拉格朗日定理和

1、 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 1 拉格朗日定理和拉格朗日定理和 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性一、羅爾定理與拉格朗日定理一、羅爾定理與拉格朗日定理二、函數(shù)單調(diào)性的判別二、函數(shù)單調(diào)性的判別質(zhì)來得到質(zhì)來得到 f 在該區(qū)間上的整體性質(zhì)在該區(qū)間上的整體性質(zhì). .f 中值定理中值定理, , 就可以根據(jù)就可以根據(jù)在區(qū)間在區(qū)間上的性上的性 中值定理是聯(lián)系中值定理是聯(lián)系 與與 f 的橋梁的橋梁. . 有有了了 f 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 定理定理6.1( (羅爾中值定理羅爾中值定理) )上滿足：上滿足：區(qū)間區(qū)間在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(baxf一、羅爾定理與拉格朗日定理那么在開區(qū)間那么在開區(qū)間(a, b)內(nèi)必定內(nèi)必定(至少至少

2、)存在一點(diǎn)存在一點(diǎn) , 使使( )0.f (i) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù);(ii) 在開區(qū)間在開區(qū)間 (a, b) 上可導(dǎo)上可導(dǎo);(iii) f(a) = f(b). 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 (1) 幾何意義幾何意義據(jù)右圖據(jù)右圖, , xyabAB1 2 O平的平的. .一點(diǎn)處的一點(diǎn)處的切線也是水切線也是水 看出看出, , 曲曲線上至少有線上至少有 的的. .由幾何直由幾何直觀可以觀可以所以線段所以線段 AB 是水平是水平因?yàn)橐驗(yàn)辄c(diǎn)擊上圖動畫演示點(diǎn)擊上圖動畫演示f (a) = f (b), 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 (2) 條件分析條件分析Oxy定理中的三個條件都很重要，缺少一個定

3、理中的三個條件都很重要，缺少一個, ,結(jié)論不結(jié)論不 1, 010,)( (a)xxxxf函數(shù)函數(shù)在在 0, 1 上滿足條件上滿足條件 (ii) 和和一定成立一定成立. .數(shù)在數(shù)在 (0, 1) 上的導(dǎo)數(shù)恒為上的導(dǎo)數(shù)恒為1.(iii), 但條件但條件 (i) 不滿足不滿足, ,該函該函 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 1, 1|,|)( (b) xxxf滿足條件滿足條件 (i) 和和 (iii), 但條件但條件條件條件 (i) 和和 (ii), ,但條件但條件 (iii)1, 0,)( (c) xxxf滿足滿足Oxy1Oyx1 1處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)), 結(jié)論也不成立結(jié)論也不成立.(ii) 卻遭到破壞卻遭到破

4、壞 ( f 在在 x = 0 內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為1. 卻遭到破壞卻遭到破壞, ,該函數(shù)在該函數(shù)在 (0, 1) 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 2( )( )f xx D x注注 函函數(shù)數(shù)-1O121234xy 1, 2在在區(qū)區(qū)間間上上三三個個條件都不滿足條件都不滿足, 卻仍有卻仍有 f (0)=0. 這說明羅爾定這說明羅爾定 理的三個條件是充分理的三個條件是充分 條件條件, 而不是必要條件而不是必要條件. 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 定理的證明定理的證明因?yàn)橐驗(yàn)?f (x) 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù), ,所以由連續(xù)函數(shù)的最大、所以由連續(xù)函數(shù)的最大、 情形情形1 M = m. .此時此時 f (x)

5、 恒為常數(shù)恒為常數(shù), ,它的導(dǎo)函數(shù)恒它的導(dǎo)函數(shù)恒 f ( ) = 0 . 小值小值 m .下面分兩種情形加以討論下面分兩種情形加以討論. . 最小值定理最小值定理, ,f (x) 在在 a, b 上能取得最大值上能取得最大值 M 和最和最 等于零等于零, ,此時可在此時可在 (a, b) 內(nèi)隨意取一點(diǎn)內(nèi)隨意取一點(diǎn) , 就就有有 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 情形情形2 m 0 , 存在存在 使使 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 由于由于, 有有01sinlim20 xxx. 0)1cos1sin2(lim)(lim00 xxf.)1cos1sin2(lim)(lim00不存在不存在xxxxfxx 因因,01si

6、n2lim0 xxx所以所以不存在不存在而而,1coslim0 xx 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 二、函數(shù)單調(diào)性的判別改為嚴(yán)格不等號改為嚴(yán)格不等號, 則相應(yīng)地稱它為嚴(yán)格增則相應(yīng)地稱它為嚴(yán)格增 (減減).下面的定理是本節(jié)中的兩個主要定理下面的定理是本節(jié)中的兩個主要定理, 今后將不今后將不若函數(shù)若函數(shù),)(21IxxIxf 上對任意上對任意在區(qū)間在區(qū)間,21xx ),()()()(2121xfxfxfxf 必有必有則稱函數(shù)則稱函數(shù)若若“”. )(單調(diào)減單調(diào)減上單調(diào)增上單調(diào)增在區(qū)間在區(qū)間 I)( )(xf斷地使用斷地使用. 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 定理定理6.3IxfIxf在在區(qū)區(qū)間間上上可可導(dǎo)導(dǎo)，則則在在

7、區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè))()(:( )0 ( 0).fx上上單單調(diào)調(diào)增增( (減減) )的的充充要要條條件件是是證證00,fx xI xx若若為為遞遞增增函函數(shù)數(shù) 則則當(dāng)當(dāng)時時, ,有有00( )()0.f xf xxx00,()0.xxfx令令即即得得1212( )0,.,()fxxIx xIxx反反之之, ,若若設(shè)設(shè)12,(,) ,x x 由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 定理定理6.4 可微函數(shù)可微函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 I 上嚴(yán)格遞增的充上嚴(yán)格遞增的充,0)()()(1212 xxfxfxf 即即),()(12xfxf( ).f x這這就就證證明明了了函函數(shù)數(shù)遞

8、遞增增12121,()xxI xxf x是是嚴(yán)嚴(yán)格格遞遞增增, ,則則存存在在使使6.3( ).( )f xf x 由由定定理理可可知知遞遞增增 若若充充分分性性不不證證個區(qū)間個區(qū)間. .12( )(,),f xxx這這就就得得到到在在區(qū)區(qū)間間上上恒恒為為常常數(shù)數(shù) 故故2().f x滿足滿足 的點(diǎn)集不含一的點(diǎn)集不含一( )0,fx ( )0fx 要條件是：要條件是： 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 ),(,0)(21xxxxf 矛盾矛盾. 充分性得證充分性得證.注注 請讀者寫出相應(yīng)于遞減和嚴(yán)格遞減的判別定理請讀者寫出相應(yīng)于遞減和嚴(yán)格遞減的判別定理.必要性請讀者自證必要性請讀者自證. .( )0( )0)

9、,Ifxfx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 上上可可微微推推, ,若若論論().fI則則在在 上上嚴(yán)嚴(yán)格格遞遞增增 嚴(yán)嚴(yán)格格遞遞減減在實(shí)際應(yīng)用中我們經(jīng)常會用到下面這個事實(shí)在實(shí)際應(yīng)用中我們經(jīng)常會用到下面這個事實(shí).性質(zhì)性質(zhì)),()(),(,)(減減遞增遞增嚴(yán)格嚴(yán)格上上上連續(xù)，上連續(xù)，在在若若babaxf 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 ( ) , ()().f xa b則則在在上上 嚴(yán)嚴(yán)格格 遞遞增增 減減作為應(yīng)用，下面再舉兩個簡單的例子作為應(yīng)用，下面再舉兩個簡單的例子.例例7 求證求證.0,1e xxx證證則則設(shè)設(shè),1e)(xxFx . 1e)( xxF所所以以( )0,0,),0,F xxx且且當(dāng)當(dāng)時時( )0F x( )0).F x的的點(diǎn)點(diǎn)不不含含一一個個區(qū)區(qū)間間故故( )0,)F x在在,0 ,x 上上嚴(yán)嚴(yán)格格遞遞增增 所所以以對對任任意意恒有恒有, 0)0()( FxF 山西大同大學(xué)數(shù)計學(xué)院 例例8 設(shè)設(shè) f (x) = x 3 x. 討論函數(shù)討論函數(shù) f 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.解解 由于由于),13)(13(13)(2 xxxxf因此因此遞增，遞增，時，時，當(dāng)當(dāng)fxfx, 0)()31,( 遞減，遞減，時，時，當(dāng)當(dāng)fxfx, 0)()31,31( ., 0)(),31