理論力學(xué)電子教程

1、理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理11112 2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理 11113 3 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理 11111 1 質(zhì)點動量定理質(zhì)點動量定理 第十一章第十一章 動量定理動量定理理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理 在前面一章討論的是質(zhì)點動力學(xué)基本方程，而從本章起將討論的是動力學(xué)普遍定理。它包括質(zhì)點與質(zhì)點系的動量定理、質(zhì)心運動定理、質(zhì)點與質(zhì)點系的動量矩定理、質(zhì)點與質(zhì)點系的動能定理等。 本章主要討論：本章主要討論：質(zhì)點系的動量定理、質(zhì)心運動定理質(zhì)點系的動量定理、質(zhì)心運動定理。 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一

2、章第十一章 動量定理動量定理 質(zhì)點動量定理的微分形式質(zhì)點動量定理的微分形式由質(zhì)點動力學(xué)基本方程，有由質(zhì)點動力學(xué)基本方程，有 Fdtdvm因因 constm 則則 Fmvdtd)(（11111 1） 表明質(zhì)點動量的變化率等于作用在質(zhì)點上的表明質(zhì)點動量的變化率等于作用在質(zhì)點上的合力，此即為質(zhì)點的動量定理。合力，此即為質(zhì)點的動量定理。 11111 1 質(zhì)點動量定理質(zhì)點動量定理理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理 質(zhì)點動量定理的積分形式質(zhì)點動量定理的積分形式 2112ttFdtmvmv在在t t1 1與與t t2 2時刻，時刻， （11113 3） 寫成微分形式寫成微分形

3、式 Fdtmvd)(（112） 這是微分形式的質(zhì)點動量定理這是微分形式的質(zhì)點動量定理 Fdt稱之為沖量。稱之為沖量。 式中式中 質(zhì)點動量；矢量，其大小等于質(zhì)點的質(zhì)點動量；矢量，其大小等于質(zhì)點的質(zhì)量質(zhì)量m m與它在某瞬時速度與它在某瞬時速度v v的乘積，其單位的乘積，其單位 mvsmkg/或或sN 。理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理上式表明，在任一段時間內(nèi)，質(zhì)點動量的增量等上式表明，在任一段時間內(nèi)，質(zhì)點動量的增量等于作用在質(zhì)點上的力在同一段時間的沖量。這就于作用在質(zhì)點上的力在同一段時間的沖量。這就是質(zhì)點動量定理的積分形式，又稱為質(zhì)點的沖量是質(zhì)點動量定理的積分形式

4、，又稱為質(zhì)點的沖量定理。定理。 21ttFdtS （11114 4） 稱為力稱為力 （時間的函數(shù)）在時間間隔（時間的函數(shù)）在時間間隔（ ）內(nèi)的）內(nèi)的沖量。沖量是矢量，它的運算按矢量運算法則進沖量。沖量是矢量，它的運算按矢量運算法則進行，亦即，在任一段時間內(nèi)，合力的沖量等于各行，亦即，在任一段時間內(nèi)，合力的沖量等于各個分力的沖量的矢量和，單位個分力的沖量的矢量和，單位 。 F12tt sN （11113 3）在直角坐標(biāo)軸上的投影形式為）在直角坐標(biāo)軸上的投影形式為 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理2112ttxxxxSdtFmvmv2112ttyyyySdtFmv

5、mv2112ttzzzzSdtFmvmv（11115 5） 質(zhì)點動量守恒質(zhì)點動量守恒 若 作 用 于 質(zhì) 點 上 的 力 為 零 ，若 作 用 于 質(zhì) 點 上 的 力 為 零 ， ， 則， 則有有 ，則質(zhì)點動量保持不變。，則質(zhì)點動量保持不變。若若 ，則有，則有 。0F012 mvmv0 xF012xxmvmv理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理有幾個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，有幾個質(zhì)點組成的質(zhì)點系， 內(nèi)力、內(nèi)力、 外力。對外力。對i i質(zhì)點質(zhì)點 iiFieFiieiiFFvmdtd)(有有將質(zhì)點系中每個質(zhì)點的動量定理相加有將質(zhì)點系中每個質(zhì)點的動量定理相加有 ieFFmvd

6、td)(因內(nèi)力 ， 0iF故故 eFmvdtd11112 2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理各質(zhì)點動量的矢量和，質(zhì)點系的動量用各質(zhì)點動量的矢量和，質(zhì)點系的動量用K K表示。表示。 mvK（11116 6） 于是有：于是有： eFmvdtddtdK（11117 7） 上式稱為質(zhì)點系動量定理的微分形式，即質(zhì)點系的上式稱為質(zhì)點系動量定理的微分形式，即質(zhì)點系的動量（主矢）動量（主矢） 對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于該對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于該質(zhì)點上所有力的主矢質(zhì)點上所有力的主矢 。 mveF投影在直角坐標(biāo)軸上：投影在直角坐標(biāo)軸上： 理論力學(xué)電子

7、教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理ezzeyyexxFdtdkFdtdkFdtdk（11118 8） 將（將（11117 7）改成）改成 dtFdke質(zhì)點系動量的微分等于質(zhì)點系所受外力系的動量的矢量和。質(zhì)點系動量的微分等于質(zhì)點系所受外力系的動量的矢量和。 積分后有：積分后有： dtFKKtte2112改寫為：改寫為： eSKK12（119） 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理上述即為質(zhì)點系動量定理的積分形式，又稱沖量定理。上述即為質(zhì)點系動量定理的積分形式，又稱沖量定理。即，質(zhì)點系動量在某時間間隔內(nèi)的改變量，等于各質(zhì)即，質(zhì)點系動量在某時間間隔內(nèi)

8、的改變量，等于各質(zhì)點系所受全部外力在同一時間間隔內(nèi)動量的矢量和。點系所受全部外力在同一時間間隔內(nèi)動量的矢量和。 在坐標(biāo)軸上投影有：在坐標(biāo)軸上投影有： ezzzeyyyexxxSKKSKKSKK121212（1110） 上式表明：在某一時間間隔內(nèi)，質(zhì)點系動量在任一固定上式表明：在某一時間間隔內(nèi)，質(zhì)點系動量在任一固定軸上投影的改變量，等于作用于質(zhì)點系的外力動量在同軸上投影的改變量，等于作用于質(zhì)點系的外力動量在同軸上投影的代數(shù)和。軸上投影的代數(shù)和。 易用動量定理解決的問題有：流體流過彎曲管道、射易用動量定理解決的問題有：流體流過彎曲管道、射流對障礙物表面的壓力及碰撞問題等。流對障礙物表面的壓力及碰撞

9、問題等。 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理【解解 】考慮小球，取坐標(biāo)軸xoy 根據(jù)投影的質(zhì)點動量定理 SinmvSinmvSx12)(12CosvmCosmvSy代入數(shù)值得： smkgSx/27. 0smkgSy/46. 4Sx、Sy正值，方向與所做一致 例例11-111-1 質(zhì)量為1kg的小球，以 的速度與一固定水平面相碰，其方向與鉛垂線成 角。設(shè)小球彈跳的速度為 ，其方向與鉛垂線成 角，如圖所示，試求作用于小球上的動量的大小和方向。 smv/41smv/2230 601v2v1v2vySxSSxy(a)(a)(b)(b)理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十

10、一章第十一章 動量定理動量定理smkgSSSyx/47. 446. 427. 02222其方向： 0605. 046. 427. 0yxSStg283例例11-2 11-2 機車的質(zhì)量為 ，車輛的質(zhì)量為 ，它們系通過相互撞擊而掛鉤的。若掛鉤前，機車的速度為 ，車輛處于靜止，如圖（a）所示。求（1）掛鉤后的共同速度 ；（2）在掛鉤過程中相互作用的動量和平均撞擊力。設(shè)掛鉤時間為 秒，軌道是光滑和水平的。 1m2m1vut1v02v（a）理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理【解解】 以機車和車輛為研究對象。它們在撞擊過程中相互作用力是內(nèi)力，作用在系統(tǒng)上的外力除了鉛垂方向

11、的重力和軌道給車輪的法向反力外，無其它外力，故在掛鉤過程中水平方向沒有外力沖量，即系統(tǒng)的動量在水平軸x方向是守恒的。 （1 1）0)(1121vmumm1211vmmmu理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理（2 2）以機車為研究對象，如圖（b）所示。 Svmum111由此的動量S的大小為： 1212111)(vmmmmuvmS從而求得平均撞擊力為： 12121)(vtmmmmtsFuS（b b）理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理 質(zhì)量中心質(zhì)量中心 組成質(zhì)點系各質(zhì)點的質(zhì)量及其在空間位置是不同的，表征質(zhì)點系的各質(zhì)點的質(zhì)量及其位置分布情況

12、的一個幾何點稱為質(zhì)量中心，簡稱質(zhì)心。 確定質(zhì)心位置的方法與重心類似（同第四章） Mrmriic（11111111） cimircrcycxczyxzo11113 3 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理而其坐標(biāo)公式： MxMxiicMyMyiicMzMziic （1112） 質(zhì)心和重心是兩個不同的概念，質(zhì)心是質(zhì)點系質(zhì)量中心，質(zhì)心只取決于質(zhì)量的分布情況，與質(zhì)點系所受力無關(guān)。質(zhì)心和重心只有在重力場中才重合為一個點。 質(zhì)點系的動量是各質(zhì)點動量矢量和 mvMvc（1113） 投影在直角坐標(biāo)軸上： czzcyycxxMvmvMvmvMvmv理論力學(xué)電

13、子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理例例11-111-1 圖示質(zhì)點系的動量。圖示質(zhì)點系的動量。 ccv（a a）o oc c（b b）R R（c c）Rc c（d d）（a） cMvmvKiLMmvK20KMRMvKc（b） （c） （d） 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理 對式（1113）求導(dǎo)數(shù)： mvMvcmaMac（11111313） （1114） 又由質(zhì)點系動量定理，式（117）： eFmvdtddtdK則： eFma（11111515） 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理或

14、 ecFMa（11111616） 上式稱為質(zhì)心運動定理。即，質(zhì)點系的總質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于質(zhì)點所受外力的矢量和。 對于剛體或剛體系統(tǒng)，由于剛體的質(zhì)心位置難以確定，故用 比較方便。 ecFMa投影形式： czcycxFzmFymFxm （1117） 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理或 czccyccxcFzMFyMFxM （1118） 質(zhì)心運動定理表明：質(zhì)心的運動只取決于外力，而與內(nèi)力無關(guān)，也與外力是否作用在質(zhì)心無關(guān)。 質(zhì)心運動守恒定理質(zhì)心運動守恒定理 由 ，若 ，則 ， 常矢量。ecFMa0eF0cacv理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章

15、動量定理動量定理即，若作用于質(zhì)點系的外力系主矢恒等于零，則質(zhì)心作慣性運動，若質(zhì)心的初始速度也等于零， ，則 常矢量。即質(zhì)心位置靜止。 0cvcr若 ，則 ， 常數(shù)，即質(zhì)心在x軸上守恒，又若v0在x軸上投影也為零，則 常數(shù)，質(zhì)心在x軸方向靜止。 0cxF0cxacxvcx上述的質(zhì)心運動守恒和質(zhì)心位置守恒，通常稱為：質(zhì)心運動守恒定理。 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理例例11-211-2 在靜止的小船中間站著兩個人，其中m150kg，面向船首方向走動1.5m。另一個人m260kg，面向船尾方向走動0.5m。若船重M150kg，求船的位移。水的阻力不計。 【解解】因

16、無水平力水平方向質(zhì)心守恒，又初始靜止 00 cvcgm1gm2Mgy yMg尾尾首首甲甲乙乙gm2甲甲乙乙xxxgm1理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理常數(shù)cxccxx0把坐標(biāo)原點放在船的質(zhì)心的初始位置 00cx設(shè)當(dāng)經(jīng)過t時刻后，船向右移動x，則： 0)5 . 1()5 . 0(2112MmmmxmxMxxct即 0)5 . 1()5 . 0(12mxmxMx)(173.026075305 .15 .02112應(yīng)向左位移mMmmmmx理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理 例例11-311-3 質(zhì)量為M的物塊A放在光滑的水平面上，如圖

17、。若擺長為 ，質(zhì)量不計，擺錘B質(zhì)量為 ，且擺動 ， 為常數(shù)。設(shè)運動開始時質(zhì)心速度為零，求物塊A的運動方程。 lmtsin00、【解解】以物塊A與擺錘B所組成的質(zhì)點系為研究對象。 ，故質(zhì)心在水平方向守恒（即質(zhì)心的x左邊不變）， 。 0cxF00 xv取oxy：并令y軸通過質(zhì)心，則 0cx0MmMxmxxABc（1 1） MgNmgA AB Bo oBxAxxy理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理或 （2 2） 0ABMxmx因有 sinlxxAB（3 3） 將（3）代入（2）有： )sinsin(sin0tMmmlMmmlxA（4 4） （4）式即為物塊A的運動方程

18、 本題也可用質(zhì)點系動量在x軸方向守恒 0)cos(lvmMvKAAx（5 5） 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理cosMmmlvA（6 6） 將（6）式積分有： CMmmldMmmlxAsincos（7 7） 又 ，代入（7）式得 ，由此存在 000Axt，0C)sinsin(sin0tMmmlMmmlxA理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理例例11-411-4 如圖所示系統(tǒng)中，均質(zhì)桿OA、AB與均質(zhì)輪的質(zhì)量均為 ，OA桿的長度為 ，AB桿的長度為 ，輪的半徑為R，輪沿水平面作純滾動。在圖示瞬時，OA的角速度為 ，則整個系統(tǒng)的動量

19、為多少？m1l2l【解解】 ,方向水平向左。因為按圖示機構(gòu)，系統(tǒng)可分成3個剛塊：OA、AB、和輪B。首先需找出每個剛塊的質(zhì)心速度： 125mlp OA作定軸轉(zhuǎn)動，其質(zhì)心速度在圖示瞬時只有水平分量 ，f方向水平向左。1121lvxA AB BO O理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理AB作瞬時平動，在圖示瞬時其質(zhì)心速度也只有水平分量12lvvAx，方向水平向左。輪B作平面運動，其質(zhì)心B的運動軌跡為水平直線，所以B點的速度方向恒為水平，在圖示瞬時 ，方向水平向左。1lvvAB所以0yp0zp)(251321mlmvmvmvpxxxx所以125mlppx方向水平向左理論

20、力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理例例11-511-5 如圖所示，均質(zhì)桿OA，長 ,重為 ，繞O 軸在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動。桿與水平線成 角時，其角速度和角加速度分別為 和 ，求該瞬時軸O 的約束反力。l 2P【解解】取桿OA為研究對象，受力如（b）圖所示。取坐標(biāo)系oxy，桿OA質(zhì)心加速度為：2lanclac方向如圖（b）所示。則：C CllA AoyoxPncaca(b)(b)xyoP PC CllA AO O(a)(a)理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理sincossincos2llaaaonccxcossincossin2llaaaon

21、ccy由質(zhì)心運動定理得：XMacxYMacy得：oXllgP)sincos(2PXllgPo)cossin(2解得：)sincos(2gPlXo)cossin(2gPlPYo本題約束反力也可表示為切向力和法向反力，讀者可自己進行求解。理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理例例11-611-6 如圖所示，均質(zhì)桿AB 長為 ，鉛垂地立在光滑得水平面上，求它從鉛垂位置無初速度地倒下時，端點A得軌跡。l【解解】AB 桿初始靜止，且有0X即沿x軸方向質(zhì)心位置應(yīng)守恒，質(zhì)心C始終在y軸上，A點的坐標(biāo)可表示為：cos2lxAsinlyA消去 ，得：2224lyxAA即A點的軌跡為橢圓。CCA AB BBA理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第十一章第十一章 動量定理動量定理1.1.選擇題選擇題D D（1）設(shè)剛體的動量為 ，其質(zhì)心的速度為 ，質(zhì)量為M，則式 。（ ）PcvcMvP A.只有在剛體作平動時才成立B.只有在剛體作直線運動時才成立C.只有在剛體作圓周運動時才成立D.剛體作任意運動時均成立C C（2）