高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)

1、集合結(jié)構(gòu)圖集合結(jié)構(gòu)圖集合集合集合含義與表示集合含義與表示集合間關(guān)系集合間關(guān)系集合基本運(yùn)算集合基本運(yùn)算列舉法列舉法 描述法描述法 圖示法圖示法子集子集真子集真子集補(bǔ)集補(bǔ)集并集并集交集交集1.集合中元素的性質(zhì)集合中元素的性質(zhì):自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集）：記作自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集）：記作 N 正整數(shù)集：記作正整數(shù)集：記作N* *或或N+ + 整數(shù)集：記作整數(shù)集：記作 Z有理數(shù)集：記作有理數(shù)集：記作 Q實(shí)數(shù)集：記作實(shí)數(shù)集：記作 R2.常用的數(shù)集及其記法常用的數(shù)集及其記法子集：子集：A B任意任意xA xB.真子集：真子集： A B xA，xB，但存在，但存在x0B且且x0 A.集合相等：集合相等：AB A

2、 B且且B A.空集：空集：.性質(zhì)：性質(zhì)：A，若，若A非空，非空， 則則A. 3.集合間的關(guān)系集合間的關(guān)系:子集、真子集個(gè)數(shù)：子集、真子集個(gè)數(shù)： 一般地，集合一般地，集合A含有含有n個(gè)元素，個(gè)元素，A的非空真子集的非空真子集 個(gè)個(gè).則則A的子集共有的子集共有 個(gè)個(gè);A的真子集共有的真子集共有 個(gè)個(gè);A的非空子集的非空子集 個(gè)個(gè);2n2n12n-12n-24.并集并集: B A |BxAxxBA，或BA5.交集交集:|BxAxxBA，且 B A BA6.全集全集:一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中涉及的涉及的元素元素,那么就稱這個(gè)集合為那么就稱這個(gè)集

3、合為7.補(bǔ)集補(bǔ)集:UAUAUA=x|x U，且x AUAUAU2: ABABA類比并集的相關(guān)性質(zhì)類比并集的相關(guān)性質(zhì)1: ABABA211-，M421，MxxyyN2練習(xí)練習(xí)變式：變式：xyxNRxyyMx3log1|,2|例例1已知集合已知集合Ax |2x5， 集合集合Bx | m1x2m1， 若若 ，求，求m的取值范圍的取值范圍.AB （1）B為空集（2）B不為空集2.1,2,02xxx2已知?jiǎng)t或知識(shí)知識(shí)結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)概念概念三要素三要素圖象圖象性質(zhì)性質(zhì)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)應(yīng)用應(yīng)用大小比較大小比較方程解的個(gè)數(shù)方程解的個(gè)數(shù)不等式的解不等式的解實(shí)際應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)函函數(shù)數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)的概念函

4、數(shù)的三要素：定義域，值域，對(duì)應(yīng)法則A.BA.B是兩個(gè)非空的集合是兩個(gè)非空的集合, ,如果按照如果按照某種對(duì)應(yīng)法則某種對(duì)應(yīng)法則f f，對(duì)于集合，對(duì)于集合A A中的中的每一個(gè)元素每一個(gè)元素x x，在集合，在集合B B中都有唯中都有唯一的元素一的元素y y和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)叫做從應(yīng)叫做從A A到到B B的一個(gè)函數(shù)。的一個(gè)函數(shù)。使函數(shù)有意義的使函數(shù)有意義的x x的取值范圍。的取值范圍。求定義域的主要依據(jù)求定義域的主要依據(jù)1 1、分式的分母不為零、分式的分母不為零. .2 2、偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于等于零、偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于等于零. .3 3、零次冪的底數(shù)不為零、零次冪的底數(shù)不為

5、零. .4 4、對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零、對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零. .5 5、指、對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不為、指、對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不為1.1.6、實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域、實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域例例1 1 求函數(shù)求函數(shù) 的定義域。的定義域。2lgxyx)12(log)3()23(22)2(121)1(20 xyxxxyxxy求定義域待定系數(shù)法、換元法、配湊法待定系數(shù)法、換元法、配湊法1, 已知已知 求求f(x).xxxf3) 1(2, 已知已知f(x)是一次函數(shù)，且是一次函數(shù)，且ff(x)=4x+3求求f(x).3，已知，已知 求求f(x).21)1(22xxxxf求值域的一些方法：求值域的一些

6、方法： 1、圖像法，、圖像法，2 、 配方法，配方法，3、觀察法，、觀察法，4、分離常數(shù)法，、分離常數(shù)法，5、換元法，、換元法，6單調(diào)性法單調(diào)性法。12, 6xa)b)c)d) 3(log3xy21 2yxx243, 03yxxx 21y1xx 1、已知函數(shù)、已知函數(shù)f (x)=x+2, (x1)x2, (1x2)2x, ( x2 )若若f(x)=3, 則則x的值是的值是( )A. 1B. 1或或32C. 1, , 332D. 3D 3log,0,f-31,03xx xfxfx已 知求一個(gè)函數(shù)的三要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域，值域是由對(duì)應(yīng)法則和定義域決定的判斷兩個(gè)函數(shù)相等的方法：1、定義域是

7、否相等（定義域不同的函數(shù)，不是相等的函數(shù)）2、對(duì)應(yīng)法則是否一致（對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，兩個(gè)函數(shù)也不同）例、下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x相等23322(1)(2)(3)(4)yxytxyxyx反比例函數(shù)反比例函數(shù) kyx1、定義域、定義域 .2、值域、值域 4、圖象、圖象k0k0a1時(shí)，時(shí)，f(x)=ag(x)的單調(diào)性與的單調(diào)性與g(x)相同相同; 當(dāng)當(dāng)0a0,2a)+f(-a)0,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)a a的取值范圍的取值范圍 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮，如果存，如果存在實(shí)數(shù)在實(shí)數(shù)M滿足：滿足：（1 1）對(duì)于）對(duì)于任意任意的的 , , 都有都有 ；（2 2）存在存在 ，使得，使得 .

8、. 那么，稱那么，稱M是函數(shù)是函數(shù) 的的最大值最大值. .xIf(x)My=f(x)x0If(x0)= =My=f(x)最值最值：幾何意義：幾何意義：函數(shù)函數(shù) 的最大值是的最大值是圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo). .y=f(x) 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮，如果存，如果存在實(shí)數(shù)在實(shí)數(shù)M滿足：滿足：（1 1）對(duì)于）對(duì)于任意任意的的 , , 都有都有 ；（2 2）存在）存在 ，使得，使得 . . 那么，稱那么，稱M是函數(shù)是函數(shù) 的的最小值最小值. .xIf(x)My=f(x)x0If(x0)= =My=f(x)最值最值：幾何意義：幾何意義：函數(shù)函數(shù) 的最小值是的最小

9、值是圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo). .y=f(x)解：設(shè)解：設(shè)x x1 1，x x 2 2是區(qū)間是區(qū)間22，66上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x x1 1xx2 2，則，則f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) ) 2 2= = - -x x1 1-1-12 2x x2 2-1-12(x2(x2 2-1)-(x-1)-(x1 1-1)-1)(x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)-1)= =(x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)-1)2(x2(x2 2-x-x1 1) )= =例例1 1. .已知函數(shù)已知函數(shù)y= y= （x2x2，66），求函數(shù)），求函

10、數(shù)的最大值和最小值。的最大值和最小值。 2 2x-1x-12x2x2 2x0 ,0 , (x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)0-1)0于是于是f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0)0，即：，即：f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )所以函數(shù)所以函數(shù)y= y= 在區(qū)間在區(qū)間22，66上是減函數(shù)。上是減函數(shù)。 2 2x-1x-1因此函數(shù)在因此函數(shù)在 時(shí)取得最大值，最大值是時(shí)取得最大值，最大值是 在在 時(shí)取得最小值，最小值是時(shí)取得最小值，最小值是 。x=2x=22 2x=x=6 60.40.4例題例題：基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)

11、函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù) aras=ar+s (a0,r,sQ)； (ar)s=ars (a0,r,sQ)； (ab)r=ar br (a0,b0,rQ).(5) ()(0,Z )nnnaabnbb 指數(shù)冪的運(yùn)算._, 3133221aaaaaa，則已知7181230182,3+ -2327計(jì)算 logloglogaaaMNMN（）logloglogaaaMMNN(2)loglog()naaMnMnR(3)如果如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：有： log4 loglogcacNNa 5 loglogmnaanNNmloglog 10log1aaaNaaN對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 指數(shù)函數(shù)與對(duì)

12、數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)y = ax ( a0 且且 a1 )y = log a x ( a0 且且 a1 )圖圖象象a 10 a 1a 10 a 1性性質(zhì)質(zhì)定義域定義域定義域定義域值域值域值域值域定點(diǎn)定點(diǎn)定點(diǎn)定點(diǎn)xy01xy011xyo1xyo在在R上是上是增增函數(shù)函數(shù)在在R上是上是減減函數(shù)函數(shù)在在上是上是增增函數(shù)函數(shù)在在上是上是減減函數(shù)函數(shù)RR(0,)(0,)(1, 0)(0, 1)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(1),(2),(3),(4), , ,1.xxxxyaybycyda b c d如圖是指數(shù)函數(shù)的圖象 則與 的大小關(guān)系是（ ）.1.cdbaDdcbaA1.cdab

13、B1.dbaC1 .B(1)(2)(3)(4)OXy總結(jié)：在第一象限，越靠近y軸，底數(shù)就越大指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)若圖象若圖象C1，C2，C3，C4對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) y=logax, y=logbx, y=logcx, y=logdx,則（則（ ） A.0ab1cd B.0ba1dc C.0dc1ba D.0cd1abxyC1C2C3C4o1D規(guī)律：在規(guī)律：在x軸軸上方圖象自左上方圖象自左向右底數(shù)越來(lái)向右底數(shù)越來(lái)越大！越大！log (21)log (5)aaxx 解不等式1( )lg1xf xx求的定義域和奇偶性 f92 34,1,2 ,xxxxx 知求f值域三、冪函數(shù)的性質(zhì)三、冪函數(shù)的

14、性質(zhì): :.所有的冪函數(shù)都所有的冪函數(shù)都通過(guò)點(diǎn)通過(guò)點(diǎn)(1,1(1,1);如果如果 0,0,則冪函數(shù)則冪函數(shù)在在(0,+)(0,+)上為減函數(shù)。上為減函數(shù)。 0,0,則冪函數(shù)則冪函數(shù) 在在(0,+)(0,+)上為增函數(shù)上為增函數(shù); ;1012.2.當(dāng)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí), ,冪函數(shù)為奇函數(shù)冪函數(shù)為奇函數(shù), , 當(dāng)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí), ,冪函數(shù)為偶函數(shù)冪函數(shù)為偶函數(shù). .ayx解析式：(-,0)減減(-,0減減(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)公共點(diǎn)公共點(diǎn)(0,+)減減增增增增0,+)增增增增單調(diào)性單調(diào)性奇奇非奇非非奇非偶偶奇奇偶偶奇奇奇偶性奇偶性y|y00,+)R0,+)R值域值域x|x00,+)定義域定義域y=x-1y=x3y=x2 y=x 函數(shù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)的性質(zhì)21xy 為冪函數(shù)，則為冪函數(shù)，則f（x）=方程與零點(diǎn)方程與零點(diǎn)1 1、函數(shù)的零點(diǎn)的概念、函數(shù)的零點(diǎn)的概念的叫做函數(shù)的實(shí)數(shù)使得)(0)(xfyxxf零點(diǎn)零點(diǎn)結(jié)論：結(jié)論：有實(shí)數(shù)根方程0)(xf軸有交點(diǎn)的圖象與函數(shù)xxfy)(有零點(diǎn)函數(shù))(xfy 零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)而言，根對(duì)于方程而言零點(diǎn)對(duì)