成都理工大學 高數(shù)下 重修 PPT D10_3三重積分

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、三重積分的概念三重積分的概念 二、三重積分的計算二、三重積分的計算三重積分 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、三重積分的概念一、三重積分的概念 類似二重積分解決問題的思想, 采用kkkkv),(),(kkkkv引例引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),),(Czyx求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的可得nk 10limM“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限”解決方法解決方法:質(zhì)量 M .密度函數(shù)為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義. 設(shè),),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyx

2、fd),(稱為體積元素體積元素, vd.dddzyx若對 作任意分割任意分割: 任意取點任意取點則稱此極限為函數(shù)在 上的三重積分三重積分.在直角坐標系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì)性質(zhì): ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘積和式” 極限記作記作目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、三重積分的計算二、三重積分的計算1. 利用直角坐標計算三重積分利用直角坐標計算三重積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三次積分法三次積分法設(shè)區(qū)域:利用投影法結(jié)果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重積分化成二次積分即得:vzyxfd),(),(),(21d

3、),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其中 為三個坐標例例1. 計算三重積分,dddzyxx12zyx所圍成的閉區(qū)域 .解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面1xyz121O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyz2. 利用柱坐標計算三重積分利用柱坐標計算三重積分 ,),(3RzyxM設(shè),代替用極坐標將yx),z（則就稱為點M 的柱坐標.z200sinyzz cosx直角坐標與柱面坐標的關(guān)系:常數(shù)坐標

4、面分別為圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面z),(zyxM)0 ,(yxO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如圖所示, 在柱面坐標系中體積元素為zvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單方程簡單 ;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用柱面坐標表示時變量互相分離變量互相分離.zdddzzddddxyzddO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2axyzO其中 為例例3. 計算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所解解: 在柱面坐標系下:cos202ddcos342032acos202

5、0az 0及平面zvdddd20dazz0dzzddd2原式298a由柱面cos2圍成半圓柱體.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 OOxyz例例4. 計算三重積分解解: 在柱面坐標系下h:hz42dhh2022d)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中 由拋物面42zvdddd原式 =目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 利用球坐標計算三重積分利用球坐標計算三重積分 ,),(3RzyxM設(shè)),(z其柱坐標為就稱為點M 的球坐標.直角坐標與球面坐標的關(guān)系,zOMzr),(r則0200rcossinr

6、x sinsinry cosrz 坐標面分別為常數(shù)r球面常數(shù)半平面常數(shù)錐面, rOM 令),(rMsinrcosrz MxyzO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 rddrdd如圖所示, 在球面坐標系中體積元素為dddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用球面坐標表示時方程簡單方程簡單;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用球面坐標表示時變量互相分離變量互相分離.dddsin2rrxyzO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyzO例例5. 計算三重積分,ddd)(222zyxzyx22yxz為錐面2222Rzyx解解: 在球面坐標系下:zyxzyxddd)(222所圍立體.40Rr 020其中 與球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20d4Rr 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2,zxz1. 將. )(),(Czyxf用三次積分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中 由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考與練習思考與練習六個平面圍成 ,:目錄 上頁 下