，則a = b ;C. 空間向量的減法滿足結(jié)合律;uuuruuuruuurD. 在四邊形 ABCD 中，一定有 ABADAC .2. 長 方 體 ABCD A'B'C'D' 中 ， 化 簡 uuuuur uuuur'' uuuur''AA '=ABADrruur uurrr3. 已知向量 a ，b 是兩個非零向量， a0 , b0 是與 a ，b同方向的單位向量，那么下列各式正確的是（）uuruuruuruuruuruurA. a0b0B. a0b0 或 a0b0uurrrC. a01D. a 0 = b0 uu

8、uruuuruuur4. 在四邊形 ABCD 中，若 AC AB AD ,則四邊形是（ ）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四邊形5. 下列說法正確的是（）A. 零向量沒有方向B. 空間向量不可以平行移動C. 如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等D. 同向且等長的有向線段表示同一向量課后作業(yè)1. 在三棱柱 ABC-A'B'C' 中， M, N 分別為 BC,B'C' 的中點，化簡下列式子：uuuur uuuruuuuruuuruuuur'' AM+ BNA'NMC + BB2. 如圖，平行六面體 ABCDA1B1C1

9、D1 中，點 M 為uuurruuurruuurrAC 與的 BD 的交點， ABa ， ADb ， A1 Ac ，uuuur則下列向量中與B1 M 相等的是（）A.1 r1 rrab c22B.1 r1 rrabc22C.1 r1 rrabc2 21 r 1 r rD.ab c2 2§3.1.2 空間向量的數(shù)乘運算（一）uuurrr uuurrr試試：已知 ABa5b, BC2a8b,uuurrr，求證 : A,B,C 三點共線 .CD3 ab學(xué)習(xí)目標1. 掌握空間向量的數(shù)乘運算律，能進行簡單的代數(shù)式化簡；2. 理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論；3. 能用空間向量的運算意

10、義及運算律解決簡單的立r r反思 ：充分理解兩個向量a, b 共線向量的充要條件中體幾何中的問題rr的 b0 ，注意零向量與任何向量共線 .學(xué)習(xí)過程 典型例題一、課前準備例1 已知直線AB，點 O 是直線AB 外一點，若（預(yù)習(xí)教材 P86 P87，找出疑惑之處）uuuruuuruuur復(fù)習(xí) 1：化簡：OPxOAyOB ，且 x+y 1，試判斷 A,B,P 三點是rrrr否共線？ 5（ 3a2b ） +4 （ 2b3a ）；rrrrrr6 a3bcabc .變式 ：已知 A,B,P 三點共線，點 O 是直線 AB 外一點，uuur1 uuuruuur若 OPOAtOB ，那么 t2復(fù)習(xí) 2：在平

11、面上，什么叫做兩個向量平行？r rrr在平面上有兩個向量 a, b ， 若 b 是非零向量， 則 a 與 rb 平行的充要條件是二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一 ：空間向量的共線問題 ：空間任意兩個向量有幾種位置關(guān)系？如何判定它們的位置關(guān)系？新知：空間向量的共線：1. 如果表示空間向量的所在的直線互相或，則這些向量叫共線向量，也叫平行向量 .2. 空間向量共線：r r rrr r定理： 對空間任意兩個向量a,b （ b0 ）， a / b 的充要條件是存在唯一實數(shù)，使得推論： 如圖， l 為經(jīng)過已知點 A 且平行于已知非零向量的直線，對空間的任意一點 O，點 P 在直線 l 上的充要條件是例

12、2 已知平行六面體 ABCD A' B'C 'D ' ，點 M 是棱AA ' 的中點，點 G 在對角線rA ' C 上，且 CG:GA ' =2:1,uuur ruuurr uuuurr r r設(shè) CD = a ， CBb,CC 'c ，試用向量 a, b, c 表示向uuur uuur uuuuruuur量 CA,CA' , CM ,CG .變式 1：已知長方體ABCD A'B'C' D '，M 是對角線 AC ' 中點，化簡下列表達式：uuuruuurAA 'CBuuuu

13、ruuuuruuuur ; AB'B'C 'C'D'1 uuur1 uuur1uuur'ADAB2A A22變式 2：如圖，已知 A, B, C 不共線，從平面 ABC 外任一點 O ，作出點 P,Q, R,S ,使得：uuuruuuruuuruuur OP OA 2AB 2ACuuuruuuruuuruuur OQ OA 3AB 2ACuuuruuuruuuruuur OR OA 3AB 2ACuuuruuuruuuruuur OS OA 2AB 3AC .小結(jié) ：空間向量的化簡與平面向量的化簡一樣，加法注意向量的首尾相接，減法注意向量要共起點

14、，并且要注意向量的方向 . 動手試試練 1. 下列說法正確的是（r）rrr rA. 向量 a 與非零向量 b 共線， b 與 c 共線，則 a 與rc 共線；B. 任意兩個共線向量不一定是共線向量； C. 任意兩個共線向量相等；rrrrD. 若向量 a 與 b 共線，則 ab .2.rrr rrrrr， 若已 知 a3m2n,b( x 1)m8n， a0rra / b ，求實數(shù) x.三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 空間向量的數(shù)乘運算法則及它們的運算律；2. 空間兩個向量共線的充要條件及推論. 知識拓展平面向量僅限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點都是指

15、“將圖形上所有點沿相同的方向移動相同的長度”，空間的平移包含平面的平移 .學(xué)習(xí)評價 自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A. 很好B. 較好C. 一般D. 較差 當(dāng)堂檢測 （時量： 5 分鐘 滿分： 10分）計分：1. 下列說法正確的是（）r rrrr rA. a 與非零向量b 共線 ,b 與 c 共線，則 a 與 c 共線B. 任意兩個相等向量不一定共線 C. 任意兩個共線向量相等r rrrD. 若向量 a 與 b 共線，則 ab2. 正方體 ABCDA'B'C' D ' 中，點E 是上底面uuuruuuruuuruuur,A'B 'C &#

16、39;D ' 的中心，若 BB'xADy ABzAA'則 x，y，z .3. 若點 P 是線段 AB 的中點，點 O 在直線 AB 外，uuuruuuruuur則OPOA+OB.4. 平行六面體 ABCDA'B'C'D ', O 為 A1C 與 B1D的交點 ,則1 uuuruuuruuur')uuur( ABADAAAO3ABCDA'B'C'D' ，M 是 AC 與5. 已知平行六面體ruuurruuuruuurruuuurBD 交點，若 ABa, AD'c ，則與'相等b, AA

17、B M的向量是（）A.1 r1 rrB.1 r1 rrabc ；abc ；2222C.1 r1 rrD.1 r1 rrabc ；abc .2222課后作業(yè)：§3.1.2 空間向量的數(shù)乘運算（二）學(xué)習(xí)目標1. 掌握空間向量的數(shù)乘運算律，能進行簡單的代數(shù)式化簡；2. 理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論；3. 能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題學(xué)習(xí)過程一、課前準備（預(yù)習(xí)教材 P86 P87，找出疑惑之處）r r復(fù)習(xí) 1：什么叫空間向量共線？空間兩個向量a, b ，rrr若 b 是非零向量，則a 與 b 平行的充要條件是復(fù)習(xí) 2：已知直線AB ，點 O 是直線

18、AB 外一點，若uuur1 uuur2 uuurOPOAOB ，試判斷 A,B,P 三點是否共線？33試試： 若空間任意一點O 和不共線的三點A,B,C 滿uuur1 uuur1 uuur1 uuur足關(guān)系式 OPOAOBOC ,則點 P 與 A,B,C236共面嗎？反思 ：若空間任意一點O和不共線的三點A,B,C 滿uuuruuuruuuruuur足關(guān)系式 OP xOAyOBzOC , 且點 P 與A,B,C 共面，則 xyz. 典型例題例 1 下列等式中， 使 M,A,B,C 四點共面的個數(shù)是 （ ） uuuur uuur uuur uuuur OM OA OB OC;uuuur1 uuu

19、r1 uuur1 uuuur OMOAOBOC;uuur532uuuruuuur r MA MB MC 0;uuuuruuuruuuruuurr OMOAOBOC0 .A. 1B. 2C. 3D. 4二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究變式 ：已知 A,B,C 三點不共線， O 為平面 ABC 外一探究任務(wù)一 ：空間向量的共面ur ruuur 1 uuur7 uuuruuur問題：空間任意兩個向量不共線的兩個向量a,b 有怎點，若向量 OPOAOBOCR ,樣的位置關(guān)系？空間三個向量又有怎樣的位53則 P,A,B,C 四點共面的條件是置關(guān)系？新知：共面向量：同一平面的向量 .2. 空間向量共面：r rur定

20、理： 對空間兩個不共線向量a, b ，向量 p 與向量r r例 2 如圖，已知平行四邊形ABCD, 過平面 AC 外一a,b 共面的充要條件是存在，使得.點 O 作射線 OA,OB,OC,OD, 在四條射線上分別取點推論： 空間一點 P 與不在同一直線上的三點A,B,CE,F,G,H, 并且使 OEOFOGOHk,OAOBOCOD共面的充要條件是：求證： E,F,G,H 四點共面 . 存在，使 對空間任意一點O，有變式：已知空間四邊形 ABCD 的四個頂點 A,B,C,D 不共面，E,F,G,H 分別是 AB,BC,CD,AD 的中點，求證： E,F,G,H 四點共面 .AEHBDFGC小結(jié)

21、：空間向量的化簡與平面向量的化簡一樣，加法注意向量的首尾相接，減法注意向量要共起點，并且要注意向量的方向 . 動手試試練 1. 已知 A, B,C三點不共線，對平面外任一點，滿uuur1 uuur2 uuur2 uuurP 與足條件 OPOAOBOC ，試判斷：點555A, B,C 是否一定共面？rrrrrrrr練 2. 已知 a3m2n,b( x 1)m8n， a0 ，若rra / b ，求實數(shù)x.三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 空間向量的數(shù)乘運算法則及它們的運算律；2. 空間兩個向量共線的充要條件及推論. 知識拓展同的長度” ，空間的平移包含平面的平移.學(xué)習(xí)評價 自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況

22、為（）.A. 很好B. 較好C. 一般D. 較差當(dāng)堂檢測 （時量： 5 分鐘 滿分： 10 分） 計分 ：uuuur1. 在平行六面體 ABCD A1B1C1D1 中，向量 D1 A 、uuuuruuuurD1C 、 A1C1 是（）A. 有相同起點的向量B等長向量C共面向量D不共面向量 .2. 正方體 ABCDA'B 'C' D ' 中，點 E 是上底面uuuruuuruuuruuur,A'B 'C 'D ' 的中心，若 BB'xADy ABzAA'則 x，y，z .3. 若點 P 是線段 AB 的中點，點 O

23、在直線 AB 外，uuuruuuruuur則OPOA+OB.4. 平行六面體 ABCDA'B'C'D ', O 為 A1C 與 B1D的交點 ,則1uuuruuuruuur')uuur3( ABADAAAO .5. 在下列命題中：若 a、b 共線，則 a、b 所在的直線平行；若a、 b 所在的直線是異面直線，則a、b 一定不共面； 若 a、b、c 三向量兩兩共面， 則 a、b、 c 三向量一定也共面；已知三向量a、 b、c，則空間任意一個向量p 總可以唯一表示為pxayb zc其中正確命題的個數(shù)為（） .A0B.1C.2D.3課后作業(yè)：1.rrrr r(

24、 xrrr若 a3m2n4 p,b1)m8n2 yp ，rrrra0 ，若 a / b ，求實數(shù) x, y .uruuruuur uruur2. 已 知 兩 個 非 零 向 量 e1, e2不 共 線 , AB e1e2 ,uuururuur uuururuurAC2e18e2 , AD3e13e2. 求證： A, B, C,D 共面平面向量僅限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點都是指“將圖形上所有點沿相同的方向移動相§3.1.3空間向量的數(shù)量積（1）學(xué)習(xí)目標1. 掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；2. 掌握兩個向量的數(shù)量積的計算方法

25、，并能利用兩個向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡單問題學(xué)習(xí)過程一、課前準備（預(yù)習(xí)教材P90 P92，找出疑惑之處）rr復(fù)習(xí) 1：什么是平面向量a 與 b 的數(shù)量積？復(fù)習(xí)2 ：在邊長為 1 的正三角形 ABC 中，求 uuur uuurAB ?BC .二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一 ：空間向量的數(shù)量積定義和性質(zhì)問題 ：在幾何中，夾角與長度是兩個最基本的幾何量，能否用向量的知識解決空間兩條直線的夾角和空間線段的長度問題？rr 你能說出 ab 的幾何意義嗎？3) 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：rrr r（ 1）設(shè)單位向量rre ，則 ae| a | cosa, errrr（ 2） ababrr.（ 3）

26、aa4) 空間向量數(shù)量積運算律：rrrrrr（ 1） ( a) b(a b ) a ( b ) rrrr（ 2） abba （交換律）rrrrrrr（ 3） a(bc)abac （分配律反思 ：rrrrrr （ab) ca(bc) 嗎？舉例說明 .rrrrrr 若 abac ，則 bc 嗎？舉例說明 .rrrrrr 若 ab0 ，則 a0 或 b0 嗎？為什么？ 典型例題例 1 用向量方法證明：在平面上的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直 .新知：1) 兩個向量的夾角的定義：已知兩非零向量在空間uuurr uuurrr一點 O，作 OAa ,OBb ，則做向量

27、r.a與 b 的夾角，記作試試：r r范圍 :rra ,br rrrrra, b =0 時, a 與 b; a,b=時, a 與 brrr r成立嗎？a, bb, arrrra,b，則稱 a 與 b 互相垂直，記作r r變式 1：用向量方法證明： 已知： m,n 是平面內(nèi)的a, b ，AOB 叫兩條相交直線，直線l 與平面的交點為B ，且l m,ln .求證： l.2) 向量的數(shù)量積：r rr r例 2如圖，在空間四邊形ABCD 中， AB2，已知向量 a, b ，則叫做 a, b 的數(shù)量積，記r rr r.BC 3，BD 23，CD3， ABDo，作 a b ，即 a b30規(guī)定 :零向量與

28、任意向量的數(shù)量積等于零.ABC60o ，求 AB 與 CD 的夾角的余弦值反思： 兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量還是向量？r rr 0 ? a（選 0還是0）DACB變式：如圖，在正三棱柱ABC-A 1 B1C 1 中，若AB=2 BB1,則 AB1與 C1B所成的角為（）A.60°B. 90°C. 105°D. 75°例3 如圖，在平行四邊形ABCD-A 1 B 1C 1D 1中，AB4,AD 3, AA'5 ,BAD 90 , BAA'=DAA' =60° ,求 AC ' 的長 . 動手試試練 1.uur uurrr

29、rr已知向量 a,b滿足 a1 ， b2， ab 3 ，rr則 ab _.rr2 r rr r練 2. 已知 a 2 2 , b, a b2 , 則 a 與b2的夾角大小為 _.三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1.向量的數(shù)量積的定義和幾何意義.2. 向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運算律的運用. 知識拓展兩條直線的夾角和線段長度的新方法.學(xué)習(xí)評價 自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A. 很好B. 較好C. 一般D. 較差 當(dāng)堂檢測 （時量： 5 分鐘 滿分： 10分）計分：1. 下列命題中：rrrrr若 a ? b0 ，則 a ， b 中至少一個為 0rrr rrrr r若 a0 且 a ?ba ? c ，則

30、b cr rrrrr (a ? b) ? c a ? (b ? c)rrrrr 2r2 (3a2b) ? (3a 2b)9 a4 b正確有個數(shù)為（）A.0 個B.1個C.2個D. 3個uruur2.已知 e1和 e2 是兩個單位向量，夾角為3，則下面uurur向量中與2e2e1 垂直的是（）uururuururuururA.e1e2B.e1e2C.e1D. e23.已知 ABC 中，A, B,C所對的邊為 a, b, c ，且 a 3,b 1 , Cuuuruuur30 ,則 BC ?CA =rr4.rrrr已知 a4 ， b2 ，且 a 和 b 不共線， 當(dāng) abrr.與 ab 的夾角是銳角

31、時，的取值范圍是r5.uur uurrrr3 ，已知向量a,b 滿足 a 4 ， b2 ， abr r則 a b _課后作業(yè)：1. 已知空間四邊形ABCD 中，ABCD ，ACBD ，求證： ADBC.DACB2. 已知線段、內(nèi) ,BD AB, 線段 AC,AB BD 在平面如果 AB a,BD b,AC c,求 C、D 間的距離 .向量給出了一種解決立體幾何中證明垂直問題，求§ 3.1.4 空間向量的正交分解及其坐標表示學(xué)習(xí)目標1. 掌握空間向量的正交分解及空間向量基本定理和坐標表示；2. 掌握空間向量的坐標運算的規(guī)律；學(xué)習(xí)過程一、課前準備（預(yù)習(xí)教材 P92-96 找出疑惑之處）復(fù)

32、習(xí) 1：平面向量基本定理：ur r對平面上的任意一個向量urP ， a,b 是平面上兩個向量，總urur r是存在實數(shù)對x, y ，使得向量 P 可以用 a,b 來表ur r示，表達式為rr，其中 a,b 叫做ur. 若 ab ，則稱向量 P 正交分解 .復(fù)習(xí) 2：平面向量的坐標表示：平面直角坐標系中，分別取x 軸和 y 軸上的向量r rri , j 作為基底，對平面上任意向量a ，有且只有一對rrrx, y實數(shù) x，y，使得 axiy j ，則稱有序?qū)r為向量 a 的，即 a .底，通常用 i ,j,k表示 . 空間向量的坐標表示：給定一個空間直角坐標系O-xyz 和向量 a，且設(shè) i 、

33、 j、 k 為 x 軸、 y 軸、 z 軸正方向的單位向量，則存在有序?qū)崝?shù)組 x, y, z ，使得rrrr x, y, z 為向量 aaxiy jzk ，則稱有序?qū)崝?shù)組的坐標，記著ur.puuur設(shè) A ( x1, y1 , z1 ) ， B ( x2 , y2 , z2 ) ，則 AB . 向量的直角坐標運算：設(shè) a (a1 , a2 ,a3 ) ， b ( b1 , b2 , b3 ) ，則 ab ( a1b1 , a2b2 ,a3b3 ) ； ab ( a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ； a ( a1 ,a2 ,a3 ) (R) ； a·b a1b1 a2b2

34、 a3 b3 .試試 ：rrrr1.r.設(shè) a2ij3k ，則向量 a 的坐標為2.若 A (1,0,2)， B (3,1,uuur.1)，則 AB 3. 已知 a (2, 3,5) ，b ( 3,1, 4) ，求 ab，ab，8a， a· b二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一 ：空間向量的正交分解r問題：對空間的任意向量 a ，能否用空間的幾個向量唯一表示？如果能，那需要幾個向量？這幾個向量有何位置關(guān)系？新知：r 空間向量的正交分解：空間的任意向量a ，均可uuruuruur分解為不共面的三個向量1 a1、2 a2 、3 a3，使ruuruuruuruuruur uura1 a12

35、a23 a3 . 如果 a1, a2 , a3 兩兩，這種分解就是空間向量的正交分解.(2)空間向量基本定理 ：如果三個向量r rra, b, c，ur x, y, z對空間任一向量p ，存在有序?qū)崝?shù)組，使得urrrrr rrp xa yb zc . 把 的一個基底， a,b, c 都叫做基向量 .反思：空間任意一個向量的基底有個 . 典型例題例 1r r r已知向量 a, b, c 是空間的一個基底，從向量urrr rurra, b, c 中選哪一個向量，一定可以與向量pab,rrrqab 構(gòu)成空間的另一個基底？uuur uuur uuur變式 ：已知 O,A,B,C 為空間四點， 且向量

36、OA,OB,OC不構(gòu)成空間的一個基底，那么點 O,A,B,C 是否共面？ 單位正交分解：如果空間一個基底的三個基向量互相，長度都為，則這個基底叫做單位正交基小結(jié) ：判定空間三個向量是否構(gòu)成空間的一個基底的方法是：這三個向量一定不共面 .例 2 如圖，M,N 分別是四面體 QABC 的邊 OA,BC 的 uuur uuur uuur中點， P,Q 是 MN 的三等分點，用OA,OB ,OCuuuruuur表示 OP和 OQ.變式：已知平行六面體ABCDA'B'C'D'，點 Gruuurr uuurr uuuur是側(cè)面 BB'C 'C 的中心， 且

37、OAa ， OCb,OO 'c ，rr r試用向量 a, b, c 表示下列向量 :uuuuruuuruuuruuur''' OB ,BA,CA;OG .通過作輔助線來創(chuàng)造建系的圖形.學(xué)習(xí)評價 自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A. 很好B. 較好C. 一般D. 較差當(dāng)堂檢測 （時量： 5 分鐘 滿分： 10 分） 計分 ：ur ur r1. 若 a,b,c 為空間向量的一組基底， 則下列各項中，能構(gòu)成基底的是（）r rr rrr rr rrB.A. a, ab, abb,ab, abrr rr rrD.rr rr rC. c,ab, aba2b,ab, a b2. 設(shè) i 、j、k 為空間直角坐標系O-xyz 中 x 軸、 y 軸、z 軸正方向的單位向量，且uuurrrrABijk ，則點 B的坐標是3. 在三棱錐 OABC 中， G 是 ABC 的重心（三條中 uuur uuur uuur線的交點），選取 OA,OB