5數(shù)形結合思想在解題中的應用

1、第5講數(shù)形結合思想在解題中的應用一、知識整合1 .數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。所謂數(shù)形結合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法。數(shù)形結合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形” ，使復雜問題簡單化，抽象 問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質，它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活 性的有機結合。2 .實現(xiàn)數(shù)形結合，常與以下內(nèi)容有關：實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系；函數(shù)與圖象的對應關系；曲線與方程的對應關系；以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復數(shù)、 三角函數(shù)等；所給的等式或代數(shù)式的結

2、構含有明顯的幾何意義。如等式(x 2)2 (y 1)2 43 .縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數(shù)形結合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結合的重點是研究“以形助數(shù)”。4 .數(shù)形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域， 最值問題中，在求復數(shù)和三角函數(shù)問題中，運用數(shù)形結合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且 能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意 培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。二、例題分析例1.若關于x的方程x2 2kx 3k 0的兩根都在 1和3之間，求k的

3、取值范圍。分析：令f(x) x2 2kx 3k,其圖象與x軸交點的橫坐標就是方程f(x) 0的解，由y f(x)的圖象可知，要使二根都在1,3之間，只需f( 1) 0, f (3) 0,bf( 一) f( k) 0同時成立，解得 1 k 0,故女(1,0) 2a17例2.解不等式-，x2x解：法一、常規(guī)解法：, x 0或（II） 2x 0原不等式等價于(I) x 2 02x 2 x解（I）,得0 x 2;解（II）,得 2 x 0綜上可知，原不等式的解集為x| 2 x 0或0 x 2 x| 2 x 2法二、數(shù)形結合解法：令yixx2, y2 x,則不等式Jx 2 x的解，就是使y xx2的圖象

4、在y2 x的上方的那段對應的橫坐標，如下圖，不等式的解集為x|xa x xb2而xb可由2x,解得，xb2, xa 2,故不等式的解集為x| 2 x例3.已知0a1,則方程a|x1|loga x|的實根個數(shù)為（）A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 1個或2個或3個分析：判斷方程的根的個數(shù)就是判斷圖象y a|x1與y |loga x|的交點個數(shù)，畫出兩個函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個交點，故方程有2個實根，選（B）。例4.如果實數(shù)x、y滿足（x 2）2y23,則2的最大值為（x1 A.-2分析:B.43等式(x 2)2.- 3C. D. .323有明顯的幾何意義，它表坐標平面上的一個圓,圓心

5、為（2, 0）,半徑r J3,（如圖），而且 匚0則表示圓上的點（x, y）與坐x x 0標原點（0, 0）的連線的斜率。如此以來，該問題可轉化為如下幾何問題：動點 A在以（2, 0）為圓心，以J3為半徑的圓上移動，求直線 OA的斜率的最大值，由圖可見，當/ A在第一象限，且與圓相切時，OA的斜率最大，經(jīng)簡單計算，得最大值為tg60° 用22x y例5.已知x, y滿足 16 251,求y 3x的最大值與最小值2 2對于y3邰翩第球最值1C25構造直線的截距的方法來求之。令y 3x b,則y 3x b,22原問題轉化為：在橢圓 y- 1上求一點，使過該點的直線斜率為3,16 25且在

6、y軸上的截距最大或最小，22由圖形知，當直線y 3x b與橢圓 L 1相切時，有最大截距與最小 16 25y2 x16由3x b2L 1250,得b截距。22169x2 96bx 16b2 400 0±13,故y 3x的最大值為13,最小值為13。例6.若集合Mx 3cos.、.(x, y) o , (0),集合 N (x, y)|y x by 3sin且M Nw ,則b的取值范圍為。分析：M (x, y)|x2 y2 9, 0 y 1,顯然，M表示以(0, 0)為圓心, 以3為半徑的圓在x軸上方的部分，(如圖)，而N則表示一條直線，其斜率 k=1,縱截 距為b,由圖形易知，欲使M

7、NW ,即是使直線y x b與半圓有公共點， 顯然b的最小逼近值為 3,最大值為3、；2,即 3 b 312例7.它到其中一個焦點Fi的距離為2, N為MF1的中點，。表示原點，則|ON|二()A.3B, 2 C. 42分析：設橢圓另一焦點為 F2,(如圖)，|MFi| 2,|MF2| 8又注意到. ON 是 MF 1F2 的中位線， |ON|若聯(lián)想到第二定義，可以確定點M的幺D.8貝”MF1| |MF2| 2a,而a 5N、O各為MFi、F1F2的中點，11-IMF2I - X8 422標，進而求 MFi中點的坐標，最后利用兩點間的距離公式求出|ON|,但這樣就增加了計算量，方法較之顯得有些

8、復雜。 例分析：由于|z 2 2i| |z (2 2i)|,有明顯的幾何意義，它表示復數(shù) z對應的 點到復數(shù)2 +2i對應的點之間的距離，因此滿足|z (2 2i)| J2的復數(shù)zM應點乙在以(2, 2)為圓心，半徑為 J2的圓上，(如下圖)，而|z|表示復數(shù)zM應的 點Z到原點。的距離，顯然，當點Z、圓心C、點O三點共線時，|z|取得最值， |z|min V2,憶然* 3近,.|z|的取值范圍為亞 3J2例9.求函數(shù)y sin x 2的值域。 cosx 2解法一（代數(shù)法）sin x 2/日:貝1J y 得y cosxcosx 22 y sin x2,sinx y cosx2y 2, Jy2

9、1sin(x2y 2sin(x )2y2 ，而 |sin(x )|,y 1.,2y 2, / |2| 1,y2 1解不等式得4.73.函數(shù)的值域為解法二（幾何法）：y47，sinxcosx 24732的形式類似于斜率公式y(tǒng)2yix2Xiys1nx 2表示過兩點R(2,cosx 22),P(cosx,sinx）的直線斜率由于點P在單位圓x2 y2 設過B的圓的切線方程為1上,如圖，顯然,kP)AykPoBk(x2)則有12k 2|1,解得k, k2 1474. 73 y 3例10.求函數(shù)u42t 44土所3即 kp0AkpoB分析：由于等號右端根號內(nèi)函數(shù)值域為t同為t的一次式，故作簡單換元 42

10、t 4m,無法轉化出一元二次函數(shù)求最值；倘若對式子平方處理，將會把問題復雜化，因此該題用常規(guī)解法顯 得比較困難，考慮到式中有兩個根號，故可采用兩步換元。解：設x,04, y 舵t,貝1J u x y且x2 2y216（0 x 4, 0 y 242）所給函數(shù)化為以u為參數(shù)的直線方程y x u,它與橢圓x2 2V?16在第一象限的部分（包括端點）有公共點，（如圖）Umin 2-2相切于第一象限時，U取最大值y x u223x2 4ux 2u2 16 0x2 2V 16解 ，得 u ± 2 <6,取 u 2M2、, 6三、總結提煉數(shù)形結合思想是解答數(shù)學試題的的一種常用方法與技巧，特別

11、是在解決選擇、填空題是發(fā)揮 著奇特功效，復習中要以熟練技能、方法為目標，加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度。四、強化訓練 見優(yōu)化設計。【模擬試題】一、選擇題：1.方程lg x sin x的實根的個數(shù)為（A. 1個2.函數(shù)yB. 2個a|x| 與 yxC. 3個D. 4個a的圖象恰有兩個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（A. (1,C.(B. ( 1, 1)D. (,1) (1,3.設命題甲：0x3,命題乙：|x 1| 4,則甲是乙成立的（A.充分不必要條件C.充要條件B.D.必要不充分條件不充分也不必要條件4.適合 |z 1| 1 且 argz的復數(shù)z的個數(shù)為（4A. 0個B. 1個C. 2個

12、D. 4個5.若不等式( )A. 16.已知復數(shù)B. 23 i,七|C. 32,則|乙D. 4Z2|的最大值為(A. .10B.7.若x (1 , 2)時，不等式A. (0, 1)B.(1(x2)C.1)2D. 2loga x 則C. (1, 22.2a的取值范圍為()D. 18.定義在R上的函數(shù)yf汽)在(,2)上為增函數(shù)，且函數(shù)2y f (x 2)的圖象的對稱軸A. f (C. f (1)1) f(3) f( 3)B.D.f(0)f(3)f(2)f(3)二、填空題:9.若復數(shù)z滿足|z| 2 ,2.10.若 f (x) x bx小到大依次為則|z 1i|的最大值為.c對任意實數(shù)t,都有f

13、(2 t) f (2t),則 f(1)、f ( 3)、f (4)由11.若關于x的方程4|x| 5 m有四個不相等的實根，則實數(shù)m的取值范圍為o12 .函數(shù)y xx2 2x 2 xx2 6x 13的最小值為。13 .若直線y x m與曲線y V1 x2有兩個 不同的交點，則實數(shù) m的取值范圍 是O三、解答題：14 .若方程 lg( x2 3x m) lg(3 x)在0, 3上有唯一解，求m的取值范圍。15 .若不等式4x x2 (a 1)x的解集為A,且A x|0 x 2,求a的取值范圍。16 .設a 0且aw1，試求下述方程有解時k的取值范圍。22、loga(x ak) loga2(x a

14、)x (a 0)的解集為x|m x n,且|m n| 2a,則a的值為【試題答案】、選擇題1.C提示：畫出ysinx, y lg x在同一坐標系中的圖象，即可。2. D提示：畫出y情形1：a 0情形2:a 13. A4. C提示：|Z1|二1表示以（1,0）為圓心，以1為半徑的圓,顯然點Z對應的復數(shù)滿足條件argz另外，點O對應的復數(shù)O,因其輻角是多值，它也滿足 argz ，故滿足條件的z有兩個。5. Bx的圖象，依題意，m a, n a, 從而0或2。. a a6. C提示:憶2|2可知,而 |Zi Z2I 憶2 ( Zi)l |Z2 ( 3 i)|表示復數(shù)Z2與 3 i對應的點的距離，結合

15、圖形，易知，此距離的最大值為：|PO| r ,( 3 0)2(1 0)2 2.10 27. C2.提不：令 yi (x 1) , V2log a x ,若a>1,兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當 x (1, 2)時，要使y1 y2,只需使loga 2 (2 1)2,即a 2 ,綜上可知當1 a 2時，不等式(x 1)2 loga x對x (1, 2)恒成立。2lOga x恒不若0 a 1,兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當 x (1, 2)時，不等式(x 1) 成立?？梢姂xC8. A提示：f(x+2)的圖象是由f(x)的圖象向左平移 2個單位而得到的，又知 f(x+2)的圖象關于直線 x=0 (

16、即y軸)對稱，故可推知，f(x)的圖象關于直線x=2對稱，由f(x)在( ，2)上為增函數(shù), 可知，f(x)在(2,)上為減函數(shù)，依此易比較函數(shù)值的大小。二、填空題：9. 2、.2提示：|Z|二2表示以原點為原心，以2為半徑的圓，即滿足|Z|=2的復數(shù)Z對應的點在圓。上運動，(如下圖)，而憶+1 i|=|z ( 1+i) |表示復數(shù)Z與一1+i對應的兩點的距離。由圖形，易知，該距離的最大值為22 2。10. f (1)f(4) f( 3)提示：由f(2 t) f (2 t)知，f(x)的圖象關于直線x=2對稱，又f(x)x2 bx c為二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線，由 f(x)的圖象，易

17、知f(1)、f ( 3)、f (4)的大小。11. m (1, 5)提示：設yx2 4|x| 5 y2 m,畫出兩函數(shù)圖象示意圖，要使方程x2 4|x| 5 m有四個不相等實根，只需使 1 m 512. 最小值為413提示：對Jx2 2x 2 V(x 1)1，(x 1)2(1 0)2 ,聯(lián)想到兩點的距離公式，它表示點(x, 1)至ij ( 1, 0)的距離， 6x 13 J(x 3)2(1 3)2 表示點(x, 1)到點 (3, 3)的距離，于是y 42 2x 2 Jx2 6x 13表示動點(x, 1)到兩個定點(1, 0)、 (3, 3)的距離之和，結合圖形，易得 ymin Ji3。提示：y

18、=x m表示傾角為45。，縱截距為m的直線方程，而y <1 X2則表示以（0, 0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距m 1,物，即 m ( 22,1。三、解答題:14.解：原方程等價于2 cCx 3x m 03x00x32x 3x m 3 x2 ccx 3x m 00x3 x2 4x 3 m令y1x2 4x 3, y2m,在同一坐標系內(nèi)，畫出它們的圖象,其中注意0x 3,當且僅當兩函數(shù)的圖象在0, 3）上有唯一公共點時，原方程有唯一解,由下圖可見，當 m=1,或 3 m 0時，原方程有唯一解，因此 m的取值范圍為3, 0 1。注：一般地，研究方程時，需先將其作等價變形，使之簡化，再利用函數(shù)圖象的直觀性研究 方程的解的情況。15.解：令 y1V4xx2 ,y2（a 1）x,其中 y1 v4xx7 表示以（2, 0）為圓心，以 2為半徑的圓在x軸的上方的部分（包括圓與 x軸的交點），如下圖所示，y2 （a 1）x表示過原點 的直線系，不等式J4xx2（a1）x的解即是兩函