微分學(xué)的概念性質(zhì)與計(jì)算全程

1、一元微分學(xué)的概念、性質(zhì)與計(jì)算一、考試內(nèi)容導(dǎo)數(shù)和微分的概念函數(shù)的可導(dǎo)性、可微性與連續(xù)性之間的關(guān)系基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程所確定的函數(shù)、積分變限函數(shù)的微分法高階導(dǎo)數(shù) 一階微分形式的不變性（一）導(dǎo)數(shù)與微分的概念與性質(zhì) ，可導(dǎo)是可微的充要條件，其皆為連續(xù)的充分條件.（三）基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)表； ，.（四）導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則；，對(duì)冪指函數(shù)也可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，其適用于冪指函數(shù)、連乘、連除、開(kāi)方、乘方等；設(shè)二階可導(dǎo)，且，則，；設(shè)二階可導(dǎo)，若由所確定，則 ，；.2 / 10二、典型例題題型一 可導(dǎo)性的判定1、設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，則是的(A)(A) 充分非必要

2、條件 (B) 必要非充分條件 (C) 充要條件 (D) 既不充分也非必要條件注：2、設(shè)（或函數(shù)在處連續(xù)），則是的(B)(A) 充分非必要條件 (B) 必要非充分條件 (C) 充要條件 (D) 既不充分也非必要條件注：是的(A) ，但是的(B) 提示：取,則，但在處非右連續(xù)3、設(shè)存在但不相等，則下列命題正確的是(B)(A) 在處不連續(xù) (B) 在處連續(xù)但不可導(dǎo) (C) 為的跳躍間斷點(diǎn) (D) 為的跳躍間斷點(diǎn)注1：為的跳躍間斷點(diǎn)存在但不相等注2：設(shè)在處左（右）連續(xù)，（）4、設(shè)在處連續(xù)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)為(D)(1) 若在處可導(dǎo)，則 (2) 若在處連續(xù)，則 (3) 若，則 (4) 若，則(A)

3、(B) (C) (D) 5、函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為提示：6、求證：若，則 .提示：若，且函數(shù)在處連續(xù)，則在的某鄰域內(nèi)不變號(hào).注1：若，且函數(shù)在處連續(xù)，則.注2： ；在處的連續(xù)在處連續(xù).7、設(shè)，在連續(xù)，但不可導(dǎo)，又存在，求證：是在可導(dǎo)的充要條件提示：若，則； 反之，用反證法，假設(shè)，則在的某鄰域內(nèi)，用定義（或商的求導(dǎo)法則）可證可導(dǎo)，與假設(shè)矛盾，從而題型二 求導(dǎo)（微）的計(jì)算例1、設(shè)，求解：， 則注：該題也可用導(dǎo)數(shù)定義求解例2、設(shè)，求解：，則 注：該題也可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法例3、設(shè)，求解：，則注：例4、函數(shù)可導(dǎo)，當(dāng)自變量在處取得增量時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量的線性主部為，則提示：例5、設(shè)是方程所確定的函數(shù)，求及解：

4、而 易知 例6、 求解：， 則，化簡(jiǎn)得 注：微分運(yùn)算法則在隱函數(shù)求微中相當(dāng)重要，同時(shí)要注意湊微分法的使用，如：例7、設(shè)嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，其反函數(shù)為且滿足，則提示： 例8、設(shè)二階可導(dǎo)，且，求 求解：，則 例9、設(shè)是由方程組所確定的隱函數(shù)，求解（一）因，有 而 ，故 解（二） 注意到，有 例10、設(shè)，求解：，則不存在，而 ， 例11、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解： 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在分段點(diǎn)-1處， 不存在在分段點(diǎn)1處， 例12、對(duì)于函數(shù) ,問(wèn)選取怎樣的系數(shù)才能使得處處具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，但在處卻不存在二階導(dǎo)數(shù)解：由 又，且而此時(shí)，則在處具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，從而處處具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)因，

5、且有，綜上所述，當(dāng)，時(shí)，滿足題意例13、求注：，其中是連續(xù)函數(shù)，存在例14、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，（1）令，則；（拆）（2）令，則（令，換）例15、是由確定的函數(shù)，求 解：對(duì)求導(dǎo)得，有在中令時(shí)，有，即，代入上式得例16、，求，.解：由（1） 得由（2） 得則，將代入易得例17、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則解：將兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)得，令得，代入上式有題型三 高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算例1、求下列高階導(dǎo)數(shù)：（1）設(shè)，求（2）設(shè)，求解： （3）設(shè)，求（4）設(shè)，求，解： 三、課后練習(xí)1(A)、若，且,則2(A)、設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是(D)(A)若存在，則 (B)若存在，則 (C)若存在，則存在(D)若存在，則存在3(B)

6、、設(shè)，則在=0處可導(dǎo)(C)(A) 存在 (B) 存在 (C)存在 (D) 存在注：設(shè)，在=0處具有右導(dǎo)數(shù)存在；不存在，因?。ǔ浞执螅r(shí)，4(B)、設(shè)在內(nèi)有定義，且恒有，則必是的(C)(A) 間斷點(diǎn) (B) 連續(xù)而不可導(dǎo)點(diǎn) (C) 可導(dǎo)點(diǎn)，且 (D) 可導(dǎo)點(diǎn)，且提示：，用夾逼定理可求出5(A)、函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6(A)、設(shè)可導(dǎo)，則是在處可導(dǎo)的(A)(A) 充要條件 (B)充分非必要條件 (C) 必要非充分條件 (D)即非充分也非必要條件7 (B)、在點(diǎn)處不可導(dǎo)的充分條件為(B)(A) (B)(C) (D)8(A)、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則是函數(shù)的(B)(A)跳躍間斷點(diǎn) (B)可去間斷點(diǎn) (C)

7、無(wú)窮間斷點(diǎn) (D)振蕩間斷點(diǎn)9(A)、設(shè)，其中是有界函數(shù)，則在處(D)(A)極限不存在 (B) 極限存在，但不連續(xù) (C) 連續(xù)但不可導(dǎo) (D) 可導(dǎo)點(diǎn)10(B)、設(shè)在處連續(xù)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)為(D)(1) 若，則 (2) 若，則 (3) 若，則 (4) 若，則(A) (B) (C) (D) 11(A)、設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，則=(A) (A) (B) (C) (D) 12 (B)、若，求證：.13、計(jì)算下列導(dǎo)數(shù)（微分）：（1）(A)設(shè)，則.（2）(A)設(shè)，求.（3）(A)若，則.（4）(A)若由確定，則.（5）(B)設(shè)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，求.（6）(A)設(shè)，其中可導(dǎo)，且，則.（7）(A)設(shè)由所確定，則.（8）(B)設(shè)函數(shù)則.（9）(B)設(shè)，則.（10）(A)設(shè)，則.（11）(B)設(shè)函數(shù)，則當(dāng)，.（12）(A)設(shè)連續(xù)，且，令，則.（13）(B)設(shè)連續(xù)，則 .（14）(A)由（）確定是的函數(shù)，則.（15）(B) 存在. 14(A)、設(shè) 問(wèn)取何值時(shí)，可導(dǎo)？15(A)、設(shè)討論在處的連續(xù)性. （連續(xù)）16(