自動(dòng)控制教案

1、教 案教學(xué)內(nèi)容控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析（勞斯判據(jù)）備課教師宋博仕上課時(shí)間2017.9.1 教學(xué)目標(biāo)理解穩(wěn)定性概念及線(xiàn)性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義；掌握線(xiàn)性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性判定的充要條件；運(yùn)用勞斯判據(jù)，判定三種情形下的系統(tǒng)穩(wěn)定性；運(yùn)用勞斯判據(jù)，分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度；教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)理解穩(wěn)定性的定義；單位脈沖函數(shù)作為擾動(dòng)信號(hào)，推導(dǎo)線(xiàn)性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件；運(yùn)用勞斯判據(jù)，判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性；運(yùn)用勞斯判據(jù)，判定系統(tǒng)穩(wěn)定裕度；教學(xué)過(guò)程在控制系統(tǒng)的分析研究中，最重要的問(wèn)題是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。不穩(wěn)定的系統(tǒng)在受到外界或內(nèi)部的一些因素?cái)_動(dòng)時(shí)，會(huì)使被控制量偏離原來(lái)的平衡工作狀態(tài)，并隨時(shí)間的推移而發(fā)散。因此，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無(wú)法

2、正常工作的。在這一節(jié)中將討論穩(wěn)定性的定義，穩(wěn)定的充要條件及判別穩(wěn)定性的基本方法。(一) 定義穩(wěn)定性是系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，自身具有的一種恢復(fù)能力，它是系統(tǒng)的一種固有特性，這種特性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用無(wú)關(guān)。線(xiàn)性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性的定義：如果線(xiàn)性定常系統(tǒng)受到擾動(dòng)的作用，偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則稱(chēng)該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的（簡(jiǎn)稱(chēng)為穩(wěn)定）。否則，稱(chēng)該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(二) 穩(wěn)定性的充要條件：根據(jù)上述穩(wěn)定性的定義，可以用單位脈沖響應(yīng)函數(shù)函數(shù)作為擾動(dòng)來(lái)討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。線(xiàn)性定常系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，輸入一個(gè)理想單位脈沖信號(hào)，這相當(dāng)于系統(tǒng)在零平衡狀態(tài)下，受

3、到一個(gè)擾動(dòng)信號(hào)的作用，如果當(dāng)t趨于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)C(t)收斂到原來(lái)的零平衡狀態(tài)，即該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。 設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程為如果特征方程的所有根互不相同，且有q個(gè)實(shí)數(shù)根和r對(duì)共軛復(fù)數(shù)根,則在單位脈沖函數(shù)的作用下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換可表示為將上式用部分分式法展開(kāi)并進(jìn)行拉氏反變換得上式表明： 當(dāng)系統(tǒng)特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部時(shí)，則各瞬態(tài)分量都是衰減的，且有，此時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果特征根中有一個(gè)或一個(gè)以上具有正實(shí)部，則該根對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量是發(fā)散的，此時(shí)有 ，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果特征根中具有一個(gè)或一個(gè)以上的零實(shí)部根，而其余的特征根均有負(fù)實(shí)部，則趨于常數(shù)或作等幅振蕩，這時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)定和

4、不穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，稱(chēng)為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。對(duì)于大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)，當(dāng)它處于臨界狀態(tài)時(shí)，也是不能正常工作的，所以臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)在工程上屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。線(xiàn)性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部，即閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于為S平面的左半部分（不包括虛軸）。(三) 勞斯穩(wěn)定判據(jù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定的充要條件是其特征方程的根均具有負(fù)實(shí)部。因此，為了判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就要求出系統(tǒng)特征方程的根，并檢驗(yàn)它們是否都具有負(fù)實(shí)部。但是，這種求解系統(tǒng)特征方程的方法，對(duì)低階系統(tǒng)尚可以進(jìn)行，而對(duì)高階系統(tǒng)，將會(huì)遇到較大的困難。人們希望尋求一種不需要求解的特征方程就能判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的間接方法，勞斯判據(jù)就是其中

5、的一種。勞斯判據(jù)利用特征方程的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，得出全部特征根具有負(fù)實(shí)部的條件，以此作為判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的依據(jù)。因此，這種判據(jù)又稱(chēng)為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。1、穩(wěn)定的必要條件 設(shè)系統(tǒng)的特征方程為 ，式中（當(dāng)時(shí)，可將方程兩邊同乘以-1）。若該方程的特征根為（1,2,.n）,該n個(gè)根可以是實(shí)數(shù)也可以是復(fù)數(shù)，則上式可改寫(xiě)成為將上式展開(kāi)由此可見(jiàn)，如果特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部，則上式的所有系數(shù) 必然都大于零。故系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是其特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正，即根據(jù)必要條件，在判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，可事先檢查系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是否都大于零，若有任何系數(shù)是負(fù)數(shù)或等于零，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。但是，當(dāng)特征方程滿(mǎn)足穩(wěn)定的必

6、要條件時(shí)，并不意味著系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，為了進(jìn)一步確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以使用勞斯判據(jù)。應(yīng)用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，可按下述方法進(jìn)行。將系統(tǒng)的特征方程寫(xiě)成如下標(biāo)準(zhǔn)形式將方程各項(xiàng)系數(shù)組成勞斯表計(jì)算勞斯表的各系數(shù)系數(shù)的計(jì)算一直進(jìn)行到其余的b值全部等于零為止。用同樣的前兩行系數(shù)交叉相乘的方法，可以計(jì)算c , d, e , f , g 各行的系數(shù)。 （1）勞斯表第一列所有系數(shù)均不為零的情況如果勞斯表中第一列的系數(shù)都具有相同的符號(hào)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。且不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)等于勞斯表中第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。例 1：已知系統(tǒng)的特征方程s4+2s3+s2+s+1=0，試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定

7、性解：勞斯表為S4 1 1 1S3 2 1 0S2 (2*11*1)/2=1/2 (2*11*0)/2=1S1 (1*12*2)/1=3S0 (3*21*0)/3= 2 由于勞斯表第一列的系數(shù)變號(hào)兩次，一次由1/2變?yōu)?3 ，另一次由-3變?yōu)?，故特征方程有兩個(gè)根在S平面右半部分，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 (2) 勞斯表某行的第一列系數(shù)等于零，而其余各項(xiàng)不全為零的情況當(dāng)勞斯表某一行的第一列系數(shù)為零，而其余項(xiàng)不全為零，可用一個(gè)很小的正數(shù) 代替第一列的零項(xiàng)，然后按照通常方法計(jì)算勞斯表中的其余項(xiàng)。例 2： 已知系統(tǒng)的特征方程為，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性.解：由特征方程列出勞斯表S4 1 2 5S3 1 2 0S2

8、 5S1 S0 5當(dāng)?shù)娜≈底銐蛐r(shí)， 將取負(fù)值，故勞斯表第一列系數(shù)變號(hào)兩次，由勞斯判據(jù)可知，特征方程有兩個(gè)根具有正實(shí)部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(3)勞斯表某行所有系數(shù)均為零的情況 如果勞斯表中某一行（如第k行）各項(xiàng)為零，這說(shuō)明在S平面內(nèi)存在以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)的特征根。 例 3：已知系統(tǒng)的特征方程為，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由特征方程列勞斯表 S6 1 8 20 16 S5 2 12 16 S4 2 12 16 S3 0 0 0由上表看出，行的各項(xiàng)全為零，為了求出各行，由行的各項(xiàng)系數(shù)構(gòu)成輔助方程將輔助方程對(duì)s求導(dǎo)得 用上式各項(xiàng)系數(shù)作為 行的各系數(shù)繼續(xù)計(jì)算勞斯表得 S6 1 8 20 16 S5 2 12 16

9、 S4 2 12 16 S3 8 24 S2 6 16 S1 8/3 S0 16由于勞斯表第一列系數(shù)符號(hào)都相同，因此，可以確定沒(méi)有特征方程根分布在S平面的右半部分。但由于行的各項(xiàng)均為零，這表明系統(tǒng)有共軛虛根，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，共軛虛根可由輔助方程求得，即由、綜上所述，應(yīng)用勞斯表判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，一般可以按如下順序進(jìn)行：1、確定系統(tǒng)是否滿(mǎn)足穩(wěn)定的必要條件。當(dāng)特征方程的系數(shù)不滿(mǎn)足 (i=0,1,2,n)時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2、當(dāng)特征方程的系數(shù)滿(mǎn)足 (i=0,1,2,n)時(shí)，計(jì)算勞斯表。當(dāng)勞斯表的第一列系數(shù)都大于零時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果第一列出現(xiàn)小于零的系數(shù)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。3、若計(jì)算勞斯表時(shí)出現(xiàn)情況（2）和（3），此時(shí)為確定系統(tǒng)極點(diǎn)的分布情況，可按情況（2）和（3）的方法處理。（4）相對(duì)穩(wěn)定性應(yīng)用勞斯判據(jù)可檢驗(yàn)系統(tǒng)是否有一定的穩(wěn)定裕度，即相對(duì)穩(wěn)定性。 令 即把虛軸左移 。將上式代入系統(tǒng)的特征方程式，得到以z 為變量的新特征方程式，然后用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)新特征方程式有沒(méi)有根位于新虛軸的右邊。如果所有根均在新虛軸的左邊，則說(shuō)明系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕量。例 4：檢驗(yàn)特征方程式，是否有根在右半平面，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在直線(xiàn)s = -的右邊；解 勞斯陣列表為 s 3 2 13 s 2 10 4 s 1 12.2