數(shù)學(xué)分析第一章-1.1匯總(共20頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章 教學(xué)安排的說明章節(jié)題目：實(shí)數(shù)集與函數(shù)學(xué)時(shí)分配：共5學(xué)時(shí)§ 1 實(shí)數(shù)（1學(xué)時(shí)）§ 2 數(shù)集.確界原理 （2學(xué)時(shí)）§ 3 函數(shù)概念 ( 1學(xué)時(shí) )§ 4 具有某些特性的函數(shù) (1學(xué)時(shí) )教學(xué)目的：通過教學(xué)，使學(xué)生正確理解函數(shù)、極限與連續(xù)的基本概念，熟練掌握極限的運(yùn)算。教學(xué)要求：1、 掌握實(shí)數(shù)的各條性質(zhì)，初步理解上下確界的定義及確界原理的實(shí)質(zhì)。2、正確理解和掌握函數(shù)的概念、性質(zhì),四則運(yùn)算,復(fù)合函數(shù),反函數(shù)的定義。3、掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。4、掌握初等函數(shù)的性質(zhì),了解幾個(gè)常見非初等函數(shù)的定義及性質(zhì)。5、理解函數(shù)的單調(diào)性

2、,周期性,奇偶性等,會(huì)對(duì)初等函數(shù)是否具備這些性質(zhì)。其他：      注: 第一章大部分內(nèi)容中學(xué)學(xué)過。課 堂 教 學(xué) 方 案課題名稱、授課時(shí)數(shù)：§ 1 實(shí)數(shù) 1學(xué)時(shí)§ 2 數(shù)集 確界原理 2學(xué)時(shí)授課類型：理論課教學(xué)方法與手段：講授為主（部分內(nèi)容自學(xué)）教學(xué)目的與要求：1掌握實(shí)數(shù)的基本概念、基本性質(zhì)和最常見的不等式,并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)的有序性、稠密性和封閉性、實(shí)數(shù)絕對(duì)值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個(gè)常見的不等式2. 掌握實(shí)數(shù)的區(qū)間與鄰域概念，掌握集合的有界性和確界概念，要求理解實(shí)數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運(yùn)用

3、。教學(xué)重點(diǎn)： 1.實(shí)數(shù)集的概念性質(zhì)及應(yīng)用,；2.數(shù)集有界、無(wú)界及確界的概念，確界原理。教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)集確界的定義及其應(yīng)用，確界原理的證明。教學(xué)內(nèi)容首先簡(jiǎn)要介紹“數(shù)學(xué)分析”課程的內(nèi)容：分三個(gè)學(xué)期；所有內(nèi)容可分為四部分：1）極限理論，包括數(shù)列極限、函數(shù)極限及函數(shù)的連續(xù)性；2）一元函數(shù)的微積分，包括導(dǎo)數(shù)和微分及其應(yīng)用、不定積分、定積分及其應(yīng)用、反常積分；這之間包括第七章實(shí)數(shù)的完備性；3）級(jí)數(shù)理論，包括數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)；4）多元函數(shù)的極限與連續(xù)，多元函數(shù)的微積分，包括多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用、含參變量積分、二重積分、三重積分、曲線積分及曲面積分.數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)

4、專業(yè)的一門重要理論基礎(chǔ)課，在之后要學(xué)習(xí)的課程：復(fù)變函數(shù)、常微分方程、實(shí)變函數(shù)都是它最直接的后繼課，學(xué)好數(shù)學(xué)分析對(duì)這些后繼課程的學(xué)習(xí)是極其重要的，故一定要打好數(shù)學(xué)分析課程這個(gè)理論基礎(chǔ).第一章 實(shí)數(shù)集與函數(shù)§ 1 實(shí) 數(shù)復(fù)習(xí)引新：一、實(shí)數(shù)集及性質(zhì)1.實(shí)數(shù)集 ：回顧中學(xué)中關(guān)于實(shí)數(shù)集的定義.2.實(shí)數(shù)集性質(zhì)：四則運(yùn)算封閉性；三歧性( 即有序性 )；Rrchimedes性； 稠密性: 由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的稠密性, 給出實(shí)數(shù)稠密性的定義；實(shí)數(shù)集的 幾何表示 數(shù)軸: 3.兩實(shí)數(shù)相等的充要條件:二. 重要不等式 1. 絕對(duì)值不等式: 定義 1P3 的六個(gè)不等式. 2. 其他不等式: （1） （2） 均值

5、不等式（3） Bernoulli 不等式:有不等式 （4) 由二項(xiàng)展開式對(duì) 有 .在應(yīng)用時(shí)根據(jù)需要確定右邊的某一項(xiàng)(k的值)。教學(xué)內(nèi)容：數(shù)學(xué)分析研究的對(duì)象是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，因此先簡(jiǎn)要敘述實(shí)數(shù)的有關(guān)概念. 一 實(shí)數(shù)及其性質(zhì)：回顧中學(xué)中關(guān)于有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義.有理數(shù)：無(wú)理數(shù)：無(wú)限十進(jìn)不循環(huán)小數(shù).為了以下討論的需要，把無(wú)限小數(shù)（包括整數(shù)）也表示為無(wú)限小數(shù).對(duì)此作如下規(guī)定：對(duì)于正有限小數(shù)（包括正整數(shù)），當(dāng)時(shí)，其中為非負(fù)整數(shù)，記而當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，則記 例如：記為  ；對(duì)于負(fù)無(wú)限小數(shù)（包括負(fù)整數(shù)），則先將表示為無(wú)限小數(shù)，再在所得無(wú)限小數(shù)之前加負(fù)號(hào)，例如-8記為  ；又規(guī)

6、定數(shù)0 記為.于是任何實(shí)數(shù)都可用一個(gè)確定的無(wú)限小數(shù)來(lái)表示. 我們已經(jīng)熟知比較兩個(gè)有理數(shù)大小的方法.先定義兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系.實(shí)數(shù)大小的比較定義1  給定兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)其中 為非負(fù)整數(shù)，為整數(shù)，若有 則稱  與  相等，記為；若，或存在非負(fù)整數(shù) ，使得 則稱  大于 （或  小于  ），分別記為 （或）. 對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)，若按上述規(guī)定分別有與，則分別稱與（或）.另外，自然規(guī)定任何非負(fù)實(shí)數(shù)大于任何負(fù)實(shí)數(shù).實(shí)數(shù)的有理數(shù)近似表示定義2 設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，稱有理數(shù)為實(shí)數(shù)的位不足近似值，而有理數(shù)稱為的位過剩近似值。對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)  的位不足近似值規(guī)定

7、為：；的位過剩近似值規(guī)定為： 例如 ，則它的3位不足近似是，3位過剩近似是.4位不足近似是，4位過剩近似是.注 不難看出，實(shí)數(shù)的不足近似當(dāng)增大時(shí)不減，即有，而過剩近似當(dāng)增大時(shí)不增，即有.比如   ，則 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,  稱為 的不足近似值； 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143,  稱為 的過剩近似值。 我們有以下的命題   設(shè)，  為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則例1 設(shè)為實(shí)數(shù)，.證明：存在有理數(shù)  滿足證   由，故存在非負(fù)整數(shù)，使得 ，令 則 顯然為有理數(shù)，且

8、有即得 實(shí)數(shù)有如下一些主要性質(zhì) 1、四則運(yùn)算封閉性:任兩個(gè)實(shí)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）仍是實(shí)數(shù)。 2、有序性:任意兩個(gè)實(shí)數(shù)必滿足下面三個(gè)關(guān)系之一：，。 3、實(shí)數(shù)大小傳遞性： 4、 阿基米德性（Archimedes）： ，若，則，使得. 5、 稠密性: 有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的稠密性. 6、實(shí)數(shù)集的幾何表示 數(shù)軸（實(shí)數(shù)的連續(xù)性或完備性） 例2 設(shè) .證明:若對(duì)證 （反證）倘若結(jié)論不成立，則根據(jù)實(shí)數(shù)的有序性，有.令，則為正數(shù)且，但這與假設(shè)相矛盾.從而必有.練習(xí)：習(xí)題 3:設(shè) .證明：證 倘若結(jié)論不成立，假設(shè)那么設(shè)，則取，有這與已知的矛盾. 從而必有.二 絕對(duì)值與不等式 實(shí)數(shù)的絕對(duì)

9、值定義為： 從數(shù)軸上看，數(shù)的絕對(duì)值就是到原點(diǎn)的距離.實(shí)數(shù)的絕對(duì)值有如下一些主要性質(zhì)  性質(zhì)4（三角不等式）的證明：  三.  幾個(gè)重要不等式（補(bǔ)充）:          1、        2、  對(duì) 記                 (算術(shù)平均值

10、)   (幾何平均值)                                               &#

11、160;(調(diào)和平均值)有均值不等式:   等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)  時(shí)成立.3、 Bernoulli 不等式:  (在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過)    對(duì)由二項(xiàng)展開式              有: 。課堂練習(xí)討論： （）(2)（1） 5(1)(2) 作業(yè)：P4 3題,5題§ 2 數(shù)集 確界原理 本節(jié)中先討論R中兩類重要的數(shù)集-區(qū)間與鄰域，然后討論有界集并給出確界定義和確界原理。一、區(qū)間與鄰域無(wú)窮

12、區(qū)間： 0 a 0 a鄰域：設(shè)，滿足絕對(duì)值不等式的全體實(shí)數(shù)集合稱為點(diǎn)鄰域，記作或，即點(diǎn)的空心鄰域?yàn)椋?jiǎn)記點(diǎn)的右鄰域?yàn)?，?jiǎn)記 點(diǎn)的空心右鄰域?yàn)?，?jiǎn)記點(diǎn)的左鄰域?yàn)?，?jiǎn)記點(diǎn)的空心左鄰域?yàn)?，?jiǎn)記鄰域：，其中為充分大的數(shù)。-M M鄰域：，鄰域：二 有界集確界原理定義1設(shè)為R中的一個(gè)數(shù)集，若存在數(shù)M（L），使得對(duì)一切，都有，則稱為有上界（下界）數(shù)集，數(shù)M（L）稱為一個(gè)上界（下界）。補(bǔ)充定義對(duì)任意，存在，使得，則稱S為無(wú)界集。  例如：等都是無(wú)界數(shù)集, 若數(shù)集即有上界又有下界，則稱為有界集。若數(shù)集不是有界集，則稱為無(wú)界集.例1 證明數(shù)集有下界而無(wú)上界.證 顯然，任何一個(gè)不大于1的實(shí)數(shù)都是

13、的下界，故為有下界的數(shù)集.為證無(wú)上界，按照定義只需證明：對(duì)于無(wú)論多么大的數(shù)，總存在某個(gè)正整數(shù)，使得.事實(shí)上，對(duì)任何正數(shù)（無(wú)論多么大），取則且這就證明了無(wú)上界.讀者還可自行證明：任何有限區(qū)間都是有界集，無(wú)限區(qū)間都是無(wú)界集；由有限個(gè)數(shù)組成的數(shù)集是有界集.若數(shù)集有上界，則顯然它有無(wú)窮多個(gè)上界，而其中最小的一個(gè)上界常常具有重要的作用，稱它為數(shù)集的上確界.同樣，有下界數(shù)集的最大下界，稱為該數(shù)集的下確界. （直觀定義）下面給出數(shù)集的上確界和下確界的精確定義定義2  設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù)滿足：（i） 對(duì)一切  ，有，即是數(shù)集S 的上界；（ii）對(duì)任何，存在，使得（即又是S

14、的最小上界或任何一個(gè)比小的數(shù)都不是S的上界）則稱數(shù)為數(shù)集S的上確界.記作  定義3  設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù)滿足：（i）  對(duì)一切  有，即是數(shù)集S 的下界；（ii）  對(duì)任何存在,使得（即是S的最大下界或任何一個(gè)比大的數(shù)都不是S的下界 ）則稱數(shù)為數(shù)集S的下確界.記作  上確界與下確界統(tǒng)稱為確界。補(bǔ)例 則 則 例2 設(shè)為區(qū)間（0,1）中的有理數(shù)。試按上、下確界定義驗(yàn)證：。解 先驗(yàn)證（i） 對(duì)一切  有，即1是數(shù)集S 的上界；（ii）對(duì)任何，若，則任取，都有；若，則由有理數(shù)集在實(shí)數(shù)集中的稠密性

15、，在內(nèi)必有有理數(shù)即存在，使得. 類似可驗(yàn)證易證：閉區(qū)間的上、下確界分別為1和0；對(duì)于數(shù)集，有正整數(shù)集有下確界，而沒有上確界.注1 由上（下）確界的定義可見，若數(shù)集存在上（下）確界，則一定是唯一的.又若數(shù)集存在上（下）確界，則有. 注2 由上面一些例子可見，數(shù)集的確界可以屬于，也可以不屬于例3 設(shè)數(shù)集有上確界，證明：證 設(shè)則對(duì)一切，有，而，故是數(shù)集的最大的數(shù)，即.設(shè)，則；下面驗(yàn)證.（i）對(duì)一切，有，即是數(shù)集的上界；(ii) 對(duì)任何，只需取，則.從而滿足確界與最值的關(guān)系:（補(bǔ)充）設(shè)是一個(gè)數(shù)集（1）若有最大值M（最小值m），則數(shù)集存在上（下）確界，且 的最值必屬于, 但確界未必,確界是一種臨界點(diǎn).&

16、#160; （2）非空有界數(shù)集必有確界(見下面的確界原理), 但未必有最值.（3）若存在上（下）確界屬于，則S存在最大值M（最小值m），且定理1.1設(shè)為非空數(shù)集，若有上界，則必有上確界；若有下確界，則必有下確界. 在本書中確界原理是極限理論的基礎(chǔ)，讀者應(yīng)給予充分的重視.例4設(shè)和是非空數(shù)集，滿足對(duì)和都有 證明：數(shù)集有上確界，數(shù)集有下確界，且 （2） 證 是的上界；是的下界，故由確界原理推知數(shù)集有上確界，數(shù)集有下確界.現(xiàn)證不等式（2）. 是的上界，而由上確界的定義知，是數(shù)集的最小上界，故有 而此式又表明是數(shù)集的一個(gè)下界，故由下確界的定義知，例5和為非空有界數(shù)集, 試證明: （i）（ii）證 由于顯然也是非空有界數(shù)集，因此的上、下確界都存在.（i） 對(duì)有或或從而有 即是的一個(gè)上界, 故得另一方面，對(duì)任何，有同理又有所以 綜上，即證得（ii）有或 由和分別是和的下界,有或即是的下界, 又的下界就是的下界,是的下界, 是的下界, 同理有 于是有. 綜上所述有 .若把補(bǔ)充道實(shí)數(shù)集中，并規(guī)定任意實(shí)數(shù)與的大小關(guān)系為：則確界概念可擴(kuò)充為：若數(shù)集無(wú)上界，則定義為的非正常上確界，記作；若數(shù)集無(wú)下界，則定義為的非正常下確界，記作.相應(yīng)地，前面定義2和定義中所定義的確界分別稱為正常上、下確界.在上述擴(kuò)充定義意義下，我們有推廣的確界原