導數(shù)的運算法則

1、小蝸牛小蝸牛小蝸牛問媽媽：小蝸牛問媽媽：“為什么我們生下來，就要背為什么我們生下來，就要背負這個又硬又重的殼呢？負這個又硬又重的殼呢？”媽媽說：媽媽說：“因為我們身體因為我們身體沒有骨骼的支撐，只能爬，又爬不快所以需要這個沒有骨骼的支撐，只能爬，又爬不快所以需要這個殼的保護！殼的保護！”小蝸牛說：小蝸牛說：“毛蟲妹妹沒有骨頭，也爬毛蟲妹妹沒有骨頭，也爬不快，為什么她卻不背這個又硬又重的殼呢？不快，為什么她卻不背這個又硬又重的殼呢？”媽媽媽媽說：說：“因為毛蟲妹妹能變成蝴蝶，天空會保護她?。∫驗槊x妹妹能變成蝴蝶，天空會保護她??！”小蝸牛又問：小蝸牛又問：“可蚯蚓弟弟也沒骨頭爬不快，也不會可蚯蚓

2、弟弟也沒骨頭爬不快，也不會變成蝴蝶，她為什么卻不背這個又硬又重的殼呢？變成蝴蝶，她為什么卻不背這個又硬又重的殼呢？”媽媽說：媽媽說：“因為蚯蚓弟弟會鉆土，大地會保護他啊！因為蚯蚓弟弟會鉆土，大地會保護他?。　毙∥伵？蘖耍盒∥伵？蘖耍骸拔覀兒每蓱z，天空不保護，大地也不我們好可憐，天空不保護，大地也不保護保護”蝸牛媽媽安慰她說：蝸牛媽媽安慰她說：“所以我們有殼呀！所以我們有殼呀！我們不靠天，也不靠地，我們靠自己！”學習目標學習目標1.1.理解和掌握導數(shù)的加法、減法、乘法、除法法則的推導理解和掌握導數(shù)的加法、減法、乘法、除法法則的推導2 2.熟悉導數(shù)的運算法則及導數(shù)基本公式；熟悉導數(shù)的運算法則及導數(shù)

3、基本公式； 3.3.熟練掌握函數(shù)的求導計算方法。熟練掌握函數(shù)的求導計算方法。重點：重點：利用導數(shù)的四則法則求導利用導數(shù)的四則法則求導難點：難點：復合函數(shù)的導數(shù)求法；復合函數(shù)的導數(shù)求法；常與導數(shù)的綜合應用結合進行考查常與導數(shù)的綜合應用結合進行考查導數(shù)的運算法則及運算導數(shù)的運算法則及運算（5）對數(shù)函數(shù)的導數(shù)）對數(shù)函數(shù)的導數(shù):.1)(ln)1(xx .ln1)(log)2(axxa（4）指數(shù)函數(shù)的導數(shù)）指數(shù)函數(shù)的導數(shù):.)()1(xxee ).1, 0(ln)()2( aaaaaxx xxcos)(sin1）（3）三角函數(shù)）三角函數(shù) ： xxsin)(cos2）（1）常函數(shù)：）常函數(shù)：(C ) 0,

4、 (c為常數(shù)為常數(shù))； （2）冪函數(shù)）冪函數(shù) ： (xn) nxn 1 回顧：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式回顧：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式導數(shù)的運算法則導數(shù)的運算法則:法則法則1:兩個函數(shù)的和兩個函數(shù)的和(差差)的導數(shù)的導數(shù),等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(差差),即即:( )( )( )( )f xg xf xg x法則法則2:兩個函數(shù)的積的導數(shù)兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù)等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù)加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù) ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x法則法

5、則3:兩個函數(shù)的商的導數(shù)兩個函數(shù)的商的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù)數(shù),減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù)減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù) ,再除以第二個函數(shù)的平再除以第二個函數(shù)的平方方.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x輪流求導之和上導乘下，下導乘上，差比下方。推論：推論： )()()()()()( ) 1 (321321xfxfxfxfxfxf);( )()2(xfkxkf wuvwvuvwuuvw )()3()()()(1)4(2xvxvxv 可推廣到有可推廣到有限個限個

6、公式中都是對自變量公式中都是對自變量x x求導求導, ,若換變量同樣成立若換變量同樣成立 . .注意注意:初等函數(shù)的導數(shù)仍為初等函數(shù)初等函數(shù)的導數(shù)仍為初等函數(shù). .(u1u2un)u1u2un.例例1 1解：解：yxxxy 求求設設,4sincos2sin3 )4sin2cossin(3 xxxy)sin(3xx )sin(sin)(33xxxx .2sincossin332xxxxx )2cos(x )4sin( )sin(2x 0 例例2.tan的的導導數(shù)數(shù)求求xy 解：解：)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossinco

7、s x2cos1 yxyxx 求求設設,loge23)log()e2(3 xyxx例例3解：解：)e (2e)2( xxxxln2e2xx .3ln1)12(ln)2(xex ln31x xxe2 ln31x .%982;%901:,.100801005284:%1.,.化率化率所需凈化費用的瞬時變所需凈化費用的瞬時變時時求凈化到下純度求凈化到下純度為為元元單位單位用用時所需費時所需費化到純凈度為化到純凈度為噸水凈噸水凈已知將已知將用不斷增加用不斷增加所需凈化費所需凈化費純凈度的提高純凈度的提高隨著水隨著水凈化的凈化的經(jīng)過經(jīng)過通常是通常是日常生活中的飲用水日常生活中的飲用水例例 xxxcx解:

8、凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數(shù)的導數(shù)。252845284 (100)5284 (100)( )100(100)xxc xxx=(25284(100)x20 (100)5284 ( 1)(100)xx 25284( )(100)c xx25284(1)(90)52.84(10090)c.8純凈度為90%時，凈化費用的瞬時變化率是52 4元/噸。25284(2)(98)1321(10098)c純凈度為98%時，凈化費用的瞬時變化率是1321元/噸。?2ln的導數(shù)呢如何求函數(shù)思考xy.,22ln2ln.ln,22的函數(shù)表示為自變量可以通過中間變量即的得到復合經(jīng)過和看成是由可以從而則若設xuyx

9、xuuyxyuyxxu .2ln,xxgfufyxguxuufyuy過程可表示為復合那么這個的關系記作和的關系記作與如果把.,3232,22等等而成復合和由函數(shù)例如得到的復合經(jīng)過可以看成是由兩個函數(shù)我們遇到的許多函數(shù)都xuuyxy復合函數(shù)的求導法則：復合函數(shù)的求導法則：dxdududydxdy 且且有有處處可可導導也也在在點點那那么么復復合合函函數(shù)數(shù)處處可可導導在在對對應應的的點點而而函函數(shù)數(shù)處處可可導導在在點點如如果果數(shù)數(shù),)(,)(,)(xxfyuufyxxu . )()()(xufxf 或或特點特點： 因變量對自變量求導因變量對自變量求導,等于因變量對中間變量等于因變量對中間變量求導求導

10、,乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導.(鏈式法則鏈式法則)xuxuyy 也也可可記記為為 .),(,xgfyfunctioncompositexguufyxyuxguufy 記記作作的的和和那那么么稱稱這這個個函函數(shù)數(shù)為為函函數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)可可以以表表示示成成如如果果通通過過變變量量和和對對于于兩兩個個函函數(shù)數(shù)一一般般地地復合函數(shù)復合函數(shù)推廣：推廣：,)(),(),(都都可可導導設設xvvuufy .)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的導導數(shù)數(shù)為為則則復復合合函函數(shù)數(shù) 注意：注意：可推廣到有限次復合可推廣到有限次復合. .,)()(,)(:然然后后相相乘乘即即得得導

11、導數(shù)數(shù)的的對對的的導導數(shù)數(shù)和和對對可可先先求求出出的的導導數(shù)數(shù)時時對對求求復復合合函函數(shù)數(shù)xxuuufyxxfy 說明 熟練該法則后熟練該法則后, ,在求導時可不必寫出中間變量在求導時可不必寫出中間變量, ,但但對對中間變量的求導決不能遺漏中間變量的求導決不能遺漏. . 方法是：方法是：從外到內(nèi)從外到內(nèi), ,逐層求導逐層求導. . .,sin3;2;3213105. 02均為常數(shù)均為常數(shù)其中其中求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù)例例 xyeyxyx .3232122的復合函數(shù)的復合函數(shù)和和可以看作函數(shù)可以看作函數(shù)函數(shù)函數(shù)解解 xuuyxy由復合函數(shù)求導法則有xuxuyy 232 xu.1284x

12、u .105. 02105. 0的復合函數(shù)和可以看作函數(shù)函數(shù)xueyeyux由復合函數(shù)求導法則有xuxuyy 105. 0 xeu.05. 005. 0105. 0 xuee .sinsin3的復合函數(shù)和可以看作函數(shù)函數(shù)解：xuuyxy由復合函數(shù)求導法則有xuxuyy sinxu.coscosxu均為常數(shù)），其中).(sin() 3(xy問題問題1:指出下列函數(shù)的復合關系指出下列函數(shù)的復合關系)()sin()1 11 12 2n nm my ya ab bx xy yx xx x),1 1m mn ny yu uu ua ab bx x)sin,1 12 2y yu uu ux xx x解解:

13、log ()ln)2 22 22 23 33 33 32 24 43 3x xx xx xy ye ey y)ln,3 33 32 2x xy yu u u uv v v ve e),log,2 22 24 43 32 23 3u uy yu uv v v vx xx x例例 1 1設設 y = (2x + + 1 1)5，求，求 y .解解把把 2x + + 1 看成中間變量看成中間變量 u，y = u5，u = 2x + + 1復合而成，復合而成，,5)(45uuyu . 2)12( xux所以所以.)12(102544 xuuyyxux 將將 y = (2x + + 1)5看成是看成是由

14、于由于二、復合函數(shù)求導舉例二、復合函數(shù)求導舉例例例 2設設 y = sin2 x，求，求 y .解解這個函數(shù)可以看成是這個函數(shù)可以看成是 y = sin x sin x, 可利可利用乘法的導數(shù)公式，用乘法的導數(shù)公式，將將 y = sin2 x 看成是由看成是由 y = u2，u = sin x 復合而成復合而成. 而而,2)(2uuyu .cos)(sinxxux 所以所以.cossin2cos2xxxuuyyxux 這里，這里， 我們用復合函數(shù)求導法我們用復合函數(shù)求導法.例例3:求下列函數(shù)復合的導數(shù)求下列函數(shù)復合的導數(shù)解解:log ()2 22 22 23 34 43 3x xx xy y),log,2 22 24 43 32 23 3u uy yu uv v v vx xx xuuuvxuvx1 1y= 3 ln3 ,u= ,v= 2x - 2y= 3 ln3 ,u= ,v= 2x - 2vln2vln2log ()()ln()lnx xx xx xx xy yx xx x2 22 22 23 32 22 21 13 33 32 23 32 2log ()log()()x xx xx xx xx x2 22 22 23 32 22 22 23 31 13 32 23 3求求 y .,12xy 設設解解將中間變量將中間變量 u