淺談數(shù)學(xué)之美20356

1、淺談數(shù)學(xué)之美【摘要】數(shù)學(xué)美是自然美的客觀反映，是科學(xué)美的核心。“那里有數(shù)學(xué)，哪里就有美”，數(shù)學(xué)美不是什么虛無縹緲、不可捉摸的東西，而是有其確定的客觀內(nèi)容。數(shù)學(xué)美的內(nèi)容是豐富的，如數(shù)學(xué)概念的簡單性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對稱性，數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性和普遍性，還有數(shù)學(xué)中的奇異性等，都是數(shù)學(xué)美的具體內(nèi)容。本文主要圍繞數(shù)學(xué)美的三個特征：簡潔性、和諧性和奇異性進行闡述。【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)美，美學(xué)特征 數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式是多種多樣的，從外在形象上看：她有體系之美、概念之美、公式之美；從思維方式上看：她有簡約之美、無限之美、抽象之美、類比之美；從美學(xué)原理上看：她有對稱之美、和諧之美、奇異之

2、美等。此外，數(shù)學(xué)還有著完美的符號語言、特有的抽象藝術(shù)、嚴(yán)密的邏輯體系、永恒的創(chuàng)新動力等特點。但這些都離不開數(shù)學(xué)美的三大特征，即：簡潔性、和諧性和奇異性。1簡潔性是數(shù)學(xué)美的首要特點愛因斯坦說：“美，本質(zhì)上終究是簡單性”，“只有既樸實清秀，又底蘊深厚，才稱得上至美”。簡潔本身就是一種美，而數(shù)學(xué)的首要特點在于它的簡潔性。數(shù)學(xué)中的基本概念、理論和公式所呈現(xiàn)的簡單性就是一種實實在在的簡潔美。數(shù)學(xué)家莫德爾說過：“在數(shù)學(xué)里美的各個屬性中，首先要推崇的大概是簡單性了”。數(shù)學(xué)的簡潔性在人們生活中屢見不鮮：錢幣只須有一分、二分、五分、一角、二角、五角、一元、二元、五元、十元就可簡單的構(gòu)成任何數(shù)目的款項；圓的周長公

3、式：C=2R，就是“簡潔美”的典范，它概括了所有圓形的共同特性； 把一億寫成l08，把千萬分之一寫成10-7；二進制在計算機領(lǐng)域的應(yīng)用化繁為簡，化難為易，力求簡潔、直觀。數(shù)學(xué)不僅僅是在運算上要求這樣，論證說明也更是如此。顯然，數(shù)學(xué)的公式與公理就是簡潔美的最佳證據(jù)之一。 1.1簡潔性之一：符號美實現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔性的重要手段是使用了數(shù)學(xué)符號。符號對于數(shù)學(xué)的發(fā)展來講是極為重要的，它可使人們擺脫數(shù)學(xué)自身的抽象與約束，集中精力于主要環(huán)節(jié)，沒有符號去表示數(shù)及其運算，數(shù)學(xué)的發(fā)展是不可想象的。幾乎每一個數(shù)學(xué)分支都是靠一種符號語言而生存的，數(shù)學(xué)符號是貫穿于數(shù)學(xué)全部的支柱。然而，數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生、使用和流傳卻經(jīng)歷了一

4、個十分漫長的過程。這個過程的始終貫穿著自然、和諧與美。如用表示圓周率，用e表示歐拉常數(shù)，用、等表示無限不循環(huán)的數(shù)，虛數(shù)單位用符號i表示等等。當(dāng)然數(shù)學(xué)中還有許多符號，這些符號均有其獨特含義，使用它們不僅方便而且簡潔，比如“！”表示階乘，“”表示求積，“”表示求和，“”表示求積分。此外，圖形符號：點、線、面、體的產(chǎn)生正是人們對客觀事物的抽象和概括。1.2簡潔性之二：抽象美數(shù)學(xué)的簡潔性在很大的程度上源自數(shù)學(xué)的抽象性，換句話說：數(shù)學(xué)概念正是從眾多事物共同屬性中抽象出來的。抽象包含兩層意思：（1）不容易想象的；（2）無法體驗到的。前者，是用數(shù)學(xué)去“證明”某些難以理解的事實；后者，說明數(shù)學(xué)本身具有的特征與

5、魅力。比如，下圖中有一個大的半圓，在其直徑上又并列著三個小半圓，請問大的半圓周長與三個小半圓周長之和誰大？初看，似難判斷，具體一推算便十分清楚了。設(shè)大圓直徑為，三個小半圓直徑分別為、和，因，所以，即大半圓的周長為三個小半圓的周長之和（其實, 不論有多少個小半圓, 都有相同的結(jié)論）。此外，有些數(shù)字看來也許并不起眼，然而它表示的數(shù)據(jù)之大幾乎讓人感到吃驚!據(jù)夢溪筆談記載，唐代高僧曾計算過圍棋中不同布局的總局?jǐn)?shù)：棋盤有橫、豎直線各條，它們的交點有個，每點處可放白子、也可放黑子、還可空著不放子，這樣每點處均有三種不同布局，則所有可能布局有(種)。這些總布局若讓每秒可做億次運算的大型高速計算機去運作（姑且

6、認(rèn)為它每秒鐘可完成億個布局），三臺計算機每年可完成種布局，那么它們完成全部布局約須年，這個數(shù)比太陽系的壽命億年要大得多。把一張厚度為mm的紙，對折30次后，其厚度為，這比珠穆朗瑪峰的高度m要高得多。另外，多米諾骨牌，蒼蠅的繁殖，象棋棋盤擺麥子等問題無不反映了數(shù)學(xué)中的抽象美。1.3簡潔性之三：統(tǒng)一美統(tǒng)一性是指部分與部分、部分與整體、整體與整體之間的和諧、協(xié)調(diào)。表現(xiàn)為各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的協(xié)調(diào)一致，各種數(shù)學(xué)方法的融會貫通，各種數(shù)學(xué)分支之間的互相滲透和促進等等。笛卡兒通過解析幾何把幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)統(tǒng)一起來了。高斯從曲率的觀點把歐幾里得幾何、羅巴契夫斯基幾何和黎曼幾何統(tǒng)一起來了。克萊因用變換群的觀點統(tǒng)一

7、了十九世紀(jì)發(fā)展起來的各種幾何學(xué)。平面幾何中的相交弦定理、切割線定理、割線定理、切線長定理都可統(tǒng)一于圓冪定理中；三角形、平行四邊形、梯形面積公式可統(tǒng)一于公式：；柱、錐、臺、球的體積公式可統(tǒng)一于“萬能體積公式”：；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)一為有理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)一在實數(shù)內(nèi)，而復(fù)數(shù)又包含著實數(shù)與虛數(shù)；全部二次曲線橢圓、拋物線、雙曲線都統(tǒng)一在圓錐里，即它們都可以通過不同平面去截圓錐面而得到，這就是一種統(tǒng)一美。 從上面可以看到，統(tǒng)一不僅是數(shù)學(xué)美的重要特征，同時它也是數(shù)學(xué)本質(zhì)的一種反映。2和諧性是數(shù)學(xué)美的追求準(zhǔn)則在數(shù)學(xué)中，畢達哥拉斯首先提出“美是和諧與比例”，“世界是嚴(yán)整的宇宙”，“整個天體就是和諧與數(shù)”。美與和

8、諧是他們追求數(shù)學(xué)美的準(zhǔn)則，也是他們建立數(shù)學(xué)理論的依據(jù)。2.1和諧性之一：和諧美和諧即雅致、嚴(yán)謹(jǐn)或形式結(jié)構(gòu)的無矛盾性。數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)自然流露出它的和諧，為了追求嚴(yán)謹(jǐn)、追求和諧，數(shù)學(xué)家們一直在努力，以消除其中的不和諧東西。比如，1、2、3、4、5、6、7這幾個數(shù)字，代表不同的音階，就能譜出優(yōu)美動人和諧的曲調(diào)，讓世人在音樂中陶醉。 歐拉公式：，曾獲得“最美的數(shù)學(xué)定理”稱號。歐拉建立了在他那個時代，數(shù)學(xué)中最重要的幾個常數(shù)之間絕妙有趣的聯(lián)系，包容得如此協(xié)調(diào)有序。與歐拉公式有關(guān)的棣美弗歐拉公式是。這個公式把人們以為沒有什么共同性的兩大類函數(shù)：三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)緊密地結(jié)合起來了，由他們的結(jié)合能派生出許多美的、有

9、用的結(jié)論來。由公式得：。由這兩個公式，可把三角函數(shù)的定義域擴展到復(fù)數(shù)域上去。 幾何中的和諧美也到處可見，簡單的點、線段、三角形、矩形、正方形，就能構(gòu)造出美麗的圖案，平面的，立體的，讓人美不勝收。著名的黃金分割比=0.61803398是和諧美的典型。當(dāng)矩形的寬與長之比是黃金分割比時，圖形最和諧悅目，在正五邊形中，邊長與對角線長的比是黃金分割比；維納斯的身材比是黃金分割比；報幕員在舞臺上的最佳位置是舞臺寬度的0.618處；公交車最安全的位置是車長的0.618處。黃金分割比在許多藝術(shù)作品中、建筑設(shè)計中都有廣泛的應(yīng)用。達·芬奇稱黃金分割比為“神圣比例”。2.2和諧性之二：對稱美對稱通常指圖形

10、或物體對某個點、直線或平面而言，在大小形狀和排列上具有一一對應(yīng)關(guān)系。在數(shù)學(xué)中，對稱的概念略有拓廣，這樣對稱美便成了數(shù)學(xué)美中的一個重要組成部分。對稱在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)是普遍的：軸對稱、中心對稱、對稱多項式、正（+）與負(fù)（-）、加法與減法、乘法與除法、正比與反比，函數(shù)與反函數(shù)圖像的關(guān)系，線性方程組的矩陣表示等?！耙磺辛Ⅲw圖形中，最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形”。因為這兩種形體在各個方向上都是對稱的。圓是關(guān)于圓心對稱的，也是關(guān)于過圓心的任一條直線對稱的。球形既是點對稱，又是線對稱，還是面對稱的。此外，象正多邊形、正多面體、旋轉(zhuǎn)體和圓錐曲線等都給人以完善、對稱的美感。正是由于這些點對稱、線對稱、

11、面對稱，才構(gòu)成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界。 2.3和諧性之三：形式美數(shù)學(xué)家們十分注重數(shù)學(xué)的形式美，盡管有時他們含義更加深邃，比如整齊簡練的數(shù)學(xué)方程可以看成一種形式美，這是與自然規(guī)律的外在表述有關(guān)的一種形式美。尋求一種最適合表現(xiàn)自然規(guī)律的方法是對科學(xué)理論形式美的追求。如多角數(shù)問題，畢達哥拉斯學(xué)派的人們非常注意數(shù)的形式美，他們把數(shù)按照可用石子擺成的形狀來分類，像三角數(shù)、四角數(shù)、五角數(shù)、六角數(shù)。他們發(fā)現(xiàn)：每個四角數(shù)是兩個相繼的三角數(shù)之和：；第個三角數(shù)與第個角數(shù)之和為第個角數(shù)： ；后來的數(shù)學(xué)家們，也一直關(guān)注著這種數(shù)學(xué)形式美，且從中不斷地有所發(fā)現(xiàn)。再如幻方問題，這是一種神奇的數(shù)學(xué)游戲，

12、也是人們追求的數(shù)字形式美的紀(jì)錄。此外，數(shù)與形的結(jié)合，歷來就為數(shù)學(xué)家們所推崇，形的直觀?？梢越o出數(shù)的性質(zhì)以最生動的說明。反之，數(shù)的簡練又常使圖形中某此難以表達的性質(zhì)得以展現(xiàn)。解析幾何學(xué)的建立，正是這種結(jié)合的最好例子。它的誕生也是人們追求的另一種美感形式美的結(jié)果。3奇異性是數(shù)學(xué)美的魅力所在奇異性是數(shù)學(xué)美的一個重要特性。奇異性包括兩個方面內(nèi)容：一是奇妙，二是變異。數(shù)學(xué)中的不少結(jié)論、解題方法巧妙無比，反例出人意料，令人叫絕，正是因為這一點，數(shù)學(xué)才有無窮的魅力。變異是指數(shù)學(xué)理論拓廣或統(tǒng)一性遭到破壞后，產(chǎn)生新方法、新思想、新概念、新理論的起點。變異有悖于人們的想象與期望，因此就更引起人們的關(guān)注與好奇。數(shù)學(xué)

13、中許多新的分支的誕生，都是人們對于數(shù)學(xué)奇異性探討的結(jié)果。在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，往往正是數(shù)學(xué)自身奇異性的魅力，吸引著數(shù)學(xué)家向更新、更深的層次探索。歷史上曾有過蒲豐用投針求解圓周率的近似值的奇特實驗。計算的這一方法，不但因其新穎、奇妙而讓人叫絕，而且開創(chuàng)了用偶然性方法去作確定性計算的前導(dǎo)，充分顯示了數(shù)學(xué)方法的奇異美。正像著名數(shù)學(xué)家徐利治教授所說“奇異是一種美，奇異到極度更是一種美”。 下面的兩個事實也耐人琢磨、耐人尋味：方程有無數(shù)組有理解，但卻沒有有理解；方程有無數(shù)組有理解，但卻沒有有理解。它們看上去相差無幾，但結(jié)果是“差之毫厘，謬之千里”！再如，數(shù)值計算經(jīng)常會產(chǎn)生一些奇異而美妙的結(jié)果：3×4

14、1233×341122333×3341112223333×333411112222 這一系列美妙的結(jié)果顯示了一種規(guī)律：個3構(gòu)成的數(shù)與其直接后繼的積是一個2位數(shù)，其前位為，后位為2。再來讓我們欣賞一組奇異的乘法等式金子塔：1×1111×11121111×111123211111×1111123432111111×11111123454321111111×1111111×11111111×111111111×這種例子舉不勝舉，數(shù)學(xué)美的奇異性是客觀物質(zhì)世界奇特性的反映。奇異的結(jié)果，很容易激發(fā)人的學(xué)習(xí)熱情，會使人感到興奮，受到吸引，產(chǎn)生美感，精彩之處能使人心靈震撼、心蕩神馳。總言之，數(shù)學(xué)之美，還可以從更多的角