分式方程的解法及應(yīng)用基礎(chǔ)導(dǎo)學(xué)案習(xí)題含答案

1、分式方程的解法及應(yīng)用（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解分式方程的概念與檢驗(yàn)根的意義，會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程2. 會(huì)列出分式方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點(diǎn)詮釋：（1）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知數(shù).（2）分式方程與整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程與整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程. 要點(diǎn)二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最

2、簡(jiǎn)公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡(jiǎn)公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根.解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡(jiǎn)公分母）；（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無解. 要點(diǎn)三、解分式方程產(chǎn)生增根的原因方程變形時(shí)，可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根.產(chǎn)生增根的原因：去分母時(shí)

3、，方程兩邊同乘的最簡(jiǎn)公分母是含有字母的式子，這個(gè)式子有可能為零，對(duì)于整式方程來說，求出的根成立，而對(duì)于原分式方程來說，分式無意義，所以這個(gè)根是原分式方程的增根.要點(diǎn)詮釋：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”時(shí)產(chǎn)生的.根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不為0的數(shù)，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0，那么所得方程與原方程不是同解方程，這時(shí)求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要檢驗(yàn)根，這種檢驗(yàn)與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯(cuò)誤，而是檢驗(yàn)是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過程中沒有錯(cuò)誤的前提下進(jìn)行的.要點(diǎn)四、分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主

4、要就是列方程解應(yīng)用題.列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進(jìn)行：（1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；（4）解這個(gè)分式方程；（5）驗(yàn)根，檢驗(yàn)是否是增根；（6）寫出答案.【典型例題】類型一、判別分式方程1、下列方程中，是分式方程的是（ ）A BC D，（，為非零常數(shù)）【答案】B；【解析】A、C兩項(xiàng)中的方程盡管有分母，但分母都是常數(shù)；D項(xiàng)中的方程盡管含有分母，但分母中不含未知數(shù)，由定義知這三個(gè)方程都不是分式方程，只有B項(xiàng)中的方程符合分式方程的定義【總結(jié)升華】要判斷一個(gè)方程是否為分式方程，就看其有無分母，并

5、且分母中是否含有未知數(shù)類型二、解分式方程2、 解分式方程（1）；（2）【答案與解析】解：（1），將方程兩邊同乘，得解方程，得檢驗(yàn)：將代入，得 是原方程的解（2），方程兩邊同乘以，得解這個(gè)方程，得檢驗(yàn)：把代入最簡(jiǎn)公分母，得2×5×1100 原方程的解是【總結(jié)升華】將分式方程化為整式方程時(shí)，乘最簡(jiǎn)公分母時(shí)應(yīng)乘原分式方程的每一項(xiàng)，不要漏乘常數(shù)項(xiàng)特別提醒：解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)方程的根舉一反三：【變式】解方程：【答案】解：，方程兩邊都乘，得，解這個(gè)方程，得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)， 是增根， 原方程無解類型三、分式方程的增根【高清課堂 分式方程的解法及應(yīng)用 例3（1）】3、為何值時(shí)，關(guān)于的方

6、程會(huì)產(chǎn)生增根？【思路點(diǎn)撥】若分式方程產(chǎn)生增根，則，即或，然后把代入由分式方程轉(zhuǎn)化得的整式方程求出的值【答案與解析】解： 方程兩邊同乘約去分母，得整理得 原方程有增根， ，即或把代入，解得把代入，解得所以當(dāng)或時(shí)，方程會(huì)產(chǎn)生增根【總結(jié)升華】處理這類問題時(shí)，通常先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再將求出的增根代入整式方程，即可求解舉一反三：【變式】如果方程有增根，那么增根是_【答案】；提示：因?yàn)樵龈鞘狗质降姆帜笧榱愕母煞帜富蚩傻盟栽龈穷愋退?、分式方程的?yīng)用4、甲、乙兩班參加綠化校園植樹活動(dòng)，已知乙班每小時(shí)比甲班多種2棵樹，甲班種60棵樹所用的時(shí)間與乙班種66棵樹所用的時(shí)間相等求甲、乙兩班每小時(shí)各

7、種多少棵樹?【思路點(diǎn)撥】本題的等量關(guān)系為：甲班種60棵樹所用的時(shí)間與乙班種66棵樹所用的時(shí)間相等【答案與解析】解：設(shè)甲班每小時(shí)種棵樹，則乙班每小時(shí)種棵樹由題意可得，解這個(gè)方程，得經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根且符合題意所以(棵)答：甲班每小時(shí)種20棵樹，乙班每小時(shí)種22棵樹【總結(jié)升華】解此題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)后，用含的分式表示甲、乙兩班種樹所用的時(shí)間舉一反三：【變式】?jī)蓚€(gè)工程隊(duì)共同參與一個(gè)建筑工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工1個(gè)月完成總工程的，這時(shí)增加了乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了半個(gè)月，總工程全部完成哪個(gè)隊(duì)的施工速度快?【答案】解：設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工1個(gè)月能完成工程的，總工程量為1根據(jù)工程的實(shí)際進(jìn)度，得方程兩邊同時(shí)乘以，得 解

8、這個(gè)方程得 檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，60， 所以是原分式方程的解由上可知，若乙隊(duì)單獨(dú)工作1個(gè)月可以完成全部任務(wù)，對(duì)比甲隊(duì)1個(gè)月完成任務(wù)的，可知乙隊(duì)施工速度快答：乙隊(duì)施工速度快【鞏固練習(xí)】一.選擇題1下列關(guān)于的方程中，不是分式方程的是（ ）ABCD2解分式方程，可得結(jié)果( )A.B.C.D.無解3要使的值與的值互為倒數(shù)，則的值為( )A.0B.1C.D.14已知，若用含的代數(shù)式表示，則以下結(jié)果正確的是( )A.B.C.D.5若關(guān)于的方程有增根，則的值為( )A.3B.1C.0D.16完成某項(xiàng)工作，甲獨(dú)做需小時(shí)，乙獨(dú)做需小時(shí)，則兩人合作完成這項(xiàng)工作的80，所需要的時(shí)間是( )A.小時(shí)B.小時(shí)C.小時(shí)D.小時(shí)二

9、.填空題7. 當(dāng)_時(shí)，分式與的值互為相反數(shù)8倉(cāng)庫(kù)貯存水果噸，原計(jì)劃每天供應(yīng)市場(chǎng)噸，若每天多供應(yīng)2噸，則要少供應(yīng)_天9_時(shí)，兩分式與的值相等10當(dāng)_時(shí)，關(guān)于的方程的根是111若方程有增根，則增根是_12關(guān)于的方程的解是負(fù)數(shù)，則的取值范圍為_三.解答題13. 解下列分式方程：（1）；（2）；（3）14. 甲、乙兩地相距50，A騎自行車，B乘汽車，同時(shí)從甲城出發(fā)去乙城已知汽車的速度是自行車速度的2.5倍，B中途休息了0.5小時(shí)還比A早到2小時(shí)，求自行車與汽車的速度15.有一個(gè)兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大1，這個(gè)兩位數(shù)被個(gè)位數(shù)字除時(shí)，商是8，余數(shù)是2，求這個(gè)兩位數(shù)【答案與解析】一.選擇題1. 【答

10、案】C； 【解析】C選項(xiàng)中分母不含有未知數(shù)，故不是分式方程.2. 【答案】D； 【解析】是原方程的增根.3. 【答案】B； 【解析】由題意，化簡(jiǎn)得：解得.4. 【答案】C； 【解析】由題意，化簡(jiǎn)得：，所以選C.5. 【答案】A； 【解析】將代入，得.6. 【答案】C； 【解析】由題意，所以選C.二.填空題7. 【答案】18； 【解析】，解得.8. 【答案】； 【解析】原計(jì)劃能供應(yīng)天，現(xiàn)在能供應(yīng)天，則少供應(yīng)天.9. 【答案】8； 【解析】，解得.10.【答案】； 【解析】將代入原方程，得，解得.11.【答案】； 【解析】原方程化為：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是增根.12.【答案】且a0；【解析】原方程化為，解得.x-1，解得a0.三.解答題13.【解析】解：(1)方程的兩邊都乘，得 解這個(gè)整式方程，得2 檢驗(yàn)：當(dāng)2時(shí)，20，所以2是增根，所以原方程無解(2)方程兩邊同乘約去分母，得整理，得這個(gè)式子為恒等式.檢驗(yàn)：當(dāng)，時(shí)，所以與是增根因此，原方程的解是且的任何實(shí)數(shù)(3)方程兩邊同乘，得解此方程，得檢驗(yàn)：把代入得，所以原方程的解是14.【解析】解：設(shè)自行車的速度為，汽車的速度為