計(jì)算物理第三章

1、1。羅在計(jì)算中的應(yīng)用一、一維平均值法bL y Mg( y)dy,a作變換： y = a + (b - a)x,g = L + (M - L)h1(b - a)L + (b - a)(M - L)h(a + (b - a)x)dx0f (x)2標(biāo)準(zhǔn)：1I =f (x)dx,0 f (x) 10（1）直接抽樣法：在x的定義域0, 1上均勻隨機(jī)取點(diǎn)，該均勻分布的隨量記為 x定義隨量為：= f ()則有：= 1nn= 1nni=1i=1I = E = lim I,hf (x )Inniin3因此，只要抽取足夠多的隨機(jī)點(diǎn)，即 n足夠大時(shí)，In 就是無偏估計(jì)值。I 的一個(gè)相應(yīng)的方差為：1h = f (x)

2、 - I dx2V0可見，當(dāng)f (x)在其定義域內(nèi)變化較大時(shí)，方差較大。（2）重要抽樣法：當(dāng)f (x)在其定義域內(nèi)有顯著的起伏變化時(shí)，可采用重要抽樣法。411I = f (x) / g(x)g(x)dx =f *(x)g(x)dx00偏倚分布密度函數(shù)適當(dāng)選取偏倚分布密度函數(shù)，使得f *(x)在定義域內(nèi)變化平坦。產(chǎn)生0, 1區(qū)間分布密度函數(shù)為 g(x)的隨量，定義：h =f *(x )則有：1nn1nnh = f (I = Eh = lim I I =x )*,niinni=i=115相應(yīng)的方差：1Vh = f *(x) - I 2 g(x)dx01= f 2 (x) / g(x)dx - I

3、20羅計(jì)算結(jié)果的方差為：= V/ n直接抽樣重要抽樣s 2hV/ n6二、平均值法111 標(biāo)準(zhǔn)形式：I =0 f (x) 1s )f (x)dx1dx2 Ldxs ,L000x = (實(shí)際物理中，被積函數(shù)在超立方體的區(qū)域里可能強(qiáng)烈地變化。若在區(qū)域內(nèi)均勻抽樣，貢獻(xiàn)可能主要來自少數(shù)僅僅只有幾個(gè)蒙特卡羅投點(diǎn)的小區(qū)域，從而導(dǎo)致很大的統(tǒng)計(jì)誤差。故采用：重要抽樣法隨機(jī)點(diǎn)地投在f (x) 取值大的區(qū)間。7選取偏倚分布密度函數(shù)g(x) ，并定義r=f (rx)grx（) 要求：方差較?。?x *)f/(有：fx*(xr)gd(xr)111 I =dxLdxL12s000x 1i,( i =按照偏倚分布密度函數(shù)

4、g 0(x)在L1,s區(qū)域,抽)取N個(gè)子樣=i 1i,2 L)xis,L,2,N,則，N= 1 rx )*(If的近似值NiNi=18三、一維的擲點(diǎn)法1I =0 f (x) 1f x()d x,一維：0y 1,f (x)h( x,y =)定義：0 ,yf( x )11= x h(則I有：y ,)dxdy00M的有M個(gè)，則I/N在正方形內(nèi)投N個(gè)點(diǎn)，落在曲線f (x下)，y9證明：所以擲點(diǎn)法的誤差比平均值法的誤差大。102。事例產(chǎn)生器在核及粒子物理研究中，需要進(jìn)行微分截面或全截面的理論 實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比。，并與? 實(shí)驗(yàn)裝置復(fù)雜，相空間的?幾乎不可能? 考慮到探測(cè)器的效率，必須引入各種隨機(jī)統(tǒng)計(jì)的效應(yīng)洛事

5、例產(chǎn)生器 一個(gè)隨機(jī)產(chǎn)生“非”事例的模擬程序 非11，指末態(tài)粒子的四動(dòng)量是按照精確的微分截面來產(chǎn)生微分截面ds = ds (x)dxx 表示張開相空間的運(yùn)動(dòng)學(xué)變量dx洛理論，總截面s = ds根據(jù)的洛估計(jì)值為Ni=1dsdxs = 1x) (dxiN均勻分布的隨機(jī)矢量12 的特性n 當(dāng) N 很大時(shí)，收斂于 的期望值等于當(dāng) N 足夠大時(shí)，s 是服從正態(tài)分布的1nn 2dss 的標(biāo)準(zhǔn)誤差為nV dx (x)/ N增加 N減小 s 的標(biāo)準(zhǔn)誤差ds減小函數(shù)的方差 更為有效(x)dx13（1）分層抽樣法隨機(jī)地選取一個(gè)子空間在這個(gè)子空間內(nèi)隨機(jī)地抽取一個(gè)事例樣本，并計(jì)算該事例的權(quán)重 w 該事例參數(shù)的微分截面值

6、與該子空間內(nèi)的最大微分截面值的比值I.II.選擇事例：取0，1上均勻分布隨機(jī)數(shù)，如果 w，III.采用該事例被接受，反之，該事例被舍棄重復(fù)上面I. III. 直至獲得所需的事例數(shù)IV.14實(shí)際應(yīng)用中的，2s = Tr dv空間過程矩陣元15，（2）重要抽樣法dsds找出一個(gè)與被積微分截面函數(shù)的近似表(x) ，(x)I.dxdsdx在相空間內(nèi)值結(jié)構(gòu)可積，且與的精確表有相同的峰(x)dx根據(jù)該近似表的分布，隨機(jī)抽取事例樣本重 w 該事例對(duì)應(yīng)的精確截面值與對(duì)應(yīng)的近II.III.對(duì)產(chǎn)生的事例似截面值的比值采用抽取非權(quán)重事例：取0，1區(qū)間上均勻分布隨機(jī)數(shù)，IV.若 w/wmax ，則接受該事例，反之，則

7、舍棄該事例重復(fù)II. IV. 過程，直至獲得所需數(shù)量的事例數(shù)V.16實(shí)際應(yīng)用中的?不具有通用性?當(dāng)矩陣元平方的峰值特性復(fù)雜時(shí)，難于得到精確結(jié)果疊加原理將精確微分截面 ds 分成 N 個(gè)ds i 的迭加。每個(gè)ds i 有它的峰值結(jié)構(gòu)特性。對(duì)每個(gè) ds i 編寫按上述步驟產(chǎn)生事例的子產(chǎn)生器程序17一i= ds i權(quán)重wd ii總截面值NNi=1s= w ss =ds =ds i=wdsiiii=1s以近似微分截面分布的事例的權(quán)重因子 w 的平均值diiNi=1s =s, s =ds(i = 1,2L,N )其中iii18事例產(chǎn)生器的效率wE =wmax19w ：選擇在0，1區(qū)間上的均勻分布隨機(jī)數(shù)，

8、滿足不等式i-1 s jis js sj =1j =1的 i 值，然后按照 di 分布產(chǎn)生事例的權(quán)重因子 w 的平均值3。在粒子物理碰撞過程中的應(yīng)用對(duì)撞過程：1.直線對(duì)撞機(jī)對(duì)撞機(jī)2.動(dòng)力學(xué)部分：矩陣元運(yùn)動(dòng)學(xué)部分：相空間微擾計(jì)算羅產(chǎn)生過程： a + b 1+ 2 +L+ n相空間體積元：d 4 pnn(P - pi )i dFn (P, p1,L pn ) = (24(4)0( pi- m )22)( pi )(2p )3ii=1i=120因子化：1dF (P, p ,L, p ) =dQ2dF (Q, p ,L, p )dF(P, Q, p,L, p )n- j +1j +1n1nj1jn2j

9、Q = pii =1P p1 + p2 +L+ pn即：因子化P Q + p j +1 +L+ pn（相空間產(chǎn)生的理論基礎(chǔ)）p1 + p2 +L+ p j21反復(fù)利用因子化，有1F(=LdM 2F(nF(2n-1dP,p,L,p) dMd)2d)Ln1nn-2222(2)iqi = p jj =1其中：F2 (i) =Fd2 (qi , qi-1 , pi ),d=,2m+ (+L(M -2)2i2M2Mqm)mi +1i+ 1i1ii運(yùn)動(dòng)學(xué)上已知：在qi 的靜止系中，有M(l2, M22,m)12pF(q ,i-1i dj(qdcos=p)(idq ,)i-12iiii2 )8M 2i22其

10、中：l(x, y, z) = x2 + y2 + z 2 - 2xy - 2 yz - 2zx相空間產(chǎn)生步驟：（1）首先，取i = n, q = P, M=；q2iii（2） 做Lorentz變換到 qi 靜止系；（3） 產(chǎn)生0,1區(qū)間上的兩個(gè)均勻分布的隨機(jī)數(shù)xi1 ,xi 2 并取ji = 2pxi1,cosqi = xi 223（4）若 i 3 ，產(chǎn)生均勻分布的隨機(jī)數(shù) i3 ，取= (m1 +L+ mi-1 ) + xi3(Mi - m1 -L- mi )Mi-1（5）取 pi的球坐標(biāo)為(M 2 , M 2 , m2 )r ii-1i,q ,j| p |=iii2Mi由此得到rrr+M 2

11、 , - pr)p = (q| p |+m , p ),= (222| p |i-1i-1iiiiii（6）做Lorentz逆變換，變換到原來的參考系；（7）將 i 置為i -1，重復(fù)上述步驟，至 i =1 。244。高能物理實(shí)驗(yàn)中洛的應(yīng)用一、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中的洛的應(yīng)用研究的物理過程、本底、判選條件、探測(cè)器性能、裝置中各個(gè)探測(cè)器的設(shè)計(jì)安排（1）實(shí)驗(yàn)裝置性能的研究、例如帶電粒子動(dòng)量 p粒子電荷(GeV / c)BZ rp = 3 10 -2磁場(chǎng)強(qiáng)度徑跡曲率25終態(tài)粒子的物理參數(shù)（能量、動(dòng)量、運(yùn)動(dòng)方向、粒子種類）l 利用洛的計(jì)算確定各種效應(yīng)的數(shù)值產(chǎn)生粒子的動(dòng)量 p 的數(shù)值和方向跟蹤該粒子穿過探測(cè)裝置的徑

12、跡每當(dāng)粒子穿過探測(cè)器中的一小段薄層物質(zhì)時(shí)，根據(jù)隨機(jī)多重 散射的規(guī)律多次散射偏轉(zhuǎn)角的分布密度函數(shù) f (空間 )抽樣，對(duì)粒子的運(yùn)動(dòng)方向進(jìn)行26q 21空間)dW exp-dWf ( 近似高斯分布空間pq 2q 200 L20GeV / cL1q0 =1+logZ10xp b9x00介質(zhì)的特征值（介質(zhì)輻射長(zhǎng)度）速度根據(jù)以上公式可以抽樣得到該粒子穿過這一后的偏轉(zhuǎn)角空間再算出在下一個(gè)小薄層終點(diǎn)處的坐標(biāo)參數(shù)xi，利用得到的一系列x， 算出粒子的動(dòng)量估計(jì)值，同粒子入射的動(dòng)量值比較，就可以得到探測(cè)裝置的動(dòng)量分辨率27多次散射的角度均方根，x按方差為2 的高斯分布 N ( xi , 2) 作模糊處理提高磁場(chǎng)強(qiáng)

13、度重新安排探測(cè)器以測(cè)量的空間坐標(biāo)參數(shù)如果模擬某個(gè)探測(cè)裝置的動(dòng)量分辨率很大減小裝置中材料的密度在對(duì)實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行設(shè)計(jì)的階段，需要對(duì)探測(cè)器做大量的模擬研究，以了解該裝置中各個(gè)探測(cè)器的響應(yīng)，并進(jìn)一步項(xiàng)指標(biāo)的要求以及探測(cè)器的安排和設(shè)計(jì)是否合理該裝置是否滿足各28（2）實(shí)驗(yàn)方案可行性研究實(shí)驗(yàn)裝置能否實(shí)現(xiàn)對(duì)理論或假說的檢驗(yàn)是很必要的！l 利用某實(shí)驗(yàn)裝置一個(gè)振態(tài)的自旋0 粒子的衰變產(chǎn)物在靜止系中的角分布各向同性1 末態(tài)粒子在靜止系中的角分布正比于cos2spin采用100個(gè)“實(shí)驗(yàn)”實(shí)現(xiàn)衰變過程，每個(gè)實(shí)驗(yàn)30個(gè)事例模擬衰變過程時(shí)，按照自旋為1來模擬末態(tài)粒子的產(chǎn)生分析模擬實(shí)驗(yàn)數(shù)值，如果有好幾個(gè)數(shù)值與自旋為0的數(shù)值

14、一致增加事例數(shù)裝置的角分辨率29共振態(tài)為0或1的能力。二、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析中的洛模擬的應(yīng)用在高能物理實(shí)驗(yàn)中，常常用一些大型、復(fù)雜的分析實(shí)?？啃?，可以采用輸入一些已知數(shù)據(jù)格式的數(shù)據(jù)，以檢驗(yàn)該程序能否總是地重建輸入數(shù)據(jù)l 粒子與固定靶相互作用試驗(yàn)裝置通過產(chǎn)生次級(jí)粒子徑跡考慮到徑跡上粒子與各種物質(zhì)的多重散射估計(jì)出該實(shí)驗(yàn)考慮計(jì)數(shù)器的探測(cè)效率而引起的丟失產(chǎn)生一些本底污染過程的事例徑跡將輸入的事例徑跡參數(shù)和模擬所得徑跡參數(shù)比較30 通過的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，還可以檢驗(yàn)理論的正確與否l 膠子的與否，30GeV之一e+e- g qq ，夸克和反夸克碎裂后成為。TASSO Collaboration 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與按此機(jī)制

15、繪制的算曲e+ e- g qqg線不相符。但是我們加上過程，得到的！算曲線則與實(shí)驗(yàn)點(diǎn)符合的很好，證明了膠子的31在粒子物理實(shí)驗(yàn)中，洛程序可以根據(jù)過程的理論規(guī)律，產(chǎn) 生出主過程和本底過程事例，由此給出末態(tài)粒子的所有徑跡參數(shù)， 由此計(jì)算出探測(cè)裝置的探測(cè)效率和本底對(duì)全截面測(cè)量的影響101TASSO CollaborationNe+e- g qq100e+e-e+e- qqg + qq10-110-20.40.81.2(GeV / c)2Tinl 尋找共振態(tài)的數(shù)據(jù)分析 尋找不變質(zhì)量譜上的明顯峰值共振態(tài)短，探測(cè)裝置的分辨率有限本底過程對(duì)主過程嚴(yán)重污染共振態(tài)衰變?yōu)槟硯讉€(gè)粒子的分支比很小主過程末態(tài)也有相同的

16、粒子利用洛模擬分析，產(chǎn)生出與實(shí)驗(yàn)相同的事例數(shù)。這樣模擬100次，繪出不變質(zhì)量譜。在所有的不變質(zhì)量譜圖（真實(shí)實(shí)驗(yàn)的不變質(zhì)量分布圖）中選出5張最有可能共振峰的圖。如果這5張中真實(shí)實(shí)驗(yàn)的不變質(zhì)量譜，則：在95%的置信水平上，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)包含了共振峰的，不變質(zhì)量譜上模糊的峰形不是由于統(tǒng)計(jì)漲落引起的！33實(shí)驗(yàn)的不變質(zhì)量分布圖上往往峰的形狀并不明顯345。在量子力學(xué)中的應(yīng)用一、量子力學(xué)HY( xr, t ) = ih Y( x, t ) 方程t定義： rirrrDF (x, t; x0 , t0 ) =exp-H (t - t0 ) x0xh量子力學(xué)的基本理論告訴我們，系統(tǒng)的所有信息，基態(tài)、激發(fā)態(tài)的能量、波函

17、數(shù)等均可由以很方便的得到。子給出。特別是和基態(tài)有關(guān)的信息，可35例如，基態(tài)波函數(shù)的模方可以表示為r-1 rrrrr +|y 0 (x) | = limD (x,-it ; x,0)it ; x,0)d x D (x,-23FFt+-子可以表達(dá)為路徑的形式，對(duì)于簡(jiǎn)單系統(tǒng)，即pr 2rH=T+V=V ( + x)2m有： ix , rt )x rrD)rt = (x exStpt(D,;x()F00 h其中，1SxrL(d)t =rrtt&t d=t( x) -2mt( )V)xt作用量 2tt0036二、路徑量子羅， iN -1N(rr3 redxp x m)=ND(x, F t;x,0t)0l

18、imAj0n=1 j =1= (t - t0 ) / N常數(shù)時(shí)N+，N。 1r&rtt -2dtm (x)(V( )x)t 2t037?。簍 = -i= 0 ，有,t0(xr - xrN -1)2N1hrr3 rr d x jDF (x,-it ; x0 ,0) = lim A+ eexp-N- nn21mV (x )n0n=1 j =1e = t / NN + 時(shí)eE(xr , xr ,L,)01+ V (x(t)1&2dtmx(t) 2038由此得到基態(tài)波函數(shù)：N -1 r3 r0 (x) | = Z d x j- 12|j =1其中N -1 3rrx=d3Zdjxj =1d函數(shù)，得到：r

19、 ehN -1rrrr0 dd) =| xx |y 0(- 1dZ(-233xjx)x0j =139采用Metropolis計(jì)算基態(tài)波函數(shù)：xN = x0，N一，相應(yīng)的能E量(,。x)然后，再接著選一系列路徑，每條N路徑與前一條路徑最多只有一個(gè)時(shí)刻（例如 t j）有不同的空間點(diǎn)。采用來確定滿足上述要求的新路徑。其中，將隨機(jī)定下的坐Metropolis標(biāo) x j 改變到 xj 的過渡概率為miwnjj-eexDpE(=1,。其中，D)E 為兩x( - 0x)條路徑的能量差。對(duì)于每一條路徑，利用前述公式計(jì)算被積函數(shù)的估計(jì)值，并累加到中。最終該求和所得的值與抽樣路徑的總數(shù)相除得到平均值，就得到 |y

20、 (xr) |2的數(shù)值結(jié)果。按上述，游走足夠0y ( xr )2的|多的步數(shù)后，我們就得到|值。040三、變分量子羅對(duì)于任意的試探函數(shù)y ，其能量期望值滿足(yx ) y|r2yx - 1(rH )r x( 3 r d)yyH |x=H= y= E0Etryr )23ry| yx(d|x基態(tài)能量“局域能量”對(duì)于Etry產(chǎn)生|，的計(jì)算，采用重要抽樣法。當(dāng)給定試探函數(shù)后，由Metropolisy( xr )2分|布的 N 個(gè)位形。對(duì)于每一個(gè)位形，計(jì)算出相應(yīng)的局41N i=1則：Etry/ Ni（1）選擇一個(gè)物理上相對(duì)合理的基態(tài)試探波函數(shù)y i ；（2）利用前述計(jì)算與之相應(yīng)的能量期望值 E (i )

21、 ；try（3）改變?cè)囂胶瘮?shù)中的變分參數(shù)值，使得試探函數(shù)改變一小量，記改變(i+后的試探函數(shù)為，并計(jì)算相應(yīng)的能量期望值1)；Ei+1try= E (i+1) - E (i )（4）計(jì)算能量改變值 DE，若改變量小于0，則接受試i+1trytry探函數(shù)的改變，否則拒絕，并回到第三步；（5）反復(fù)循環(huán)，直至能量期望值不再有明顯變化為止。42若上述循環(huán)至第 M 次終止，則y My 0E ( M )Etry0四、函數(shù)量子羅r (x, t) = a 2r (x, t)一維擴(kuò)散方程：tt 2y) /(4at)/4pat相應(yīng)的函數(shù)：G (x, y;t) = exp- (x -2043函數(shù)歸一，且與 x, t

22、無關(guān)。dyG (x, y;t) = 10擴(kuò)散方程過程G0 (x, y; Dt)TDt ( y x)（函數(shù)）（單步游走的概率分布）x(t + Dt) = x(t) +hDtN (0,2a ) 分布44r (x, t) = 1 )- Fx(Fokker-Planck方程：( x, t)t 2 x x力相應(yīng)的函數(shù)：expF ( y)Dt / 2)2 /(2Dt)1G (x, y; Dt) =(xy02pDt（ Dt 的一階近似）構(gòu)造鏈x(t + Dt) = x(t) + DtF (x(t) / 2 +DtN (0,1)453N體定態(tài)方程的基態(tài)解擴(kuò)散方程的定態(tài)解方程（取 h = m = 1）：虛時(shí))

23、= T + V (R) - E Y(R,- Y(R, ) = H - ErrrY(R,)tTT（具有勢(shì)函數(shù)的擴(kuò)散方程）括散項(xiàng)分支項(xiàng)函數(shù)：r tR exp-(H - E )t RG(R, R ; ) =T（借用Dirac記號(hào)）46上述的元，即函數(shù)正是量子力學(xué)中的時(shí)間演化算符在坐標(biāo)表象下的矩陣 子。tf)nexp- H(- En當(dāng)+，或者說足夠大時(shí)，上式右邊的求和中只有基態(tài)才有貢獻(xiàn)，這個(gè)算符（時(shí)間演化算符）行為就如同作用在基態(tài)波函數(shù)上。計(jì)算函數(shù)，得到expV-R=t(-T E)t, G ;DR )D)(R(rr1D/( t2 +t O-( R- )R) D22 exp()(2p Dt3N)/247

24、上面給出的是函數(shù)的短時(shí)間近似結(jié)果。根據(jù)此結(jié)果，我們?cè)诤瘮?shù)羅模擬中，就必須進(jìn)行大量的短時(shí)間間隔的游走，最終使其分?jǐn)U散步分支步由 R 游走到 R 的權(quán)重需ex乘p因子模擬效率不高。-) T /Dt2E，)+ V( RV( - R(Reynolds486。在統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的應(yīng)用物理量的觀測(cè)值微觀粒子的某物理量在相空間的分布的平均值相空間態(tài)矢= Z -1 A(xr) f (H (xr)dxrA(T )熱力學(xué)平衡狀態(tài)下（恒溫T）：W觀測(cè)量Hamilton量分布密度函數(shù)=f ( H ( r x )r 配d 分x函數(shù)WZ49上述公式涉及的是型等極少數(shù)類型的。只氣體、諧振子系統(tǒng)、Ising模可以求解。大多數(shù)情況下

25、，只能借助近似方羅Nr+mF(r正則系綜H，=2p/2)xiii=1除掉動(dòng)量以外的其它的相空間坐標(biāo)當(dāng)粒子間的相互作用與動(dòng)量無關(guān)時(shí)，動(dòng)能項(xiàng)的貢獻(xiàn)是可以被掉的，這相當(dāng)于將Hamilton量中的動(dòng)能項(xiàng)去掉。則，平衡態(tài)下的概率分布為Boltzmann分布。50Boltzmann分布密度函數(shù)為：=dexxpr(Frx )-Z/k(T)B可見，所有對(duì)應(yīng)于大能量值的狀態(tài) x 對(duì)觀測(cè)量隨機(jī)選擇（均勻抽樣）n 個(gè)狀態(tài) xi ，則有的貢獻(xiàn)都很小。nA(rx ) f (F(xr)iiA (T) i=1nr(fi=1F(xi)51由于上式中大部分狀態(tài)對(duì)求和的貢獻(xiàn)是很小的，故抽樣的效率是比較低 下的。為有效的進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)采用重要抽樣法。用Metropolis產(chǎn)生Boltzmann分布的 n個(gè)狀態(tài) xi，則nA (T) 1 A (r x)ini=1527。在粒子輸運(yùn)中的應(yīng)用一、直接模擬法s = (x, E, cos中子的狀態(tài)位形：中子在物質(zhì)層中的運(yùn)動(dòng)歷史：)s0 s1 s2 L sM?= (xi-1,Ei-1, cosqi-1 )si = (xi ,Ei , cosqi )si-10, 1區(qū)間上均（1）確定坐標(biāo)參數(shù) x 。