無窮級數(shù)知識點(diǎn)總復(fù)習(xí)

1、無窮級數(shù)知識點(diǎn)總復(fù)習(xí)本章重點(diǎn)是判斷數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性，幕級數(shù)與傅里葉級數(shù)的展開與求和.§ 7.1數(shù)項(xiàng)級數(shù)本節(jié)重點(diǎn)是級數(shù)的性質(zhì)， 正項(xiàng)級數(shù)的幾個(gè)判別法，交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲判別法，任意項(xiàng)級數(shù)絕對收斂與條件收斂.?？贾R點(diǎn)精講一、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念1數(shù)項(xiàng)級數(shù)定義定義：設(shè) un是一個(gè)數(shù)列，則稱表達(dá)式UnUiU2 L 山 Ln 1n為一個(gè)數(shù)項(xiàng)級數(shù)，簡稱級數(shù)，其中第n項(xiàng)Un稱為級數(shù)的通項(xiàng)或一般項(xiàng)，Snuk稱為級k 1數(shù)的前n項(xiàng)部分和.2.級數(shù)收斂的定義定義：若數(shù)項(xiàng)級數(shù)un的部分和數(shù)列n 1Sn有極限,則稱級數(shù)Un收斂,n 1極限值lim &稱n為此級數(shù)的和.當(dāng)lim Sn不存在時(shí)，則稱級數(shù)un

2、發(fā)散.n nn 1利用級數(shù)收斂的定義，易知當(dāng)1時(shí)，幾何級數(shù)1qn收斂，和為1 q;當(dāng)山1 ,幾何級數(shù)發(fā)散.例1.1判斷下列級數(shù)的斂散性由于Sn C 2 打)0 3 &) L(1 n) n 1 11( n 1、n)n 1n(n1)n 1解：由于Sn11L11 22 3n(n1)111, 11 1(1 -)(-)L(-)1 -223nn 1n 1所以limSnlim(1 1)1,故級數(shù)1收斂.nnn1n 1 n(n 1)所以lim Snn，故級數(shù)(. n 1 , n)發(fā)散.n 1、級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件1.設(shè)un, vn都收斂，和分別為a, b，則 (un vn)必收斂，且 (un

3、vn) a b ；n 1 n 1n 1n 1評注：若un收斂，vn發(fā)散，則(un vn)必發(fā)散；若Un, Vn都發(fā)散，則n 1n 1n 1n 1 n 1(un vn)可能發(fā)散也可能收斂.n 12.設(shè)k為非零常數(shù)，則級數(shù) un與 kun有相同的斂散性;n 1n 13改變級數(shù)的前有限項(xiàng)，不影響級數(shù)的斂散性；4.級數(shù)收斂的必要條件：如果un收斂，則lim un 0 ；n 1n5 收斂的級數(shù)在不改變各項(xiàng)次序前提下任意加括號得到的新級數(shù)仍然收斂且和不變. 評注：若某級數(shù)添加括號后所成的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)亦發(fā)散.由于nim Z例1.2判斷下列級數(shù)的斂散性1 1丄丄1丄L丄1L n(2n 1)2 10420

4、2n10nn 1 (n 1)(n2)解：由于-收斂，1發(fā)散，所以1 1(+丄)發(fā)散，n 1 2'n1 10nn 1 2n 10n由性質(zhì)5的“注”可知級數(shù)11 111 1LnL 發(fā)冃攵；210 4202n 10n20，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，所以級數(shù)n(2n 1)發(fā)散.n1 (n 1)(n 2)三、正項(xiàng)級數(shù)及其斂散性判別法各項(xiàng)為非負(fù)(un 0)的級數(shù) un稱為正項(xiàng)級數(shù).n 11.正項(xiàng)級數(shù)收斂的基本定理定理：設(shè) S 是正項(xiàng)級數(shù)un的部分和數(shù)列，則正項(xiàng)級數(shù)un收斂的充要條件是數(shù)列n 1n 1Sn有界.1當(dāng)p 1時(shí)，p級數(shù)-收斂；當(dāng)p 1時(shí)，p級數(shù)發(fā)散.（p 1時(shí)的p級數(shù)也叫調(diào)n 1 n和級

5、數(shù)）2 正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法定理：（正項(xiàng)級數(shù)比較判別法的非極限形式）設(shè)un, vn都是正項(xiàng)級數(shù)，并設(shè)un vn, （n N0），則n 1n 1若vn收斂，則un收斂；n 1n 1若un發(fā)散,則vn發(fā)散.n 1n 1定理里：（正項(xiàng)級數(shù)比較判別法的極限形式）設(shè) Un,Vn都是正項(xiàng)級數(shù)，并設(shè)lim也 或?yàn)?，則n 1 n 1nVn當(dāng) 為非零常數(shù)時(shí)，級數(shù)un, Vn有相同的斂散性;n 1 n 1當(dāng) 0時(shí)，若Vn收斂，則必有un收斂;n 1n 1評注：用比較判別法的比較對象常取p級數(shù)與等比級數(shù)及1 p n 2 nlnp n p1時(shí)，收斂1時(shí)，發(fā)散當(dāng)時(shí)，若Vn發(fā)散，則必有un發(fā)散n 1n 13 正項(xiàng)級數(shù)的

6、比值判別法定理：設(shè)Un是正項(xiàng)級數(shù)，若lim Un 1或?yàn)?，則級數(shù)Un有n 1nUnn 1當(dāng)1時(shí)，收斂；當(dāng)1或時(shí)，發(fā)散；當(dāng) 1時(shí)，斂散性不確定.評注：若此Un1（n 1,2,L ），則級數(shù)Un必發(fā)散;n 1 如果正項(xiàng)級數(shù)通項(xiàng)中含有階乘，一般用比值判別法判定該級數(shù)的斂散性;當(dāng).或不存在（但不為），則比值判別法失效4 正項(xiàng)級數(shù)的根值判別法即為根值判別法.將比值判別法中的 旦口改成n U7，其它文字?jǐn)⑹?、結(jié)論均不改動(dòng),Un15.利用通項(xiàng)關(guān)于無窮小的階判定正項(xiàng)級數(shù)的斂散性定理：設(shè) un是正項(xiàng)級數(shù),n 1Un為丄（nn）的k階無窮小，則當(dāng)k1時(shí)，正項(xiàng)級數(shù)Unn 1收斂；當(dāng)k 1時(shí)，正項(xiàng)級數(shù)Un發(fā)散.11.

7、3判斷下列級數(shù)的斂散性解:由于limnlimn由于Un 1lim n Unlimn由于2 n 1孑11(ln(n 1)n尸n 1 (n21)一 n1,而級數(shù) n n1-發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散;1 n(n 1)23n31n1，所以由比值判別法可得，原級數(shù)收斂;limln(1 n)01，所以由根值判別法可知，原級數(shù)收n斂;由于于礦為丄5（n 1）n n3）的 階無窮小，所以原級數(shù)收斂.2四、交錯(cuò)級數(shù)及其斂散性判別法1 .交錯(cuò)級數(shù)定義定義：若級數(shù)的各項(xiàng)是正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)交錯(cuò)出現(xiàn)，即形如n 1(1) Un U1 U2 U3 U4 L ,(Un 0)的級數(shù)，稱為交錯(cuò)級數(shù).2 交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲判別法定理：若交錯(cuò)級

8、數(shù)(1)n1Un,(Un 0)滿足條件n 1 Un Un i(n 1,2,L )； lim Un 0，n則交錯(cuò)級數(shù)(1)n 1Un,(Un 0)收斂，其和S Ui其余項(xiàng)S Sn滿足S SnUn 1 .n 1五、任意項(xiàng)級數(shù)及其絕對收斂若級數(shù)un的各項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)，則稱它為任意項(xiàng)級數(shù).n 11.條件收斂、絕對收斂若 Un收斂，則稱un絕對收斂；若un發(fā)散但 un收斂，則稱un條件收斂.n 1n 1n 1n 1n 1評注：絕對收斂的級數(shù)不因改變各項(xiàng)的位置而改變其斂散性與其和.2任意項(xiàng)級數(shù)的判別法定理：若級數(shù)Unn 1收斂，則級數(shù)un收斂.即絕對收斂的級數(shù)一定收斂.例1.4判斷下列級數(shù)是否收斂？若收斂,

9、指明是絕對收斂還是條件收斂（1）n 11 _n_解：記un(心因?yàn)閘im Un 1n Unlim J13n3n 111所以級數(shù)n 1Un收斂，故原級數(shù)收斂且為絕對收斂;記Un1）n1 爲(wèi)）1 1由于Un,而一發(fā)散，所以級數(shù)Un發(fā)散n n 1 nn 1又un是一交錯(cuò)級數(shù),n 1Unln(1 n) 0(n)，且Un Un 1，由萊布尼茲定理知，原級數(shù)收斂，故原級數(shù)條件收斂. 常考題型及其解法與技巧、概念、性質(zhì)的理解例7.1.1已知 (1)n1an2， a2n 15，則級數(shù)an的和等于n 1n 1n 1解：由于 (1)n 1an 2，所以根據(jù)級數(shù)的性質(zhì)可得2(a2n 1a2n)n 1n 1從而 35

10、 2a2n 1 (a2n 1 a2n)a2nn 1n 1因此an(a2n 1 a2n)5 3 8.n 1n 1例7.1.2設(shè)0Un1，則下列級數(shù)中肯定收斂的是n(A )Ur1 ;(B)(1)nUn ；(C)襯U n ；(D)( 1)nUn 1n 1n 1n 1解：取un1小1則0 Un，此時(shí)(A)Un 與(C)Un都發(fā)散；n 1n1 1n 1 1 右取un(1)n1 1-,則0 un，此時(shí)(B)(1)nUn1丄發(fā)散；2nnn 1n 1 2n由排除法可得應(yīng)選(D).2，根據(jù)“比較判別法”得nu2收斂從而n 11 2事實(shí)上，若0Un，則0 U2n(1)n u2收斂，故應(yīng)選(D). n 1例7.1.

11、3已知級數(shù)(U2n 1 U2n)發(fā)散，則n 1(B) Un 一定發(fā)散n 1(A ) Un 一定收斂，n 1(C) un不一定收斂n 1(D) lim un 0n解：假設(shè)nun收斂,1則根據(jù)級數(shù)斂散的性質(zhì)，不改變各項(xiàng)的次序加括號后得到的新級數(shù)仍然收斂，即(u2n 1n 1u2n)也收斂.這與已知矛盾，Un 一定發(fā)散.應(yīng)選(B).n 1例7.1.4設(shè)正項(xiàng)級數(shù)Un的部分和為Sn ,又Vnn 1,已知級數(shù)Snvn收斂，則級數(shù)un1n 1必(A)收斂(B)發(fā)散(C)斂散性不定(D)可能收斂也可能發(fā)散解：由于級數(shù)vn收斂，所以根據(jù)收斂的必要條件可得lim vnn0 ,又vn ，所以lim Snn，故級數(shù)U

12、n發(fā)散，故應(yīng)選(B).n 1例 7.1.5設(shè)有命題(1)an收斂，則a1n 12n收斂;(2)an為正項(xiàng)級數(shù)，且an 1an1(n1,2,L )，則an收斂;(3)若存在極限r(nóng) Un lim nn Vn0，且右 WnUnVn(n1,2,3丄)，又則上述命題中正確的個(gè)數(shù)為(A ) 1( B)解：關(guān)于命題(1)，令an(1)nn，則關(guān)于命題(2)，令an所以不正確;關(guān)于命題(3),令Un(1)nnvn收斂，則un收斂;n 1Vn與wn都收斂,(C) 3an收斂，但a2nn 1un收斂.n 1(D) 41丄發(fā)散，所以不正確;2nan為正項(xiàng)級數(shù)，且旦口 1(nan1,2,L )，但 an 發(fā)散,n 1

13、Vn(9，則在極限lim “ l 0 ,且Vn收 nn Vnn 1斂，但nun發(fā)散，所以不正確;1關(guān)于命題Vn與1(4),因?yàn)?wnun vn(n 1,2,3,L )，所以 0 un wnvnwn，因?yàn)閚wn都收斂，所以由“比較判別法”知n 1(Unn 1wn）收斂，故un收斂故應(yīng)選（n 1A )、正項(xiàng)級數(shù)斂散性的判定正項(xiàng)級數(shù)un判別斂散的思路：首先考察n 1lim un （若不為零，則級數(shù)發(fā)散；若等于n零，需進(jìn)一步判定）；根據(jù)一般項(xiàng)的特點(diǎn)選擇相應(yīng)的判別法判定.評注：|若一般項(xiàng)中含有階乘或者_(dá)n的乘積形式，通常選用比值判別法: 若一般項(xiàng)中含有以n為指數(shù)幕的因式，通常采用根值判別法：若一般項(xiàng)中含

14、有形如 n （ 為實(shí)數(shù)）的因式，通常采用比較判別法.如果以上方法還行不通時(shí)，則可考慮用斂散的定義判定.例7.1.6判斷下列級數(shù)的斂散性(1) n2n 1Sin 2nn!2nnn(3)n(n 1)n2ln(4)-3n 12n2(5)n2 1(6)n3n21 (1 n), n解：（1）用比值法.(nlimn21) Sin 尹2n sin n 2n(n lim n1)22* 12n所以原級數(shù)收斂.（2）用比值法.limnn 1(n 1)!2n 1(n 1)n!2nnn2 limn(n所以原級數(shù)收斂.（3）用根值法.limnn2nn所以原級數(shù)發(fā)散.（4）用比較法.(6)由于limnn2(1 n)用0，

15、故由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散.評注：在考研題中遇到該類問題應(yīng)先看當(dāng)n 時(shí)，級數(shù)的通項(xiàng)Un是否趨向于零（如果不易看出，可跳過這一步），若不趨于零，則級數(shù)發(fā)散；若趨于零，則再看級數(shù)是否為幾 何級數(shù)或p級數(shù)，因?yàn)檫@兩種級數(shù)的斂散性已知.如果不是幾何級數(shù)或p級數(shù)，則用比值判別法進(jìn)行判定，如果比值判別法失效， 則再用比較判別法進(jìn)行判定.常用來做比較的級數(shù)主要有幾何級數(shù)、p級數(shù)等.例7.1.7判斷下列級數(shù)的斂散性(1)( si n )n 1 nn1(2)( ln(1n 1 n丄)n分析：用比值判別法失效，用比較判別法不易找到用來作比較的級數(shù),1于無窮小一的階判定正項(xiàng)級數(shù)的斂散性.n此時(shí)一般利用通項(xiàng)關(guān)

16、解：（1）考查換成連續(xù)變量sin lim n n（片n再用羅必達(dá)法則,lim X s?( x)iX 0kx 0kx13取k 3，上述極限值為一6cos( x)kxk 1x)2limx 0kxk 1取Vn15，因?yàn)閘imUn r ln n -lim 一-vn一n10 ,而5收斂，5n4n 14n4n4n4所以原級數(shù)收斂.（5 ）用比較法.取Vn丄nun，因?yàn)閘im - nVnnlim11，而-發(fā)散,n . n21；nn 1 n所以原級數(shù)發(fā)散.31所以原級數(shù)與同斂散，故原級數(shù)收斂.1 ln(1 丄)(2)考查 lim nnn1 k(-)'n換成連續(xù)變量x，再用羅必達(dá)法則,limx 0x l

17、n(1 x)kxlimx 01 -_- kxklimx 0 kx2(1x)1取k2，上述極限值為1.21所以原級數(shù)與-y同斂散，故原級數(shù)收斂.n 1 n例7.1.8研究下列級數(shù)的斂散性(2)n n，這里 為任意實(shí)數(shù)，為非負(fù)實(shí)數(shù).n 1n (1)a 0是常數(shù))；n 1 n分析：此例中兩個(gè)級數(shù)的通項(xiàng)都含有參數(shù).一般說來，級數(shù)的斂散性與這些參數(shù)的取值有 關(guān)對這種情況通常由比值判別法進(jìn)行討論.ann!解: ( 1 )記Un生，由比值判別法可得n顯然，當(dāng)ae時(shí),當(dāng)a e時(shí),由于(2)記 Unlmnn rrL an1- n級數(shù)收斂；當(dāng)e時(shí),級數(shù)發(fā)散;Un 1Unen 1(n1)!n 1(n 1)nnn i

18、e n!(1n，由比值判別法可得，所以lim un 0，故級數(shù)發(fā)散.nlim仏nUnlimn 1(n 1)nn一 lim(- nn顯然，當(dāng)0為任意實(shí)數(shù)時(shí)，級數(shù)收斂;1時(shí)，為任意實(shí)數(shù)時(shí)，級數(shù)發(fā)散；當(dāng) 1時(shí),比值判別法失效.這時(shí) unn，由p級數(shù)的斂散性知，當(dāng)1時(shí)，級數(shù)收斂；當(dāng)1時(shí)，級數(shù)發(fā)散.例7.1.9判別下列級數(shù)的斂散性(1)由于級數(shù)(!)2收斂, n 1 n1解：(1)因?yàn)? x 時(shí),n0 1x432dx()所以原級數(shù)收斂.n 1 &(2)e dxnn 1分析：此例兩個(gè)級數(shù)的通項(xiàng)都是由積分給出的正項(xiàng)級數(shù).如果能把積分求出來， 再判定其斂散性，這樣做固然可以，但一般工作量較大常用的方法

19、是利用積分的性質(zhì)對積分進(jìn)行估 值估值要適當(dāng)：若放大則不等式右端應(yīng)是某收斂的正項(xiàng)級數(shù)的通項(xiàng)；若縮小，則不等式左端應(yīng)是某發(fā)散的正項(xiàng)級數(shù)的通項(xiàng).(2)因?yàn)楹瘮?shù)e x在區(qū)間n,n 1上單減，所以n 1 仁0 e Xdxnn1e ndx e nn由于limn2 . n lim nen10，又因?yàn)榧墧?shù)收斂，所以原級數(shù)收斂.n 1 n三、交錯(cuò)級數(shù)判定斂散判別交錯(cuò)級數(shù) (1)nun,(un 0)斂散性的方法:n 1法一：利用萊布尼茲定理；法二：判定通項(xiàng)取絕對值所成的正項(xiàng)級數(shù)的斂散性，若收斂則原級數(shù)絕對收斂；法三：將通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)，若以此兩項(xiàng)分別作通項(xiàng)的級數(shù)都收斂則原級數(shù)收斂；若一收斂另發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散；法四：

20、將級數(shù)并項(xiàng)，若并項(xiàng)后的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散.評注：法二、法三和法四適應(yīng)于Un不單調(diào)減少或判定單調(diào)很困難的交錯(cuò)級數(shù).例7.1.10判定下列級數(shù)的斂散性(1)(1)n1 -1In nn 1n1111 1(3)1 -L1 222 333 4(4)解：(1)該級數(shù)是交錯(cuò)級數(shù)，顯然limnn In n(1)nn 2 5(1)n2n 0(1)n 1 nsin 46令 f (x)，則 f (x)x In x1丄x_(x ln x)20,( x1)，所以 單調(diào)減少.n In n由萊布尼茲判別法可知，原級數(shù)收斂.(2)不難得到數(shù)列:不單調(diào).而,n ( 1)n(1)n汕(1)n(1)( n ( 1)n)1)n

21、.nI n 1顯然，級數(shù)1發(fā)散; n 2n 1又級數(shù)n1)"是交錯(cuò)級數(shù)，顯然滿足limn 1n令 f(x)斤"月，則f(x)x2 1/ 2 2(x 1)0，所以單調(diào)減少,n 1由萊布尼茲判別法可得，級數(shù)(1)n2收斂.n 2n 1故由級數(shù)斂散的性質(zhì)可得，原級數(shù)發(fā)散.(3 )不難得到 un不單調(diào)，但有1111(1 廠)廠)(1尢)即加括號后得到的新級數(shù)發(fā)散，利用級數(shù)的性質(zhì)可知,原級數(shù)發(fā)散.(4)顯然判定數(shù)列2 n 0nsin 46的單調(diào)性很麻煩.2n2n 0nsin 462n歹，而由比值判別法易得到級數(shù)斗收斂，所以級數(shù)n 1 2n2n 0nsin 462n收斂.且絕對收斂.從

22、而原級數(shù)收斂，四、判定任意項(xiàng)級數(shù)的斂散性對任意項(xiàng)級數(shù)un，主要研究它絕對收斂性和條件收斂性.解題的一般思路：先看當(dāng)n 1時(shí)，級數(shù)的通項(xiàng)Un是否趨向于零，若不趨于零，則級數(shù)發(fā)散；若趨于零，則按正項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別法，判定un是否收斂，若收斂，則級數(shù)un絕對收斂；若發(fā)散，n 1n 1則若上述發(fā)散是由正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法或根值判別法得到，則原級數(shù)發(fā)散；若是由比較un是否收斂n 1判別法判定的，此時(shí)應(yīng)利用交錯(cuò)級數(shù)萊布尼茲判別法或級數(shù)斂散的性質(zhì)判定（若收斂則為條件收斂）.例7.1.11討論下列級數(shù)的斂散性，若收斂，指出是條件收斂還是絕對收斂，說明理由2n n(1) sinn 1為常數(shù);(n1) sin

23、x , dx;xL (a 0).解：（1）2n nun sinsin n (分大時(shí),sin(n)不是整數(shù)時(shí),保持定號，n) (1)nsin(所以級數(shù)從某項(xiàng)起以后為一交錯(cuò)級數(shù).不論 取何值，總有l(wèi)im unlimnsin(-），由于當(dāng)n充nsin0，故UnUnsin ，由于lim J-nn1級數(shù)發(fā)散;當(dāng)是整數(shù)時(shí)，有Un （1） nsin，因而n所以利用比較判別法的極限形式可得，當(dāng)0時(shí)級數(shù)Un發(fā)散，又因?yàn)閁nsin nun收斂，且為條件收總是非增的趨于零，故由交錯(cuò)級數(shù)的“萊布尼茲判別法”知，級數(shù)斂；當(dāng) 0時(shí)，級數(shù)顯然收斂,且絕對收斂.（2）由于（n1）沁dx"七n x（1）咎（叭鋼dt所

24、以原級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù).先判定級數(shù)n 1(n 1) sin x ,dxx0嚴(yán) 的斂散性由于當(dāng)o x時(shí)，衛(wèi)丄如nn t由于級數(shù) -n 1 n發(fā)散，所以級數(shù)(n 1) sin x ,dx n x因?yàn)樵墧?shù)為交錯(cuò)級數(shù)，且滿足萊布尼茲判別法的條件, (3 )這是任意項(xiàng)級數(shù)考慮每三項(xiàng)加一括號所成的級數(shù)因此級數(shù)為條件收斂.Gn 3 a 3n 2a 3n 1)9n2 6n(a 1) a22a 1n 1 (a 3n 3)(a 3n 2)( a 3n 1)此級數(shù)的通項(xiàng)是n的有理式，且分子的次數(shù)僅比分母的次數(shù)低一次，用比較判別法知它是發(fā)散的，由級數(shù)的基本性質(zhì)可得，原級數(shù)發(fā)散.五、關(guān)于數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的證明題證明某個(gè)未給

25、出通項(xiàng)具體表達(dá)式的級數(shù)收斂或發(fā)散這類題，一般用級數(shù)收斂的定義、比 較判別法或級數(shù)的基本性質(zhì).例7.1.12證明：如果級數(shù)an與n 1bn 收斂，且 an cn bn(n 1,2丄),n 1則級數(shù)nCn1也收斂.證明：由an Cn bn可得,0Cnanbnan ；由級數(shù)收斂的基本性質(zhì)可得an)收斂，故由正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法可得(Cnn 1an)收斂.又由于cnn 1(Cnn 1an)an,所以級數(shù)cn收斂.n 1例7.1.13設(shè)印2, an 11(an1)(n 1,2,L )，證明an(I) lim an存在; n(n)級數(shù)0n 1an 11)收斂.證明：(I)由于an 1丄)，所以根據(jù)均值不等

26、式可得anan 11(a故數(shù)列an有下界.又因?yàn)閍n 11(an1(an2an)an,所以an單調(diào)不增，從而由單調(diào)有界準(zhǔn)an則可知，lim an存在.n(n)由(i)可知,1，所以級數(shù) 0n 1 an 11)是正項(xiàng)級數(shù).又因?yàn)閍n1an an 1anan 1 ,an 1an 1anan 1而正項(xiàng)級數(shù) (ann 1an 1)的前n項(xiàng)和nSn(akak 1)a1an 1k 1a1lim ann所以正項(xiàng)級數(shù) (an an 1)是收斂的，由比較判別法知，原級數(shù)收斂.n 1例7.1.14設(shè)f(x)在點(diǎn)X 0的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，且lim少x 01 f ()絕對收斂.n 1 n分析：已知條件中出現(xiàn)高

27、階導(dǎo)數(shù)，可考慮使用泰勒公式完成.證明：由于f(x)在點(diǎn)X 0連續(xù)，且limf(x) 0，所以可得f(0) 0, f (0) 0 .x 0 X將f (x)在點(diǎn)x 0展開成一階泰勒公式，有1 2 1 2f (x) f (0) f (0)x 2! f ( )x f ( )x .由于f (x)在點(diǎn)x 0的某一鄰域內(nèi)連續(xù)，故存在 M 0，使得在x 0的某小鄰域內(nèi)f (x) M，從而1M 1f (丄)M (當(dāng)n充分大時(shí))n2 n1由比較判別法可知，級數(shù)f (丄)絕對收斂.n 1 n例7.1.15若f (x)滿足：在區(qū)間0,)上單增；lim f (x) A；f (x)存在，且xf (x)0 .證明(I)f(

28、n 1) f (n)收斂;(n) f(n)收斂.n 1n證明：(I)由于 Sn f (k 1) f (k) f (n 1) f(1),所以lim Snnlim f(n 1) 1k 1A 1，從而級數(shù) f (n 1) f (n)收斂.n 1(n)由于f (x)存在，且f (x) 0,所以函數(shù)f (x)單調(diào)不增又因?yàn)?f (x)在區(qū)間0,)上單增，所以必有 f (x)0,即級數(shù) f (n)是正項(xiàng)級數(shù).n 1根據(jù)拉格朗日中值定理可得f(n 1) f(n) f ( n), n n n 1 ,所以f (n J f ( n) f (n) 由(I)可知f (n 1)收斂,n 1f ( n)收斂，所以根據(jù)正項(xiàng)

29、級數(shù)的比較判別法知，級數(shù)n 1再根據(jù)級數(shù)收斂的性質(zhì)可得級數(shù)f (n)收斂.n 1六、其它1例7.1.16設(shè)正項(xiàng)數(shù)列 an單調(diào)減少，且(1)nan發(fā)散，判定級數(shù)()n的斂散性.n 1n 11 an解：正項(xiàng)數(shù)列 an單調(diào)減少，由單調(diào)有界準(zhǔn)則可得，lim an存在，記為a ( a 0).n因?yàn)榧墧?shù) (1)nan是交錯(cuò)級數(shù)，若lim an 0,由萊布尼茲判別法可知，該級數(shù)收斂.但 n 1n題設(shè)該級數(shù)發(fā)散，所以必定有a 0，于是lim n ( 1 )n lim 1 n 1 ann 1 an 1 a1由根值判別法知，級數(shù)()n收斂.n 11 an例7.1.17討論級數(shù)1+2n厶L在哪些x處收斂？在哪些x(

30、2n)x處發(fā)散?解：當(dāng)x 1時(shí)，原級數(shù)為，這是交錯(cuò)級數(shù)，且滿足“萊布尼茲判別法”的條件，故收斂;x1時(shí)，S2n(111時(shí)，1丄L32n時(shí)，2d1x1x當(dāng)*(1趨向定常數(shù),故lim S2n發(fā)散，從而原級數(shù)發(fā)散; n 2n當(dāng)X 1時(shí)，S2n 1(2n)的)由于x 1,所以上式中第一項(xiàng)以后的各項(xiàng)都為負(fù)的.考察級數(shù)n1 11荷k，由于1 1 1nF 277 餉所以根據(jù)正項(xiàng)級數(shù)的“比較判別法”的極限形式知，級數(shù)n1(21發(fā)散.2n 1從而 lim S2n 1 n 2，即原級數(shù)發(fā)散.困難不妨先假設(shè)級數(shù)通項(xiàng)an0(n)，再看由遞推公式兩端取極限時(shí)能否導(dǎo)出矛綜上所述，當(dāng)X 1時(shí)，級數(shù)收斂；當(dāng) X 1時(shí)，級數(shù)發(fā)

31、散.例7.1.18已知a1 1, an 1 cosan，判定級數(shù)an的斂散性.n 1an是否收斂于零帶來分析：該級數(shù)的通項(xiàng)以遞推公式給出，這給級數(shù)類型的判定以及通項(xiàng)盾一旦產(chǎn)生矛盾，便可確定級數(shù)發(fā)散.解：若 lim an 0，則 lim annn1 limcos ann1 這與假設(shè)矛盾因此lim an0，原級數(shù)發(fā)散.例7.1.19設(shè)a為常數(shù)，a1，討論級數(shù)1的斂散性.n 11 an解：由于存在an，因此想到分 a 1, a 1, a 1討論.1時(shí)，由于lim ann0，所以limn10，級數(shù)發(fā)散;1 1 1 11時(shí)，廠小，所以nimc 0，級數(shù)發(fā)散;11時(shí)，由于limn 11 a1nlimnAn

32、1 alimn1n 1a a“n 11 a“n 11 a1，所以級數(shù)收斂，故級數(shù)1 an收斂且絕對收斂.例 7.1.20已知 a11,對于n 1,2丄，設(shè)曲線y11-2上點(diǎn)（an,-）處的切線與x軸交點(diǎn)Xan的橫坐標(biāo)是an 1(I)求 an, n 2,3丄；(n)設(shè)1Sn是以（an,0） , （an,飛）和（an 1,0）為頂點(diǎn)的三角形的面積，求級數(shù)anSn的和n 1解：（I）曲線y1 1當(dāng)上點(diǎn)（an,4r）處的切線方程為X一an從而an|an(n由題意所以n 11Y 一2an23(Xanan)1,2,L ），從而1an(an 1anan)n 1 (i)n 1（i）n（刖1anan24an&#

33、167; 7.2幕級數(shù)本節(jié)重點(diǎn)是求幕級數(shù)的收斂域、求幕級數(shù)的和函數(shù)、將函數(shù)展開成幕級數(shù).?？贾R點(diǎn)精講一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念1函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的定義定義：設(shè)函數(shù)Un(x)(n 1,2,3L )都在D上有定義，則稱表達(dá)式Un(X) Ui(X) U2(X) Ln 1為定義在D上的一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，Un(X)稱為通項(xiàng)，Sn(X)Uk(X)稱為部分和函數(shù).k 12. 收斂域定義：設(shè)un(x)是定義在D上的一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，Xo D，若數(shù)項(xiàng)級數(shù)un(X0)收斂，n 1n 1則稱Xo是Un(X)的一個(gè)收斂點(diǎn)所有收斂點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為級數(shù)的收斂域.n 13. 和函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)un(x)的收斂域?yàn)镮，則任給x I，

34、存在唯一的實(shí)數(shù) S(x)，使得n 1S(x)un(x)成立.定義域?yàn)镮的函數(shù)S(x)稱為級數(shù)un(x)的和函數(shù).n 1n 1評注：求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂域時(shí)，主要利用收斂域的定義及有關(guān)的數(shù)項(xiàng)級數(shù)的判別法.二、幕級數(shù)1幕級數(shù)的定義定義：設(shè)an (n 0,1,2,L)是一實(shí)數(shù)列，則稱形如an(x x0)n的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)為x。處的n 0幕級數(shù).Xo 0時(shí)的幕級數(shù)為anxn .n 02.阿貝爾定理定理：對幕級數(shù)an(x x)n有如下的結(jié)論：n 0如果該幕級數(shù)在點(diǎn)X1收斂，則對滿足X X3X X0的一切的X對應(yīng)的級數(shù)an(x x0)n都絕對收斂；n 0如果該幕級數(shù)在點(diǎn)X2發(fā)散，則對滿足X X0X2 X0的一切的

35、X對應(yīng)的級數(shù)an(x x0)n都發(fā)散.例2.1 若幕級數(shù)an(x 2)n在x1處收斂，問此級數(shù)在 x 4處是否收斂，若收斂，n 0是絕對收斂還是條件收斂？解：由阿貝爾定理知，幕級數(shù)an(x 2)n在x 1處收斂，則對一切適合不等式n 0x 212 3(即1 x 5 )的x該級數(shù)都絕對收斂.故所給級數(shù)在x 4處收斂且絕對收斂.三、幕級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間如果幕級數(shù)an(x x)n不是僅在x 滄處收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上收斂，則必定n 0存在一個(gè)正數(shù)R，它具有下述性質(zhì)：當(dāng)x x0 R時(shí)，an(x )n絕對收斂；n 0當(dāng)x x0 R時(shí)，an(x )n發(fā)散.n 0如果幕級數(shù)an(x x°)n

36、僅在x X。處收斂，定義 R 0 ；如果幕級數(shù)an(x x°)n在n 0n 0(,)內(nèi)收斂，則定義R .則稱上述 R為幕級數(shù)an(x x0)n的收斂半徑.稱開區(qū)間(X。 R,x。 R)為幕級數(shù)n 0an(x x0)n的收斂區(qū)間.n 0四、幕級數(shù)收斂半徑的求法求幕級數(shù)an(x x0)n的收斂半徑Rn 0法一：求極限limnan 1(x x)n1an(x x)n令(x x0)1xX°則收斂半徑為R m；法二：若an滿足limnOnan 1法三；求極限(x Xo)limnn an(xxo)n令（xXo) 1X。則收斂半徑為R例2.2求下列幕級數(shù)的收斂域n m2n n!(x 5)n

37、x2n2n1 2n解：收斂半徑Rlimanliman 1nn 112n 1( n 1)!2nn!所以收斂域?yàn)椋ㄊ諗堪霃絣imnananlimn1/n當(dāng)x 51時(shí),對應(yīng)級數(shù)為（_9_這是收斂的交錯(cuò)級數(shù),當(dāng)x 51時(shí)，對應(yīng)級數(shù)為11這是發(fā)散的P級數(shù),于是該幕級數(shù)收斂域?yàn)?,6)；由于 （x） limn2n 12n12nx2n(2n 1)x2n 2令（x）1，可得x所以收斂半徑為 R當(dāng)x .2時(shí)，對應(yīng)的級數(shù)為，此級數(shù)發(fā)散,n 12于是原幕級數(shù)的收斂域?yàn)槲?、幕級?shù)的性質(zhì)設(shè)幕級數(shù)an（xn 0x0）n收斂半徑為R1；bn（xn 0x0）n收斂半徑為&，則1. an(xXo)nbn(xXo)n(a

38、.bn)(xXo)n，收斂半徑 Rmin(尺，只2);n 0n 0n 0n2. an(xXo)nbn(xXo)n(a,bni)(xXo)n，收斂半徑 Rmin(RR)；n 0n 0n 0 i 13.幕級數(shù)an(x x0)n的和函數(shù)S(x)在其收斂域I上連續(xù)；n 04幕級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，且求導(dǎo)后所得到的幕級數(shù)的收斂半徑仍為R 即有S(x) an(x x°)nan(x x°)nn a.(x x°)n1 .n 0n 0n 15幕級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，且積分后所得到的幕級數(shù)的收斂半徑仍為R 即有xxS(x)dx an(x x0)ndxx0冷 n 0

39、Xan(x x°)ndxn 0 Xo0an(Xn 1X。)例2.3用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分求下列幕級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)n 1 , nx (n 11 x 1)114n 1( 1 x 1x4n解：令S(x)nxn 1(x 1)，則x0 S(x)dxx0(nn nx1)dxn所以S(x)廿(1 x)2,(1);令S(x)4n 1-(1n 1 4n 11)，則x4n 1S(X) JR)x4n4x1x4所以 S(x)0X£dx0 1 XX0( 111 x2)dxx1arctanx x, ( 1 x 1).2六、函數(shù)展開成幕級數(shù)1函數(shù)展開成幕級數(shù)的定義定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定

40、義，X。I，若存在幕級數(shù)an(x Xo)n，使得n 0f(x)an(x Xo)n, X In 0則稱f (x)在區(qū)間I上能展開成x0處的幕級數(shù).2 展開形式的唯一性定理：若函數(shù)f (x)在區(qū)間I上能展開成x0處的幕級數(shù)f (x)an(x X0)n, x In 0則其展開式是唯一的，且an凹(n 0,1,2,L ). n!七、泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)1泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)的定義定義：如果f(X)在X0的某一鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱幕級數(shù)f(n)(X0)f(X。)n 0 n!(X X0)nf(X0)1!(X X0) Lf 5)(X0)小(x x0)n為函數(shù)f (X)在X0點(diǎn)的泰勒級數(shù).X。 0時(shí)

41、，稱幕級數(shù)f (n)(0) nXn 0 n!f(n)(0) nXn!為函數(shù)f (x)的麥克勞林級數(shù).2函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的充要條件定理：函數(shù)f (X)在x0 I處的泰勒級數(shù)在上收斂到f (x)的充分必要條件是:f (x)在 X0處的泰勒公式nf(X) k0 k!5(x X0)k 尺(x)的余項(xiàng)Rn(x)在I上收斂到零，即對任意的X I，都有l(wèi)im Rn(x) 0.八、函數(shù)展開成幕級數(shù)的方法1.直接法利用泰勒級數(shù)的定義及泰勒級數(shù)收斂的充要條件，將函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上直接展開成指定點(diǎn)的泰勒級數(shù)的方法.2 間接法通過一定的運(yùn)算將函數(shù)轉(zhuǎn)化為其它函數(shù)，進(jìn)而利用新函數(shù)的幕級數(shù)展開將原來的函數(shù)展開成幕級數(shù)的方法

42、.所用的運(yùn)算主要是四則運(yùn)算、(逐項(xiàng))積分、(逐項(xiàng))求導(dǎo)、變量代換.利 用的幕級數(shù)展開式是下列一些常用函數(shù)的麥克勞林展開公式.幕級數(shù)常用的七個(gè)展開式sin xx2n11)n(2n1)!cosx1)2n n x(2n)ln(1x)n 11)n.n 1(1 x)(1)2!x21 x 1L (1)(2)L( n 5 L , x ( 1,1)n!1)n1,1)1,1) ?？碱}型及其解法與技巧、阿貝爾定理的應(yīng)用例7.2.1設(shè)幕級數(shù)anxn的收斂半徑為2,則幕級數(shù)an(x3)n在下列點(diǎn)處必收斂n 0n 1(A)2,3,4,e(B)12, 1,0,-e(C)1,5(D)1,2,3,4,5, e解：由于anxn

43、與 an(x 3)n有相同的收斂半徑，所以當(dāng) x 3 2的時(shí)候?qū)?yīng)的級數(shù)n 0n 1an(x 3)n都絕對收斂，顯然集合2,3,4,e中的點(diǎn)都滿足不等式 x 3 2，故選(A)例7.2.2如級數(shù)nanxn在x 2處收斂,01問級數(shù)an(x -)n在x 2處斂散性怎樣?n 02解：由阿貝爾定理,對一切x 2的x值,級數(shù)an xn絕對收斂,n 01從而級數(shù)an(x -)nn 02滿足：對一切2的x值，級數(shù)an(x丄)n絕對收斂.2x2顯然不滿足2，故級數(shù)1an(x丄)"在x2處斂散性不確定.o2例 7.2.3設(shè)(n 11)nan2n收斂，則 ann 1(A )條件收斂(B )絕對收斂(C

44、)發(fā)散(D)不定解：考查幕級數(shù)anxn，由于(1)nan2n收斂，所以幕級數(shù)1n 1anX1n在x 2點(diǎn)收斂,根據(jù)阿貝爾定理當(dāng)2時(shí)，對應(yīng)的幕級數(shù)都絕對收斂，所以當(dāng)x 1時(shí)，對應(yīng)的幕級數(shù)絕對收斂，而此時(shí)對應(yīng)級數(shù)為an .所以應(yīng)選(B)n 1例7.2.4設(shè)幕級數(shù)an(x 1)n在x 3處條件收斂，則該幕級數(shù)的收斂半徑為 n 1解：由于an(x 1)n在x 3處條件收斂，由阿貝爾定理得，當(dāng)x 1 4時(shí)級數(shù)n 1an(x 1)n絕對收斂.所以收斂半徑R 4 ;n 1假設(shè)R 4 .由收斂半徑的定義知x 1 R時(shí)，對應(yīng)的級數(shù)都絕對收斂，所以級數(shù)在x 3處應(yīng)絕對收斂，矛盾所以R 4 .因此收斂半徑R 4 .二、收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域求幕級數(shù)收斂半徑的方法我們在?？贾R點(diǎn)中介紹過，如果幕級數(shù)中的幕次是按自然數(shù)順序依次遞增的，這時(shí)幕級數(shù)an(x x°)n的收斂半徑的計(jì)算公式n 0R lim 旦n c，這時(shí)(即常考如果幕級數(shù)中的幕次不是按自然數(shù)順序依次遞增的(如缺少奇數(shù)次幕或缺偶次幕等) 不能用上面的公式計(jì)算收斂半徑，而必須使用正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法或根值判別法知識點(diǎn)中介紹的法一與法三)求出幕級數(shù)的收斂半徑.設(shè)幕級數(shù)an(xn 0x0)n的收斂半徑為R 為了求幕級數(shù)的收斂域還需判別在xo R與x x0 R處級數(shù)an(x x0)n的斂散性.n 0limna