算術(shù)平均值及中誤差-桂林工學(xué)院

1、算術(shù)平均值及中誤差(一)算術(shù)平均值當(dāng)觀測(cè)值的真值未知時(shí)，通常取多次觀測(cè)值的算術(shù)平均值作為最后結(jié)果，并認(rèn)為它時(shí)最可靠的，用來(lái)代替真值。算術(shù)平均值比組內(nèi)任一觀測(cè)值更為接近于真值，證明如下：設(shè)對(duì)某量進(jìn)行一組等精度觀測(cè)，觀測(cè)值分別為，未知量的真值為，觀測(cè)值的真誤差分別為：則 428將上式取和再除以n，得 429式中：觀測(cè)值得算術(shù)平均值，顯然 430根據(jù)偶然誤差的第四個(gè)特性，有 431觀測(cè)次數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，算術(shù)平均值L趨近于未知數(shù)的真值；當(dāng)n為有限時(shí)，算術(shù)平均值最接近于真值，稱其為最或然值，或稱最可靠值。（二）算術(shù)平均值中誤差觀測(cè)值的最或然值與觀測(cè)值之差，稱為觀測(cè)值改正數(shù)。當(dāng)?shù)染扔^測(cè)時(shí)，算術(shù)平均值L與

2、觀測(cè)值之差，即為觀測(cè)值V。 432則有 433由式代入可知： 434（4-34）式說(shuō)明觀測(cè)值改正數(shù)的一個(gè)重要特征：在等精度觀測(cè)條件下，觀測(cè)值改正數(shù)的總和為零。在實(shí)際測(cè)量工作中，觀測(cè)值的真值x是未知的，在等精度觀測(cè)中，往往只知道算術(shù)平均值和觀測(cè)值改正數(shù)V，這就不能用（4-5）式來(lái)計(jì)算觀測(cè)值的中誤差。而用觀測(cè)值的改正數(shù)V代替真誤差，可推導(dǎo)出計(jì)算觀測(cè)值的中誤差公式(4-8)式： 上式稱白塞爾公式?，F(xiàn)根據(jù)觀測(cè)值的中誤差，計(jì)算算術(shù)平均值中誤差M。由算術(shù)平均值計(jì)算公式，利用誤差傳播定律得： 435由于是等精度觀測(cè)，則有： 436可得： 即 437將（4-8）式代入得： 438 (4-37)式表明，算術(shù)平均值中誤差為觀測(cè)值的中誤差的，M恒小于m，所以在實(shí)際工作中，可以用算術(shù)平均值作為觀測(cè)結(jié)果，增加觀測(cè)次數(shù)，可提高觀測(cè)精度。例6:設(shè)用經(jīng)緯儀測(cè)量某角度6個(gè)測(cè)回，觀測(cè)值見(jiàn)下表，求觀測(cè)值的中誤差m、算術(shù)平均值L及其中誤差M。 經(jīng)緯儀測(cè)量某角度6個(gè)測(cè)回觀測(cè)值 表43觀測(cè)次序觀測(cè)值 改正數(shù)vv計(jì)算1554249-41625542405253554242+394554246-115554248-39655424500求和v=0vv=60利用白塞爾公式