高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題

1、專題 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考點(diǎn)精要1了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景2理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義3了解函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過(guò)三次）4了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次）；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次）5會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題熱點(diǎn)解析導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的四則運(yùn)算法則是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，要會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線，注意區(qū)分在某點(diǎn)處的切線與過(guò)某點(diǎn)的曲線的切線求函數(shù)在點(diǎn)（x0，）處的切線方程或切線斜率；求函數(shù)的單調(diào)

2、增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間；求函數(shù)在（a，b） 上的極值，求在a，b上的最大值、最小值等等，在近幾年高考試題中頻頻出現(xiàn)知識(shí)梳理1一般地，函數(shù)y=在x=x0處的瞬時(shí)變化率是=我們稱它為函數(shù)y=在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作或y|x=x0，即=2函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即k=3導(dǎo)函數(shù)= y=4c=0，（x1）=1，（x2）=2x，5基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：（1）若=c，則=0；（2）若=xn（n），則=nxn-1；（3）若=sinx，則=cosx；（4）若=cosx，則=sinx；（5）若=ax，則=axlna；（6）若=ex，則=ex；（7）若=logax，則=；（8）若=lnx，則=；6

3、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：（1）±=±（2）=+；（3）7.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用體現(xiàn)在三個(gè)方面：（1）求曲線的切線：其方法是，先求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)得切線斜率，再用點(diǎn)斜式建立切線方程，后化為一般式求曲線的切線時(shí)要注意兩種不同的要求：一種是求“函數(shù)在某點(diǎn)處的切線”，這個(gè)點(diǎn)就是切點(diǎn)；一種是求“函數(shù)過(guò)某點(diǎn)的切線”，則這個(gè)點(diǎn)可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)。這兩種要求的切線的求法有區(qū)別（2）求函數(shù)的極大（小）值與最大（小值）求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟：求導(dǎo)數(shù)；這一步是基礎(chǔ)，要求利用導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則正確地求出導(dǎo)函數(shù)求方程=0的根；這一步用到方程知識(shí)，注意=0的根應(yīng)在y=的定義域中檢驗(yàn)在方程=0的根（又叫函數(shù)駐點(diǎn)）

4、的左、右側(cè)的符號(hào)是否發(fā)生變化：如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)y=在這個(gè)根處取得極大值；如果相反，在這個(gè)根的左側(cè)附近為負(fù)，右側(cè)附近為正，那么函數(shù)y=在這個(gè)根處取得極小值如果求閉區(qū)間a，b上函數(shù)的最值，則應(yīng)在、及開區(qū)間（a，b）內(nèi)的極值中間作比較，最大的就是最大值，最小的就是最小值（3）研究函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)y=在某個(gè)區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo)，且，則在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)；若，則在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)（注意：這里=0在D的任意一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不能恒成立，否則，函數(shù)在這個(gè)子區(qū)間內(nèi)為常函數(shù)，為水平線段，不具有單調(diào)性） （4）不等式的恒成立問(wèn)題與能成立（存在性）問(wèn)題不等式的恒成立問(wèn)題若在上恒成立，等價(jià)于在上

5、的最小值成立，若在上恒成立，等價(jià)于在上的最大值成立對(duì)任意，都有成立的充要條件是不等式的能成立（存在性）問(wèn)題若在上能成立，等價(jià)于在上的最大值成立若在上能成立，等價(jià)于在上的最小值成立。例題精講: 例1. 曲線y=xex+2x+1在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為_例2. 有下列命題：x=0是函數(shù)y=x3的極值點(diǎn)三次函數(shù)=ax3+bx2+cx+d有極值點(diǎn)的充要條件是b2-3ac0奇函數(shù)=mx3+（m-1）x2+48（m-2）x+n在區(qū)間（-4，4）上是單調(diào)函數(shù) 其中假命題的序號(hào)是_例3. 已知函數(shù)=x3+bx2+cx+d的圖像過(guò)點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M（-1，f（-1）處的切線方程為6x-y+7=0（1）

6、求函數(shù)y=的解析式；（2）求函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間例4 （沒(méi)有圖像）已知函數(shù)R）. （1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求a的值； om （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值； （3）當(dāng)，且時(shí)，證明：解：（I）函數(shù)所以又曲線處的切線與直線平行，所以 4分 （II）令當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：來(lái)+0極大值由表可知：的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是所以處取得極大值，9分 （III）當(dāng)由于只需證明令因?yàn)?，所以上單調(diào)遞增，當(dāng)即成立。故當(dāng)時(shí)，有13分例5 18.（本小題共14分）已知函數(shù)（）若，求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間；(II) 若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（I）因?yàn)椋?分當(dāng)， ，令，

7、得 ，3分 又的定義域?yàn)椋S的變化情況如下表：0極小值所以時(shí)，的極小值為1 .5分 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；6分（II）解法一：因?yàn)?，且， 令，得到 ，在區(qū)間存在一點(diǎn)，使得成立，充要條件是在區(qū)間上的最小值小于0即可.7分 （1）當(dāng)，即時(shí)，對(duì)成立，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上的最小值為， 由，得，即9分（2）當(dāng)，即時(shí)， 若，則對(duì)成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減， 所以，在區(qū)間上的最小值為，顯然，在區(qū)間上的最小值小于0不成立11分 若，即時(shí)，則有極小值所以在區(qū)間上的最小值為，由，得 ，解得，即.13分綜上，由(1)（2）可知：符合題意.14分解法二：若在區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得成立， 即，

8、因?yàn)? 所以，只需7分令，只要在區(qū)間上的最小值小于0即可因?yàn)?，令，?分（1）當(dāng)時(shí)：極大值 因?yàn)闀r(shí)，而， 只要，得，即11分 （2）當(dāng)時(shí)：極小值 所以，當(dāng) 時(shí)，極小值即最小值為，由， 得 ，即.13分 綜上，由(1)（2）可知，有14分例 6 已知函數(shù).（）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若對(duì)于都有成立，試求的取值范圍；解: (I) 直線的斜率為1.函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，所? 所以. .由解得；由解得.所以的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是. 4分(II) ，由解得；由解得.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，.因?yàn)閷?duì)于都有成立，所以即可.則

9、. 由解得.所以的取值范圍是.8分例7 18.（本小題共14分）已知函數(shù) （I）若，求函數(shù)的解析式； （II）若，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解：（）因?yàn)?，2分 由即得，4分所以的解析式為.5分()若，則， ，6分 （1）當(dāng)，即時(shí)，恒成立，那么在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；8分（2）解法1：當(dāng)，即或時(shí)，令解得，9分列表分析函數(shù)的單調(diào)性如下：10分要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，只需或，解得或.13分 解法2：當(dāng)，即或時(shí)， 因?yàn)榈膶?duì)稱軸方程為9分要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，需或解得或.13分 綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.14分例 8 （12北京東城期末） 已知函數(shù).（）

10、若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍解析解：（）當(dāng)時(shí)，. ， 3分 所以所求切線方程為即 5分 （）.令，得. 7分由于，的變化情況如下表：+00+單調(diào)增極大值單調(diào)減極小值單調(diào)增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和. 9分 要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，應(yīng)有 或 ， 解得或11分 又 且，12分 所以 即實(shí)數(shù)的取值范圍 13分例9已知函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；當(dāng)時(shí)，若函數(shù)是上的增函數(shù)，求的最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍【解析】 3分因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以在上恒成立，則有，即設(shè)為參數(shù)，則當(dāng)，且時(shí)，取得最小值（可用圓面的幾何意義解得的最小值）8分當(dāng)時(shí)是開口向上

11、的拋物線，顯然在上存在子區(qū)間使得，所以的取值范圍是當(dāng)時(shí)，顯然成立當(dāng)時(shí)，是開口向下的拋物線，要使在上存在子區(qū)間使，應(yīng)滿足或解得，或，所以的取值范圍是則的取值范圍是13分例10 18（本小題滿分13分）已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值；求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)，且時(shí)，證明：【解析】 函數(shù)的定義域?yàn)椋智€在點(diǎn)處的切線與直線垂直，所以，即由于當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有在定義域上恒成立，即在上是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，由，得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，令當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減又，所以在恒為負(fù)所以當(dāng)時(shí)，即故當(dāng)，且時(shí)，成立1函數(shù)y=x2+2x+1在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于A2B3C4D52函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是=A B CD3曲線y

12、=x3-3x2+1在點(diǎn)（1，-1）處的切線方程為Ay=3x-4By=-3x+2Cy=-4x+3Dy=4x+34 =x3-3x2+1是減函數(shù)的區(qū)間為A（2,）B（,2）C（,0）D（0,2）5函數(shù)=ax3+x+1有極值的充分必要條件是Aa0 B Ca0 D 6設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，y=的圖像如下右圖所示，則y=的圖像最有可能是 7函數(shù)=x3+ax2+3x-9，已知在x=-3時(shí)取得極值，則a=A2B3C4D58函數(shù)=x3-3x+1，在閉區(qū)間-3，0上的最大值、最小值分別是 A1，-1B1，-17C3，-17D9，-199函數(shù)y=在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，則“=0”是函數(shù)y=在點(diǎn)x=x0處有極值的A充分不必要條

13、件B必要不充分條件C充要條件D既非充分又非必要條件10函數(shù)=（x-3）ex的單調(diào)遞增區(qū)間是A（,2）B（0,3）C（1,4）D（2,）11過(guò)原點(diǎn)作曲線y=ex的切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為_；切線的斜率為_12曲線y=x3-3x2+1在點(diǎn)（1,-1）處的切線方程為_13若可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足=3x2+2x，則=_14點(diǎn)P在曲線y=x3-x+上移動(dòng)，設(shè)以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線的傾斜角為，求的取值范圍_ 15是=x3+2x+1的導(dǎo)函數(shù)，則的值是_16如圖，函數(shù)的圖像是折線段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為（0,4），（2，0），（6，4），則_；函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)=_17若曲線=ax2+lnx存在垂直

14、于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_18設(shè)直線y=x+b是曲線y=lnx（x0）的一條切線，則實(shí)數(shù)b的值為_19函數(shù)=lnx的圖像在點(diǎn)（e，f（e）處的切線方程是_20函數(shù)y=的單調(diào)減區(qū)間是_21若函數(shù)=x3-3a2x+1的圖象與直線y=3只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_22若函數(shù)=在區(qū)間（1,4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6,+）上為增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍23已知函數(shù)=ax3+bx2+cx在點(diǎn)x0處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)y=的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,0）,（2,0），如右上圖所示求：（）x0的值；（） a,b,c的值；（）的極小值答案:例1. y=3x+1 例2 例3（1）=x3-3x2-3x

15、+2 （2）(,1-)上單調(diào)遞增，(1-，1+)上單調(diào)遞減，在(1+,)上單調(diào)遞增針對(duì)訓(xùn)練1C 2D 3B 4D 5C 6D 7D 8C 9B 10D 11(1,e), e 123x+y-2=0 136 14 153 162 17a0 18ln2-1 19y= 20(,0)和(0,1) 21-1a1 22 23（）x0=1（）a=2，b=-9，c=12（）4 高考鏈接1（09北京）設(shè)是偶函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1，則該曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為_。2（07北京文）是的導(dǎo)函數(shù)，則的值是3（08北京文）如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中A,B,C的坐標(biāo)分別為（0，4），（2，0），

16、（6，4），則f(f(0)= ; 函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)f（1）= .4（11北京文）（本小題共13分）已知函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）求在區(qū)間0,1上的最小值.5（10北京文） （本小題共14分） 設(shè)定函數(shù)，且方程的兩個(gè)根分別為1，4。（）當(dāng)a=3且曲線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，求的解析式；（）若在無(wú)極值點(diǎn)，求a的取值范圍。6（08北京）（本小題共13分）已知函數(shù)是奇函數(shù).（）求a,c的值；（）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.答案1 略 2 （3） 3 2 -24（共13分）解：（）令，得與的情況如下：x（）（0+所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是（）；單調(diào)遞增區(qū)間是（）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在0，1上單調(diào)遞增，所以（x）在區(qū)間0，1上的最小值為當(dāng)時(shí)，由（）知上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間0，1上的最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在0，1上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間0，1上