南昌二中高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波

1、物理課件網(wǎng)（）歡迎您！第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波§51簡(jiǎn)諧振動(dòng)vvF回x如果一個(gè)物體受到的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移大小成正比，方向相反。即滿足：F回=-K的關(guān)系，那么這個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)就定義為簡(jiǎn)諧振動(dòng)根據(jù)牛頓第二是律，物體的511、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)a=加速度離平衡位置的位移大小成正比，方何相反。現(xiàn)有一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，上端固定在P點(diǎn)，下端固定一個(gè)質(zhì)量為m的物體，物體平衡時(shí)的位置記作O點(diǎn)。現(xiàn)把物體拉離O點(diǎn)后松手，使其上下振動(dòng)，如圖5-1-1所示。當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到離O點(diǎn)距離為x處時(shí)，有式中因此 F回K=-mm，因此作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體，其加速度也和它偏F回=F-mg=k(x0+x)-mg

2、 x0為物體處于平衡位置時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度，且有kx0=mg， 圖5-1-1F回=kx說(shuō)明物體所受回復(fù)力的大小與離開(kāi)平衡位置的位移x成正比。因回復(fù)力指向平衡位置O，而位移x總是背離平衡位置，所以回復(fù)力的方向與離開(kāi)平衡位置的位移方向相反，豎直方向的彈簧振子也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。注意：物體離開(kāi)平衡位置的位移，并不就是彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度。512、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方程由于簡(jiǎn)諧振動(dòng)是變加速運(yùn)動(dòng)，討論起來(lái)極不方便，為此?？梢胍粋€(gè)連續(xù)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樗谌我恢睆缴系姆诌\(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，以平衡位置O為圓心，以振幅A為半徑作圓，這圓就稱為參考圓，如圖5-1-2，設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)在參考圓上以角速度w作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它在開(kāi)始時(shí)與O的連

3、線跟x軸夾角為j0,那么在時(shí)刻t，參考圓上的質(zhì)點(diǎn)與O的連線跟x的夾角就成為j=wt+j0，它在x軸上的投影點(diǎn)的坐標(biāo) 圖5-1-2x=Acos(wt+j0) （2）這就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，式中j0是t=0時(shí)的相位，稱為初相：wt+j0是t時(shí)刻的相位。 參考圓上的質(zhì)點(diǎn)的線速度為Aw，其方向與參考圓相切，這個(gè)線速度在x軸上的投影是0） （3）這也就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度 v=-Awcos(wt+j參考圓上的質(zhì)點(diǎn)的加速度為Aw，其方向指向圓心，它在x軸上的投影是物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺(tái)！ 2高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程 第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波2a=-Awcos(wt+

4、j0） （4）這也就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度由公式（2）、（4）可得a=-w2x由牛頓第二定律簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度為a=Fk=-xmm因此有w2=km （5）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期T也就是參考圓上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)周期，所以T=2pm=2p×wk513、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的判據(jù)物體的受力或運(yùn)動(dòng)，滿足下列三條件之一者，其運(yùn)動(dòng)即為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：物體運(yùn)動(dòng)中所受回復(fù)力應(yīng)滿足 F=-kx；2物體的運(yùn)動(dòng)加速度滿足 a=-wx；0。 物體的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為事實(shí)上，上述的三條并不是互相獨(dú)立的。其中條件是基本的，由它可以導(dǎo)出另外兩個(gè)條件和。§5.2 彈簧振子和單擺簡(jiǎn)諧振動(dòng)的教學(xué)中經(jīng)常討論的是彈簧振子和單擺，下面分別加以討論。52

5、1、彈簧振子彈簧在彈性范圍內(nèi)胡克定律成立，彈簧的彈力為一個(gè)線性回復(fù)力，因此彈簧振子的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)周期 x=Acos(wt+j)T=2pmk。 （1）恒力對(duì)彈簧振子的作用比較一個(gè)在光滑水平面上振動(dòng)和另一個(gè)豎直懸掛振動(dòng)的彈簧振子，如果m和k都相同（如圖5-2-1），則它們的振動(dòng)周期T是相同的，也就是說(shuō)，一個(gè)振動(dòng)方向上的恒力不會(huì)改變振動(dòng)的周期。 圖5-2-1如果在電梯中豎直懸掛一個(gè)彈簧振子，彈簧原長(zhǎng)l0，振子的質(zhì)量為m=1.0kg，電梯靜止時(shí)彈簧伸長(zhǎng)Dl=0.10m，從t=0時(shí)，開(kāi)始電梯以g/2的加速度加速下降t=ps,然后又以g/2加速減速下降直至停止試畫(huà)出彈簧的伸長(zhǎng)Dl隨時(shí)間t變化的圖線

6、。由于彈簧振子是相對(duì)電梯做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，而電梯是一個(gè)有加速度的非慣性系，因此要考慮彈簧振子所受到的慣性力f。在勻速運(yùn)動(dòng)中，慣性力是一個(gè)恒力，不會(huì)改變振子的振動(dòng)周期，物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺(tái)！高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程 第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波振動(dòng)周期因?yàn)閗=mg/Dl，所以 T=2p/w=2p/kmT=2pDlg=0.2p(s)因此在電梯向下加速或減速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，振動(dòng)的次數(shù)都為n=t/T=p/0.2p=5(次)當(dāng)電梯向下加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，振子受到向上的慣性力mg/2，在此力和重力mg的共同作用下，振子的平衡位置在的地方，同樣，當(dāng)電梯向下減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，振子的平衡

7、位置在的地方。在電梯向下加速運(yùn)動(dòng)期間，振子正好完成5次全振動(dòng)，因此兩個(gè)階段內(nèi)振子的振幅都是Dl/2。彈簧的伸長(zhǎng)隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖5-2-2所示，讀者可以思考一下，如果電梯第二階段的勻減速運(yùn)動(dòng)不是從5T時(shí)刻而是從4.5T時(shí)刻開(kāi)始的，那么Dlt圖線將是怎樣的？ （2）彈簧的組合 設(shè)有幾個(gè)勁度系數(shù)分別為k1、k2kn的輕彈簧串聯(lián)起來(lái)，組成一個(gè)新彈簧組，當(dāng)這個(gè)新彈簧組在F力作用下伸長(zhǎng)時(shí)，各彈簧的伸長(zhǎng)為x1，那么總伸長(zhǎng)i=1各彈簧受的拉力也是F，所以有 nDl1=1mg/k=Dl/22 Dl2=3mg/k=3Dl/22 2x=åxi xi=F/kii=1故根據(jù)勁度系數(shù)的定義，彈簧組的勁度系數(shù)

8、 圖5-2-2x=Fån1kik=F/xi=1即得如果上述幾個(gè)彈簧并聯(lián)在一起構(gòu)成一個(gè)新的彈簧組，那么各彈簧的伸長(zhǎng)是相同的。要使各彈簧都伸長(zhǎng)x，需要的外力 1/k=ån1ki 圖5-2-3F=åkix=xåkii=1i=1nn物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺(tái)！高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程 第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波根據(jù)勁度系數(shù)的定義，彈簧組的勁度系數(shù)nFk=åkixi=1導(dǎo)出了彈簧串、并聯(lián)的等效勁度系數(shù)后，在解題中要靈活地應(yīng)用，如圖5-2-3所示的一個(gè)振動(dòng)裝置，兩根彈簧到底是并聯(lián)還是串聯(lián)？這里我們必須抓住彈簧串并聯(lián)

9、的本質(zhì)特征：串聯(lián)的本質(zhì)特征是每根彈簧受力相同；并聯(lián)的本質(zhì)特征是每根彈簧形變相同。由此可見(jiàn)圖5-2-3中兩根彈簧是串聯(lián)。當(dāng)m向下偏離平衡位置Dx時(shí)，彈簧組伸長(zhǎng)了2 Dx，增加的彈力為F=2Dxk=2Dxm受到的合外力（彈簧和動(dòng)滑輪質(zhì)量都忽略） k1k2k1+k2SF=2´2Dx所以m的振動(dòng)周期 k1k24kk=12Dxk1+k2k1+k2m(k1+k2)4k1k2m(k1+k2)pk1k2 = T=2p 再看如圖5-2-4所示的裝置，當(dāng)彈簧1由平衡狀態(tài)伸長(zhǎng)Dl1時(shí)，彈簧2由平衡位置伸長(zhǎng)了Dl2，那么，由桿的平衡條件一定有（忽略桿的質(zhì)量）k1·Dl1a=k2Dl2bDl2=k1

10、a××Dl1k2b由于彈簧2的伸長(zhǎng)，使彈簧1懸點(diǎn)下降 ak1a2Dx¢=Dl2=×2×Dl1bk2b因此物體m總的由平衡位置下降了 æk1a2öDx1=Dl1+Dx¢=ççk×b2+1÷÷Dl2è2ø此時(shí)m所受的合外力 圖5-2-4k1k2b2SF=k1Dl1=Dx1k1a2+k2b2所以系統(tǒng)的振動(dòng)周期物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺(tái)！高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程 第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波m(k1a2+k2b2)

11、T=2p2kkb12（3）沒(méi)有固定懸點(diǎn)的彈簧振子 質(zhì)量分別為mA和mB的兩木塊A和B，用一根勁度系數(shù)為k的輕彈簧聯(lián)接起來(lái)，放在光滑的水平桌面上（圖5-2-5）?，F(xiàn)在讓兩木塊將彈簧壓縮后由靜止釋放，求系統(tǒng)振動(dòng)的周期。想象兩端各用一個(gè)大小為F、方向相反的力將彈簧壓縮，假設(shè)某時(shí)刻A、B各偏離了原來(lái)的平衡位置xA和xB，因?yàn)橄到y(tǒng)受的合力始終是零，所以應(yīng)該有mAxA=mBxB A、B兩物體受的力的大小FA=FB=(xA+xB)k 由、兩式可解得 mA+mBxAmBm+mBFB=kAxBmB FA=k由此可見(jiàn)A、B兩物體都做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期都是 圖5-2-5T=2pmAmBk(mA+mB)此問(wèn)題也可用另一種

12、觀點(diǎn)來(lái)解釋：因?yàn)閮晌矬w質(zhì)心處的彈簧是不動(dòng)的，所以可以將彈簧mBmA+mBl0k看成兩段。如果彈簧總長(zhǎng)為l0，左邊一段原長(zhǎng)為mA+mB，勁度系數(shù)為mB；右邊mAmA+mBl0k一段原長(zhǎng)為mA+mB，勁度系數(shù)為mB，這樣處理所得結(jié)果與上述結(jié)果是相同的，有興趣的同學(xué)可以討論，如果將彈簧壓縮之后，不是同時(shí)釋放兩個(gè)物體，而是先釋放一個(gè)，再釋放另一個(gè)，這樣兩個(gè)物體將做什么運(yùn)動(dòng)？系統(tǒng)的質(zhì)心做什么運(yùn)動(dòng)？522、單擺一個(gè)質(zhì)量為m的小球用一輕質(zhì)細(xì)繩懸掛在天花板上的O點(diǎn)，小球擺動(dòng)至與豎直方向夾q角，其受力情況如圖5-2-6所示。其中回復(fù)力，即合力的切向分力為F回=mg×sinq當(dāng)q<5º時(shí)

13、，OAB可視為直角三角形，切向分力指向平衡位置A，且xsinq=l，所以圖5-2-6物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺(tái)！高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程 第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波F回=mgxlk=mgl）F回=kx（式中說(shuō)明單擺在擺角小于5º時(shí)可近似地看作是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)的周期為T=2p在一些異型單擺中，l和g的含意以及值會(huì)發(fā)生變化。（1）等效重力加速度g¢單擺的等效重力加速度g¢等于擺球相對(duì)靜止在平衡位置時(shí)，指向圓心的彈力與擺球質(zhì)量的比值。如在加速上升和加速下降的升降機(jī)中有一單擺，當(dāng)擺球相對(duì)靜止在平衡位置時(shí)，繩子中張力為m(g&#

14、177;a)，因此該單擺的等效重力加速度為g¢=g±a。周期為ml=2pkg圖5-2-7lT=2pg±a再如圖5-2-7所示，在傾角為q的光滑斜面上有一單擺，當(dāng)擺球相對(duì)靜止在平衡位置時(shí)，繩中張力為mgsinq，因此單擺lT=2pgsinq 的等效重力加速度為g¢=gsinq，周期為又如一節(jié)車廂中懸掛一個(gè)擺長(zhǎng)為l的單擺，車廂以加速度aag，此單擺可以在車廂中以O(shè)A為中圖5-2-8在水平地面上運(yùn)動(dòng)（如圖5-2-8）。由于小球m相對(duì)車廂受到一個(gè)慣性力f=ma，所以它可以tga=“平衡”在OA位置，心做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。當(dāng)小球相對(duì)靜止在平衡位置A處時(shí)，繩中張力為ma2+

15、g2，等效重力加速度g¢=a2+g2，單擺的周期T=2pla2+g2（2）等效擺長(zhǎng)l¢單擺的等效擺長(zhǎng)并不一定是擺球到懸點(diǎn)的距離，而是指擺球的圓弧軌跡的半徑。如圖5-2-9中的雙線擺，其等效擺長(zhǎng)不是l，而是lsinq，周期物理課件網(wǎng)（）-圖5-2-10高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程 第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波T=2p再如圖5-2-10所示，擺球m固定在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量可忽略的等邊三角形支架ABC的頂角C上，三角支架可圍繞固定的AB邊自由轉(zhuǎn)動(dòng)，AB邊與豎直方向成a角。當(dāng)m作小角度擺動(dòng)時(shí)，實(shí)際上是圍繞AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，故等效擺長(zhǎng)lsing l¢=Lcos300=3L2正因?yàn)閙繞D點(diǎn)擺

16、動(dòng)，當(dāng)它靜止在平衡位置時(shí)，指向D點(diǎn)的彈力為mgsina，等效重力加速度為gsina，因此此異型擺的周期T=2pl¢3L=2pg¢2gsina（3）懸點(diǎn)不固定的單擺如圖5-2-11，一質(zhì)量為M的車廂放在水平光滑地面上，車廂中懸有一個(gè)擺長(zhǎng)為l，擺球的質(zhì)量為m的單擺。顯然，當(dāng)擺球來(lái)回?cái)[動(dòng)時(shí)，車廂也將作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，懸點(diǎn)不固定。由擺球相對(duì)于車廂的運(yùn)動(dòng)是我們熟悉的單擺，故取車廂為非慣性系，擺球受到重力mg，擺線拉力N和慣性力maM的作用，如圖分析擺球N=mgcosq-maMsinq （忽略擺球向心力）回復(fù)力 F=mgsinq+maMcosq 分析車廂： Nsinq=MaM 2因?yàn)閝很小，

17、所以可認(rèn)為sinq=q，cosq=1，sinq=0則由、式可得 aM=mgqMm)qM 圖5-2-11 把它代入 F=mg(1+擺球偏離平衡位置的位移 x=ql所以因此擺球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期 F=mg(M+m)xMIT=2p ml(M+m)g物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺(tái)！高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程 第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波T=2p由周期表達(dá)式可知：當(dāng)M»m時(shí)，lg，因?yàn)榇藭r(shí)M基本T<2p不動(dòng)，一般情況下，lg§5.3 振動(dòng)能量與共振5. 31、簡(jiǎn)諧振動(dòng)中的能量以水平彈簧振子為例，彈簧振子的能量由振子的動(dòng)能和彈簧的彈性勢(shì)能構(gòu)成，在振

18、動(dòng)過(guò)程中，振子的瞬時(shí)動(dòng)能為：EK=121mv=mA2w2sin2(wt+j)22 121kx=mw2A2cos2(wt+j)22振子的瞬時(shí)彈性勢(shì)能為：Ep=振子的總能量為：E=EK+Ep=11mw2A2=kA22212kA簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，回復(fù)力與離開(kāi)平衡位置的位移x的比值k以及振幅A都是恒量，即2是恒量，因此振動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。如以豎直彈簧振子為例，則彈簧振子的能量由振子的動(dòng)能、重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能構(gòu)成，盡管振動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，但能量的研究仍比較復(fù)雜。由于此時(shí)回復(fù)力是由彈簧的彈力和重力共12kx2同提供的，而且是線性力（如圖5-3-1），因此，回復(fù)力做的功（圖中陰影部分的面

19、積）也就是系統(tǒng)瞬時(shí)彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能之和，所以類比水平彈簧振子瞬時(shí)彈性勢(shì)能表達(dá)式，式中x應(yīng)指振子離開(kāi)平衡位圖5-3-1置的位移，則Ep就是彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能之和，不必分開(kāi)研究。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量還為我們提供了求振子頻率的另一種方法，這種方法不涉及振子所受的力，在力不易求得時(shí)較為方便，將勢(shì)能寫(xiě)成位移的函數(shù)，即另有Ep=2Ep12kxk=22x。 ，2Epkw=mmx2也可用總能量和振幅表示為物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺(tái)！圖5-3-2高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程 第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波w=2Epmx2532、阻尼振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程的機(jī)械能是守恒的，這類振動(dòng)一旦開(kāi)始

20、，就永不停止，是一種理想狀態(tài)。實(shí)際上由于摩擦等阻力不可完全避免，在沒(méi)有外來(lái)動(dòng)力的條件下，振動(dòng)總會(huì)逐漸減弱以致最后停息。這種振幅逐漸減小的振動(dòng)，稱為阻尼振動(dòng)。阻尼振動(dòng)不是諧振動(dòng)。振動(dòng)模型與運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖5-3-2所示，為考慮阻尼影響的振動(dòng)模型，c為阻尼器，粘性阻尼時(shí)，阻力R=-cv，設(shè)m運(yùn)動(dòng)在任一x位置，由SF=max有max=-kx-cvx分為 ax+2nvx+wx=0 （17）式中這里參考圖方法不再適用，當(dāng) C 較小時(shí)，用微分方程可求出振體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，如圖4-22所示。阻尼對(duì)振動(dòng)的影響由圖5-3-3可見(jiàn)，阻尼使振幅逐漸衰減，直至為零。同時(shí)也伴隨著振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能逐漸衰減為零。 2n=c2m c

21、=n2m此外，愈大，即阻尼愈大，振幅衰減愈快。而增大質(zhì)量m可使n減小。所以，為了減小阻尼，單擺的重球及彈簧振子往往選用重球。常量阻力下的振動(dòng)例1、如圖5-3-4所示，倔強(qiáng)系數(shù)為250g/cm的彈簧一端固定，另端連結(jié)一質(zhì)量為30g的物塊，置于水平面上，摩擦因數(shù)m=14，現(xiàn)將彈簧拉長(zhǎng)1cm后靜止釋放。試求：（1）物塊獲得的最大速度；（2）物塊經(jīng)過(guò)彈簧原長(zhǎng)位置幾次后才停止運(yùn)動(dòng)。 解：振體在運(yùn)動(dòng)中所受摩擦阻力是與速度方向相反的常量力，并不斷耗散系統(tǒng)的機(jī)械能，故不能像重力作用下那樣，化為諧振動(dòng)處理。（1）設(shè)首次回程中，物塊運(yùn)動(dòng)至彈簧拉力等于摩擦力的x位置時(shí)，達(dá)最大速度物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物

22、理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺(tái)！高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程 第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波1mgm=0.03(cm)x=k250g由 kx=mgm， 30g´再由能量守恒：12112kx0=mgm(1-0.03)+k´0.032+mvmax22 2代入已知數(shù)據(jù)得vmax=485(cm/s)¢，則 （2）設(shè)物體第一次回程中，彈簧的最大壓縮量為x11212¢=mgm(x0+x1¢)kx0-kx12 22mgm¢=x0-x1k再設(shè)物體第一次返回中，彈簧的最大拉伸量為x1，則1212¢-kx1=mgm(x1¢+x1)kx122

23、2mgm¢-x1=x1k可見(jiàn)振體每經(jīng)過(guò)一次彈簧原長(zhǎng)位置，振幅減小是相同的，且均為2mgm=k2´30´1000´1=3(cm)250´1000501=16L0.04(cm)<0.06cm3/50而故物體經(jīng)過(guò)16次彈簧原長(zhǎng)位置后，停止在該處右方。533 受迫振動(dòng)在周期性策動(dòng)外力作用下的振動(dòng)。例如：揚(yáng)聲器的發(fā)聲，機(jī)器及電機(jī)的運(yùn)轉(zhuǎn)引起的振動(dòng)。1、振動(dòng)模型及運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖5-3-5所示，為策動(dòng)外力作用下的振動(dòng)模型。其中，阻力R=-cv，為常見(jiàn)的粘性阻尼力。策動(dòng)力F=Hcospt，為簡(jiǎn)諧力時(shí)。由SF回=max，有max=Hcospt-cvx-kx化為

24、標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)式 ax+2nvx+wx=hcosptcw=n=2m式中 ，2kHh=m，mpt圖5-3-5物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺(tái)！高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程 第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波+=瞬態(tài)振動(dòng)靜態(tài)振動(dòng)受迫振動(dòng)（a ） （b） （c）圖5-3-6由微分方程理論可求得振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律（2）受迫振動(dòng)的特性在阻尼力較小的條件下，簡(jiǎn)諧策動(dòng)力引起的振動(dòng)規(guī)律如圖5-3-6所示。在這個(gè)受迫振動(dòng)過(guò)程由兩部分組成：一部分是按阻尼系統(tǒng)本身的固有頻率所作的衰減振動(dòng)，稱為瞬態(tài)振動(dòng)（圖（a）；另一部分按策動(dòng)力頻率所作的穩(wěn)定振動(dòng)（圖（b）。在實(shí)際問(wèn)題中，瞬態(tài)振動(dòng)很快消失，穩(wěn)態(tài)振動(dòng)顯得更

25、加重要。穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的頻率與系統(tǒng)本身的固有頻率無(wú)關(guān)，其振幅與初位相也不由初始條件確定，而與策動(dòng)頻率p密切相關(guān)。534、共振當(dāng)策動(dòng)力頻率p接近于系統(tǒng)的固有頻率w時(shí)受迫振動(dòng)振幅出現(xiàn)最大值的現(xiàn)象。 如圖5-3-7所示的一組曲線，描述了不同阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振幅A隨策動(dòng)力頻率p改變而引起的變化規(guī)律。由圖可見(jiàn)： 1、當(dāng)p接近w時(shí)振幅最大，出現(xiàn)共振。 2、阻尼越小，共振越大。3、p®0時(shí)，振幅就是靜力偏移，即 A0=4、p>>w時(shí)，振體由于慣性，來(lái)不及改變運(yùn)動(dòng)，處于 圖5-3-7靜止?fàn)顟B(tài)。§5.4 振動(dòng)的合成若一個(gè)物體同時(shí)受到兩個(gè)或幾個(gè)周期性策動(dòng)力的作用，在一般情況下其中一個(gè)力的存

26、在不會(huì)對(duì)另外一個(gè)力產(chǎn)生影響，這時(shí)物體的振動(dòng)就是它在各個(gè)策動(dòng)力單獨(dú)作用下產(chǎn)生的振動(dòng)相互疊加后的振動(dòng)，由各策動(dòng)力單獨(dú)產(chǎn)生的振動(dòng)來(lái)求它們疊加后的振動(dòng)，叫振動(dòng)的合成。5. 41、 同方向、同頻率兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成當(dāng)一個(gè)物體同時(shí)參與同方向的兩個(gè)振動(dòng)時(shí)，它在某一時(shí)刻的位移應(yīng)為同一時(shí)刻兩個(gè)振動(dòng)的位移的代數(shù)和。當(dāng)兩振動(dòng)的頻率相同時(shí)，設(shè)此兩振動(dòng)的位移分別為 Hk x1=A1cos(wt+j1)物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺(tái)！高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程 第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波x2=A2cos(wt+j2)則合振動(dòng)的位移應(yīng)為x=x1+x2=A1cos(wt+j1)+A2cos(

27、wt+j2)=A1coswtcosj1-A1sinwtsinj1+A2coswtcosj2-A2sinwtsinj2=(A1cosj1+A2cosj2)coswt-(A1sinj1+A2sinj2)sinwt=Acosjcoswt-Asinjsinwt=Acos(wt+j)上式中A=(A1cosj1+A2cosj2)2+(A1sinj1+A2sinj2)222(2-j1)+A2 =A1+2A1A2cosjtgj=A1sinj1+A2sinj2A1cosj1+A2cosj2根據(jù)以上結(jié)論，進(jìn)一步可以看到若j2-j1=0或2kp（k為整數(shù)），則cos(j2-j1)=1A=即合振動(dòng)的振幅達(dá)到最大值，此

28、時(shí)合振動(dòng)的初位相與分振動(dòng)的初位相同（或相差2kp） 若j2-j1=p或(2k+1)p 則 2A12+2A1A2+A2=A1+A2cos(j2-j1)=-12A=A12-2A1A2+A2=A1-A2即合振動(dòng)的振幅達(dá)到最小值。此時(shí)合振動(dòng)的初位相取決于A1和A2的大小。即當(dāng)A1>A2時(shí)，合振動(dòng)的初位相等于j1(j1+2kp)；當(dāng)A2>A1時(shí)，合振動(dòng)的初位相等于j2(或j2+2kp)；當(dāng)A2=A1時(shí)，則A=0，物體不會(huì)發(fā)生振動(dòng)。一般情況下，j2-j1可以任意值，合振動(dòng)的振幅A的取值范圍為A1+A2AA1-A25. 42、 同方向、頻率相近的兩振動(dòng)的合成設(shè)物體同時(shí)參與兩個(gè)不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，

29、例如x1=A1cosw1tx2=A2cosw2t為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們已設(shè)j2=j1=0，這只要適當(dāng)?shù)剡x取時(shí)間零點(diǎn)，是可以做到的。如果再設(shè)A1=A2=A，則合振動(dòng)物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺(tái)！高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程 第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波x=x1+x2=A(cosw1t+cosw2t) w-w2w+w2=2Acos1tcos1t22由于w1和w2相差不多，則有（w1+w2）比（w1-w2）大很多，由此，上一合振動(dòng)可以看成是振幅為2Acosw1-w22t（隨時(shí)間變化）。角頻w1+w22率為的振動(dòng)。這種振動(dòng)稱為“拍”。拍的位移時(shí)間圖像大致如圖5-4-1所示。

30、由圖可見(jiàn)，振幅的變化周期T¢為2Acosw1-w22t變化周期的一半，即 圖5-4-1122pT¢=××2p=2w1-w21-w2 1w-w2v¢=1=v1-v2T¢2p或拍頻為w¢=w1-w2543、同頻率相互垂直的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 當(dāng)一物體同時(shí)參與相互垂直的振動(dòng)時(shí)x=A1cos(wt+j1)y=A2cos(wt+j2)合振動(dòng)的軌跡在直角坐標(biāo)系中的方程為x2y22xy2+-cos(j-j)=sin(j2-j1)2122A1A2A12 （6-17） 當(dāng)j2-j1=2Kp時(shí)，(K=0,±1,±2LL)x2

31、y22xy+2-=0A12A2A12y=得 A2xA1 A2合成結(jié)果仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)（沿斜率為A1的直線作簡(jiǎn)諧振動(dòng)）。 當(dāng)j2-j1=(2K+1)p時(shí)，(K=0,±1,±2LL) x2y2+2=12A1A2物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺(tái)！高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程 第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波可見(jiàn)，當(dāng)j2-j1=p3或p22時(shí)，合振動(dòng)均為橢圓振動(dòng)，但兩者旋轉(zhuǎn)方向不同。§5.5機(jī)械波551、機(jī)械波機(jī)械振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播形成機(jī)械波，波傳遞的是振動(dòng)和能量，而介質(zhì)本身并不遷移。 自然界存在兩種簡(jiǎn)單的波：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向垂直時(shí)，稱為橫

32、波；與傳播方向一致時(shí)，叫縱波，具有切變彈性的介質(zhì)能傳播橫波；具有體變彈性的介質(zhì)可傳播縱波，固體液體中可以同時(shí)有橫波和縱波，而在氣體中一般就只有縱波存在了。在波動(dòng)中，波上相鄰兩個(gè)同相位質(zhì)點(diǎn)間的距離，叫做一個(gè)波長(zhǎng)，也就是質(zhì)點(diǎn)作一個(gè)全振動(dòng)時(shí)，振動(dòng)傳播的距離。由于波上任一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都在做受迫振動(dòng)，因此它們的振動(dòng)頻率都與振源的振動(dòng)頻率相等，也就是波的頻率，在波動(dòng)中，波長(zhǎng)l、頻率f與傳播速度v之間滿足v=lf=lT （1）注意：波速不同于振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，波速與傳播介質(zhì)的密度及彈性性質(zhì)有關(guān)。552、波動(dòng)方程如圖5-5-1所示，一列橫波以速度v沿x軸正方向傳播，設(shè)波源O點(diǎn)的振動(dòng)方程為： y=Acos(wt+j

33、0)在x軸上任意點(diǎn)P的振動(dòng)比O點(diǎn)滯后時(shí)間tp=xv，即xéùw(t-)+j0úêvû，當(dāng)O點(diǎn)相位為(wt+j0)時(shí)，P點(diǎn)的相位為ëlf=T，P點(diǎn)振動(dòng)方程為 由w=2pf，v=lf，xéùy=Acosêw(t-)+j0úvëû圖5-5-1這就是波動(dòng)方程，它可以描述平面簡(jiǎn)諧波的傳播方向上任意點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律。當(dāng)波向x軸負(fù)方向傳播時(shí)，（2）式只需改變v的正負(fù)號(hào)。由波動(dòng)方程，可以（1）求某定點(diǎn)x1處的運(yùn)動(dòng)規(guī)律l 2p2px=Acos(t+j0-)Tl =Acos(2pft-j0-2px)

34、物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺(tái)！高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程 第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波將x=x1代入式（6-14），得x2pt+j0-2p1)Tlw(t+j1) =Acos2px1j1=j0-l為x1質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相位。 其中y1=A （2）求兩點(diǎn)x1與x2的相位差將x=x2代入（2）式，得兩點(diǎn)x1、x2的相位差Dj=j1-j2=2px2-x1l若x2-x1=l2×2k(k為整數(shù)），則Dj=2kp，則該兩點(diǎn)同相，它們的位移和速度都相2為整數(shù)）同。若，則Dj=(2k+1)p，則該兩點(diǎn)相位相反，它們的位移和速度大小相同，速度方向剛好相反。球面波的波

35、動(dòng)方程與平面波相比，略有不同，對(duì)于球面波，其振幅隨傳播距離的增加而衰減，設(shè)離波源距離為r1處的振幅為A1，離波源距離為r2處的振幅為A2。則有 x2-x1=(2k+1)l(kA1r1=A2r2即振幅與傳播的距離成反比球面簡(jiǎn)諧波的方程為式中A是與波源的距離為一個(gè)單位長(zhǎng)度處的振幅。3、波的疊加和干涉 當(dāng)空間存在兩個(gè)（或兩個(gè)以上）振源發(fā)出的波時(shí)，空間任一點(diǎn)的擾動(dòng)是各個(gè)波在該點(diǎn)產(chǎn)生的擾動(dòng)的矢量和，這叫做波的疊加原理。當(dāng)有頻率相同、振動(dòng)方向相同的兩列波在空間疊加時(shí)，會(huì)出現(xiàn)某些地方振動(dòng)增強(qiáng)，某些地方振動(dòng)減弱的現(xiàn)象，叫做波的干涉，這樣的兩列波叫相干波。 圖5-5-2 y(r,t)=A2pcos(wt-r)r

36、l 設(shè)有兩列相干波自振源S1、S2發(fā)出，兩振源的位相相同，空間任一點(diǎn)P至S1的距離為r1，至S2的距離為r2（圖5-5-2），則兩列波在P點(diǎn)產(chǎn)生的振動(dòng)的相位差為Dj=2pr2-r1l物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺(tái)！高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程 第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波當(dāng)Dj=k×2p(k為整數(shù)），即當(dāng)波程差Dr=r2-r1=2k×l2時(shí)，P點(diǎn)的合振動(dòng)加強(qiáng)；當(dāng)Dj=(2k+1)p，即當(dāng)波程差Dr=r2-r1=(2k+1)l2時(shí)，P點(diǎn)的合振動(dòng)減弱，可見(jiàn)P點(diǎn)振動(dòng)的強(qiáng)弱由波程差Dr=r2-r1決定，是P點(diǎn)位置的函數(shù)。 總之，當(dāng)某一點(diǎn)距離兩同位相波

37、源的波程差等于零或者是波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí)，該點(diǎn)振動(dòng)的合振幅最大，即其振動(dòng)總是加強(qiáng)的；當(dāng)某一點(diǎn)距離兩同位波源的波程差等于半波長(zhǎng)或半波長(zhǎng)的奇數(shù)倍時(shí)，該點(diǎn)振動(dòng)的合振幅最小，即其振動(dòng)總是削弱的。4、波的反射、折射和衍射當(dāng)波在傳播過(guò)程中遇到的兩種介質(zhì)的交界面時(shí)，一部分返回原介質(zhì)中，稱為反射波；另一部分將透入第二種介質(zhì)繼續(xù)傳播，稱為折射波，入射波的傳播方向與交界面的法線成圖5-5-3i角，（i叫入射角），反射波的傳播方向與交界面的法線成i¢角（i¢叫反射角）。折射波的傳播方向與法線成g角（g叫折射角），如圖5-5-3，則有i=i¢sinic1=sinrc2式中c1為波在入射介質(zhì)中

38、的傳播速度，c2為波在折射 圖5-5-4介質(zhì)中的傳播速度，（1）式稱為波的反射定律，（2）式稱為波的折射定律。弦上的波在線密度不同的兩種弦的連結(jié)點(diǎn)處要發(fā)生反射，反射的波形有所不同。設(shè)弦上有一向上脈沖波，如圖5-5-4，傳到自由端以后反射，自由端可看成新的振源，振動(dòng)得以繼續(xù)延續(xù)下去，故反身波仍為向上的脈沖波，只是波形左右顛倒。當(dāng)弦上有向上脈沖波經(jīng)固定端反射時(shí)，固定端也可看成新的“振源”，由牛頓第三定律，固定端對(duì)弦的作用力方向與原脈沖對(duì)固定端的作用力方向相反，故反射脈沖向下，即波形不僅左、右顛倒，圖5-5-5上、下也顛倒，這時(shí)反射波可看成入射波反向延伸的負(fù)值（如圖5-5-5），將周期波看成一系列連

39、續(xù)脈沖，周期波經(jīng)自由端或固定端的反射也可由此得出。波在傳播過(guò)程中遇到障礙物時(shí)，偏離原來(lái)的傳播方向，傳到障礙物“陰影”區(qū)域的現(xiàn)象物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺(tái)！高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程 第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波叫波的衍射。當(dāng)障礙物或孔的尺寸比波長(zhǎng)小，或者跟波長(zhǎng)相差不多時(shí)，衍射現(xiàn)象比較明顯；當(dāng)障礙物或孔的尺寸比波長(zhǎng)大的時(shí)候，衍射現(xiàn)象仍然存在，只是發(fā)生衍射的部分跟直進(jìn)部分相比，范圍較小，強(qiáng)度很弱，不夠明顯而已。此外，在障礙物或小孔尺寸一定的情況下，波長(zhǎng)越長(zhǎng)，衍射現(xiàn)象越明顯。565、駐波駐波是頻率相同、振幅相同、振動(dòng)方向一致、傳播方向相反的兩列簡(jiǎn)諧波疊加的結(jié)果，

40、如圖6-5-6，設(shè)弦上傳遞的是連續(xù)的周期波，波源的振動(dòng)方程為y0=Acoswt向左傳播的入射波表達(dá)式為y1=Acos(wt+2plx) 考慮到入射波和反射波在連接點(diǎn)的振動(dòng)相位相反，即入射波在反射時(shí)產(chǎn)生了p的相位突變，故反射波在反射點(diǎn)的相位為反射波在原點(diǎn)P的相位為因而，反射波的波動(dòng)方程為 5l設(shè)波源到固定端的距離為4，則入射波傳到反射點(diǎn)時(shí)的相位為 2p2p55wt+x=wt-(-l)=wt-pll42 wt-p-p=wt-p725272wt-p-p=wt-6p2p52 y2=Acos(wt-6p-合成波為： lx)=Acos(wt-2plx)y=y1+y2=Acos(wt+2pl x)+Acos

41、(wt-2plx)2p=2Acosx)coswt l2A合成波的振幅為腹的位置為 2plx)與x有 關(guān)，振幅最大處為波腹，振幅最小處為波節(jié)。波2plx=kp物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺(tái)！高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程 第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波2k=0,±1,±2LL如圖5-6-6中的D、即E、F等處。波節(jié)的位置為x=k×l1x=(k+)pl21lx=(k+)22 即k=0,±1,±2LL如圖5-5-7中的O、A、B等處。 相鄰兩波節(jié)（或波腹）之間的間2p圖5-5-6l距為2。不同時(shí)刻駐波的波形如圖5-6-7所

42、示，其中實(shí)線表示t=0、T、2T時(shí)的波形；點(diǎn)線表示t=1T2、3T2時(shí)的波形；點(diǎn)劃線表示19t=TT8、8時(shí)的波形。圖5-5-7556、多普勒效應(yīng)站在鐵路旁邊聽(tīng)到車的汽笛聲，發(fā)現(xiàn)當(dāng)列車迎面而來(lái)時(shí)音調(diào)較靜止時(shí)為高，而列車迅速離去時(shí)音調(diào)較靜止時(shí)為低，此外，若聲源靜止而觀察者運(yùn)動(dòng)，或者聲源和觀察者都運(yùn)動(dòng)，也會(huì)發(fā)生收聽(tīng)頻率和聲源頻率不一致的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)。下面分別探討各種情況下多普勒頻移的公式：（1）波源靜止觀察者運(yùn)動(dòng)情形 如圖5-5-8所示，靜止點(diǎn)波源發(fā)出的球面波波面是同心的，若觀察者以速度vD趨向或離開(kāi)波源，則波動(dòng)相對(duì)于觀察者的傳播速度變?yōu)閏¢=c+vD或c¢=c

43、-vD，于是觀察者感受到的頻率為從而它與波源頻率f之比為f¢=c¢l=c±vDl圖5-5-8物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺(tái)！高中物理競(jìng)賽力學(xué)教程 第五講 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波f¢c±vD=fc（2）波源運(yùn)動(dòng)觀察者靜止情形若波源以速度vS運(yùn)動(dòng)，它發(fā)出的球面波不再同心。圖5-5-9所示兩圓分別是時(shí)間相隔一個(gè)周期T的兩個(gè)波面。它們中心之間的距離為vST，從而對(duì)于迎面而來(lái)或背離而去的觀察者來(lái)說(shuō)，有效的波長(zhǎng)為l¢=l+vsTl¢¢=lmvST=(cmvS)T觀察者感受到的頻率為 cccf=l¢¢(cmvS)TcmvS因而它與波源頻率f之比為 f¢=圖5-5-9 f¢c=fcmvS（3）波源和觀察者都運(yùn)動(dòng)的情形此處只考慮波的傳播方向、波