線性離散Z變換

1、2.5 z傳遞函數(shù)2.5.1z傳遞函數(shù)的定義：輸出脈沖序列的z變換Y(z)跟輸入脈沖序列z變換R(z)之比G二Zy(kT) Zr(kT)Y(z)R(z)2.52連續(xù)環(huán)節(jié)(或系統(tǒng))的離散化1. 沖激不變法G(s) tG(z) 求G(s)的拉氏反變換h ( t)(脈沖過渡函數(shù)) 令t=kT代入h(t)得到離散環(huán)節(jié)沖激響應(yīng)h(kT) 求h(kT)的z變換，得z傳遞函數(shù)G(z)K例2.18試離散化連續(xù)環(huán)節(jié)G(s)= 廠，求G(z)解：(1) h(t)= L1G(s)P KeatakT(2) t=kT 代入 h(t),得 h(kT) = Ke求h(kT)的z變換G二Kz-aT z e2.部分分式法例 2

2、.22g(k已知 s) (s+ a)(s+ b),求 G(z)nG(z)y (s+s)G(s)z/ (z- esT)i ns=-§解：n= 2,® a,S2 bG二(s+ a)Kz(s a)(s b)(z- esT)(s+ b)Kz(S+ a)(s+ b)(z- esT) s=_bKzKz= + ( a b)(z e aT)b a)(z-e bT)bTaT、=. (ze )(ze )kz_aT_bTC a b)(z- e )(z- e beaT 一 ebT"( a b)(z- eaT)(z- ebT)d l _1-1)!薩心 s)lG(s)z/(z-esT)S =

3、 _Sj例 2.25已知G(s)1(s a)2 ,求 G(z)解：N1,1 = 2,q 二G(s) = 1/(21)!*(s a)21 (s a)2迪刀s_ -a-ds zezT( es) (z- esT)2s=_a3.留數(shù)法若G(s)有N個不同極點，有I重極點,則:G(z) =N' 1/ (Ii =1二 TzeaT/(z - eaT)22.5.3 z傳遞函數(shù)的性質(zhì)1. z傳遞函數(shù)與差分方程例2.28設(shè)線性離散系統(tǒng)的差分方程為:y(kT)+3y(kT-T)+4y(kT-2T)+5y(kT-3T)=R(kT)-3R(kT-T)+2R(kT-2T)且初始靜止。試求系統(tǒng)的z傳遞函數(shù).解：對差

4、分方程作z變換得Y(z) 3Y(z)z1 4Y(z)z2 5Y(z)Z3二 R(z)- 3R(z)z，2R(z)z 2系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)為1 - 3z2z 21 3z，4z2 5z3G(z)z3 3z2 4z 5例2.29設(shè)線性離散系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)為z4 + 3z3 + 2z2 + z+ 1G(z) = ： j 2：z 1z4 + 4z3 + 5z2 + 3z+ 2試求系統(tǒng)的差分方程 解:由tRDz4 3z3 2z2 乙 1z4 4z3 5z2 3z 2 1 3z 1 2z2 z 3 z 41 4z1 5z2 3z 3 2z4可得到：Y(z)(1 4z 1 5z 2 3z 3 2z 4)=R(z

5、)(1 3z12z2zz4)對上式兩邊作z反變換，可得差分方程為y(kT)+4y(kT-T)+5y(kT-2T)+3y(kT-3T)+2y(kT-4T) =r(kT)+3r(kT-T)+2r(kT-2T)+r(kT-3T)+r(kT-4T)2. 開環(huán)z傳遞函數(shù)(方框圖變換)a)串聯(lián)環(huán)節(jié)(1)圖 2.10 ( a)(a)離散環(huán)節(jié)串聯(lián)是兩個離散環(huán)節(jié) G1(z), G2(z)串聯(lián).(兩個離散環(huán)節(jié)內(nèi)均有采樣開關(guān))其整體開環(huán)z傳函：G(z)= G1(z) G2(z)ZG2(z)=例 2.30 設(shè)圖 2.10 ( a)中 G1(z)= z- 1azz - e T，試求開環(huán)z傳遞函數(shù)G(z).解：G(z)=

6、 G1(z)G2(z)z=z_ 1az“T z e2az= (zT)(z- e T)(2)圖 2.10 ( b)G(“ £一 G(C G2(5)竺) TZ(b)連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)是兩個連續(xù)環(huán)節(jié)G1(s),G2(s)串聯(lián).(其丫(Z)左邊有采樣開關(guān)，但兩環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān))其整體開環(huán)z傳遞函數(shù)：G(z)=ZG1(s)G2(s)=G1G2(z)(即：兩者不能直接相乘)圖 2.10 ( c) G(z)G(CTT(C)連續(xù)環(huán)節(jié)間帶采樣開關(guān)是兩個連續(xù)環(huán)節(jié)G1(z), G2(z)串聯(lián)(其丫(Z)左邊有采樣開關(guān)，而且兩環(huán)節(jié)之間也有采樣開關(guān))其整體開環(huán)z傳函：G(z)= ZG1(s) ZG2(s)=G1

7、(z)G2(z)例2.31設(shè)圖2.10( b )中G(“ 一 G(C G G) Y竺 TZ(b)連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)1G1(s)= s，G2(s)=試求開環(huán)Z傳遞函數(shù)G(z)解：G (z) = ZG1(s)G2(s)1 =Z； s(部分分式)=Z sZ(求 z 變換)=z1 z_e'T=z(1 e")(通分)(zT)(ze T)例2.32設(shè)圖2.10(c)中Rd連續(xù)環(huán)節(jié)間帶采樣開關(guān)1G1(s)= s ,G2(s)= s a，試求開環(huán)z傳遞函數(shù)G(z)解：G(z)= ZG1(s)ZG2(s)=ZZ - s s a=-7W=z 1 z eaz2(z1)(z e T)從例2.31、例2.3

8、2可以看出串聯(lián)的連續(xù)環(huán)節(jié)之間有無采樣開關(guān)，開環(huán)Z傳遞函數(shù)是不同的。b)并聯(lián)環(huán)節(jié)的z傳函離散環(huán)節(jié)井聯(lián)是兩個離散環(huán)節(jié)并聯(lián)開環(huán) z傳函為:G(z)= G1(z)+G2(z)(0帶采樣開關(guān)的連續(xù)環(huán)節(jié)并琛圖2.11(b)和圖2.11(c)均為兩個連續(xù)環(huán)節(jié)并聯(lián)，環(huán)z傳函都是：G(z)= ZG1(s)+ZG2(s)= G1(z)+G2(z)2.閉環(huán)z傳函(方框圖變換)圖簽12線性離啟閉環(huán)泵統(tǒng)之一圖2.12的解題過程：(1) Y(z)是怎么來的：(Y(z)的左邊有采樣開關(guān))丫(z)= E(z)ZG(s)(2) E(z)是怎么來的：(E(z)的左邊有采樣開關(guān))E(z)=ZR(s) - E(z) ZG(s) ZF

9、(s)=R(z) - E(z) G(z) F(z)(G(s)和F(s)之間有采樣開關(guān))在中提出E(z):E(z)二R(z)1 G(z) F(z)將代入(1), 得:Y(z)二G(z) R(z)1 G(z) F(z)(5)由(4)可得線性離散系統(tǒng)的閉環(huán)z傳函:Gc(z)一 丫R(Z)G1 G(z) F(z)1圖線性離散閉環(huán)系統(tǒng)之:圖2.13的解題過程：(1) Y(z)是怎么來的：(Y(z)的左邊有采樣開關(guān))丫(z)= E 2(z)ZG 2(s)E2(Z)是怎么來的：(E2(Z)的左邊有采樣開關(guān))E2(z)=ZR(s) G i(s)(R(s) -Gi(s)之間無采樣開關(guān))-E2(z)ZG 2(s)

10、F(s) G i(s)(G2(s) tF(s) tGi(s)之間無采樣開關(guān))=RGi(z) - E2(z)G2FGi(z)上式中提出E2(z),得:RGi(z)1 GiG2F(z)將上式代入(1)式，可得線性離散系統(tǒng)的閉環(huán) z傳函:丫二G21 GGF(z)RGi(z)2.54用z傳函分析過渡過程(簡介) 求出丫.畫y(kT)(即:丫(z)去掉z-r的曲線)例2.34設(shè)線性離散系統(tǒng)如圖2.14，且 a=1/s,K=1,T=1s ，輸入為單位階躍序列。試分析系統(tǒng)的 過渡過程。解：將已知參數(shù)代入式(2-40)，可得到閉環(huán)Z傳遞 函數(shù)-(1 一 2e 1)0.368z+ 0.264Gc(zp 廠z2

11、z (1 e)z2 z 0.632輸入為單位階躍序列時，R(z) =0.368z20.264z丫(z)=G c(z)R(z)+ 0.895z 6 + 0.802z 7 +0.868z5+=z3 2z2 1.632z 0.632=0.368 z 1 + z 2 + 1.4z3 + 1.4z 4 + 1.147z0.993z 9 + 1.077z10 + 1.081z 111.032z 12 + 0.981z 13 + 0.961z 140.973z15+ 0.997z16+ 由z變換的定乂，離散系統(tǒng)輸出時間序列為(o) = 0； y(T) = 0.368*y(2T) = lj “ 丿(打)=，(

12、4叮=E4* y(5D 匸 l*U7iy(6T)= 0-895;y(7T)=y(T)= 0. 8681>(9T) 0. 993iy(10T) = 1，077j ><11T) 5jy(12T) L 032jy(13T) = 0. 981»y(14T) = Q： 961$(15T)y(lQT) = 0,997)* 0:'-:2T at 6T ST 10T izr *T跛z. E 禹歌系時出的脈沖琳列由圖知調(diào)節(jié)時間約ts12s超調(diào)量巧p約為40%峰值時間tp=3s,震蕩次數(shù)N=1.5次，衰減比"=2:1，穩(wěn)態(tài)誤差ess= 0用傳函分析誤差（簡介）1.單位

13、階躍輸入R(z)= z T，穩(wěn)態(tài)誤差為氐丈尸妁呂社(z) =1 D(1)HG(1) Ks2.單位速度輸入R( Tzz(z-1)2 , 穩(wěn)態(tài)誤差為ess = e( ) = lim(zT)E(z)二 limz 1z (-1)1 D(z)HG(z)TKv3.單位加速度輸入R( T2z(z 1)Z2(zT)3 ，穩(wěn)態(tài)誤差為T2ess 二 e()二 lim(zT)E(z)二 lim 2z1z 七-1)21 D(z)HG(z)Ka2.6穩(wěn)定性分析2.6.1 s平面與z平面的映射關(guān)系部分。S平面與Z平面的映射關(guān)系如219所示'設(shè)S平面上左半部分有直線s,映射到Z平面上.是以原點為 周，顯然 |e-i

14、r|<lD:設(shè)S平面上右半部分有直線巳,映射到Z平面上，是以原點為心屮丁為半徑的另外必須指岀山是采樣角頻率如的周期函數(shù)，當(dāng)S平面上©不變（角頻率覘由0變到 無窮時山的模不變，只是相角作周期性變化。在離散系統(tǒng)的采樣角頻率較系統(tǒng)的通頻帶高許多時，主要討論的是主頻區(qū)*即加= 一叫/2紈/2,其中糾=2當(dāng)/7其余部分則稱為輔頻區(qū).北一処的周期特性如圖2. 20所示。圖Z19 S平面與Z平面的映射關(guān)系輔頻區(qū)SJ3叫7曠-、-'-主頻區(qū)主頻區(qū)°f taima輔頻區(qū)一叫/T1-3*/2j Imrzj廠<*> to s /®=w,/2j0w=1 o7iN

15、go a j /4* 4H圖 2, 20 z-ar.的周期持性穩(wěn)定域（單位圓）263穩(wěn)定判據(jù)1.舒爾(Schour )科恩(Cohn)穩(wěn)定判據(jù)選系數(shù)行列式0*+00ft*4 »-1« « 000V00弘L0an- 4 V*m + 1m+2 a*rti-j-j«51iJ41；: ；ai« «-4.=*幾-1瓦a-20V04*«00鬲 *,0«0 .az 'J,11 4 * *-* .|£Off! 1(2-56)'§1爲(wèi)01V *00* 乙一 2VaK . 0*0*0<

16、7; « *V撫M E豐1Sjt-nti-xjft- i -«0V0-0V « «a., 1式中令m = l» 2, 3,，n>算為特征方程的階數(shù)五為心的共扼復(fù)數(shù).久是2mX2m行列式，把各階行列式順序排列成心，A-厶，苴符號變更的數(shù)目就是穩(wěn)定根的數(shù)目。所以若系統(tǒng)穩(wěn)定,變號次數(shù)就等于特征方程式（255）的階； 數(shù)。!皿為奇智 槪為mJI(2-575八系統(tǒng)穂定的條件是I：4* V 0*： * f ' 4» > 0、 .! . 1 ' - . <xm = l 時,偽-*_弓殂1.1 .-i=Ifa0

17、76;Gm示'1:(2-58)宀 . j -、m = 2時皿瞌一1=。1，On w+200a>t_ Lr -> : ' > ? 1 1' n-ax為0J.'1八心4 =!u(2-59)fa0鬲ax! j|j耳-】aB0鬲. . !m = 3時- ' ；-* '. -: .1.-q如00aH偽_<n£!；”4flo00a*Jiij 14»'”.、3 如aQ00務(wù)：a -.-' L '?.il'T石'(2-60)ah00a.I": -1 -.M'r瓦

18、00aD.1 -,. .-, 1.1nM-100朋=4時-V- 000* *-1盤掃十？-a000an-X* an-2a。000總鼻ia3知曲0，0'於：1 t-g000島h ! u- 1CLy3za3a#10.00a.鬲“Jty 1'Aan00、 -0a05-3弘一 2乙一 1s0002勞斯(Routh)穩(wěn)定判據(jù)w變換令z = r代入特征方程。I 一 w列勞斯表，第一列均為正，則穩(wěn)定、二、* m OITV"-2*!b2b* V +*« *久一2-11I仇=a”. 1jCE-*-3a«-l 11Qji 耳 i口“一3_ 11bb.11|林11；込=1kiG |Oft 1e 14b、b3圖Z23 Z平面與W平面 的映射關(guān)系在連續(xù)系統(tǒng)中應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的極點是否分布在s平面的左半平面，同樣在球 牲離散系統(tǒng)中也可以用勞斯判據(jù)判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性普不過需要作Z-W變換 令.=戶(2-63>1 _ w經(jīng)過Z-W變換立平面上以原點為圓心的單位圓周映射到W平面上為虛軸憶平面上單位圓內(nèi)的各點映射到W平面上為左半平面上各點迄平面上單位圓外各點映