比較用高斯定理和庫(kù)侖定律求解靜電場(chǎng)的優(yōu)劣

1、電磁場(chǎng)研究性課題報(bào)告研究題目：比較用高斯定理和庫(kù)侖定律求解靜電場(chǎng)的優(yōu)劣。1.應(yīng)用庫(kù)侖定律求解靜電場(chǎng)庫(kù)倫定律是靜電現(xiàn)象的基本實(shí)驗(yàn)定律，它表述為：真空中靜止點(diǎn)電荷Q對(duì)另一靜止點(diǎn)電荷Q的作用力是8.854×10-12法米，為Q到Q的矢量，兩個(gè)電荷之間的作用是通過(guò)電場(chǎng)來(lái)傳遞的，所謂電場(chǎng)是一個(gè)電荷Q周?chē)臻g存在著的一種特殊物質(zhì)，另一電荷Q處于該窄間內(nèi)就受其作力由庫(kù)倫定律可知，Q所受的力與Q成正比，我們一個(gè)正的單位試驗(yàn)電荷在電場(chǎng)中所受的力來(lái)定義試驗(yàn)電荷所在點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E。假若空問(wèn)有多個(gè)點(diǎn)電荷，它們對(duì)電荷Q，的作用力經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)證明符合線性疊加原理：是電荷到矢量于是得到總電場(chǎng)E也其有疊加性：如果電荷是

2、連續(xù)分布于區(qū)域V內(nèi)如圖1，在V內(nèi)某點(diǎn)P取體積元dV該處電荷密度為,dV所含電荷為，由r到觀察點(diǎn)P的矢量為R，R=r-r,則P處電場(chǎng)強(qiáng)度為所以，依據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)主要分為兩類(lèi)：第一類(lèi)為點(diǎn)電荷體系其表述為空間中有N個(gè)帶電體，每一個(gè)帶電體自身的限度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于到所討論場(chǎng)點(diǎn)的距離，每一個(gè)帶電體都可以看成點(diǎn)電荷，這些點(diǎn)電荷的集合(相對(duì)于所討論的場(chǎng)點(diǎn))構(gòu)成一點(diǎn)電荷體系該點(diǎn)電荷體系在所討論的場(chǎng)點(diǎn)單獨(dú)存在時(shí)，所激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和為該點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)：。第二類(lèi)為電荷連續(xù)分布，帶電體相對(duì)于所討論的場(chǎng)點(diǎn)已不能看成點(diǎn)電荷，但是每一個(gè)帶電體可以看成由無(wú)數(shù)微元一一點(diǎn)電荷(相對(duì)于場(chǎng)點(diǎn))疊加而成該微元所帶電量為dq，產(chǎn)生電場(chǎng)，該

3、帶電體在場(chǎng)點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為。舉例分析：無(wú)限大平面均勻帶電，電荷面密度為。試求它在空問(wèn)產(chǎn)生的電場(chǎng)。解：分兩步。先用電場(chǎng)迭加原理求出無(wú)限長(zhǎng)直均勻帶電線產(chǎn)生的電場(chǎng)。假定線電荷密度為。設(shè)置直角坐標(biāo)系，使z軸與無(wú)限長(zhǎng)直帶電線重合(圖2)。不失一般性，我們?cè)趛軸上選擇場(chǎng)點(diǎn)P。在之間取一電荷元，它在P點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)考慮方向性以及電場(chǎng)迭加原理有代入以矢量形式表示當(dāng)P點(diǎn)不固定于y軸，那么(5)再將無(wú)限大均勻帶電平面分割，看成是由無(wú)限多無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的集合。無(wú)限大均勻帶電平面放置在xoy平面，在處取一無(wú)限狹窄長(zhǎng)條(圖3)。根據(jù)(5)式，可知該長(zhǎng)條在z軸上的P點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)。寫(xiě)成矢量形式，可表示為兩個(gè)分量。一個(gè)分量沿z軸，另

4、一個(gè)電場(chǎng)垂直于=軸。考慮電場(chǎng)的迭加原理，對(duì)稱(chēng)性使垂直于z軸的分量消失，只留下沿z軸方向的分量寫(xiě)成矢量式(6)式中的P點(diǎn)不一定局限于z軸上。2.應(yīng)用高斯定理求解靜電場(chǎng)應(yīng)用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)分布的關(guān)鍵是分析對(duì)稱(chēng)性，選擇合適的高斯面。高斯定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：這里S是任意形狀的閉合曲面，q是S所包圍的電荷的代數(shù)和。一般情況下，用上式不能把電場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E確定下來(lái)，但當(dāng)激發(fā)電場(chǎng)的電荷分布具有某種特殊的對(duì)稱(chēng)性，從而周?chē)妶?chǎng)的分布也具有相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)性時(shí)，可用高斯定理可求場(chǎng)強(qiáng)分布，而且比用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理要簡(jiǎn)便得多。因?yàn)殡妶?chǎng)具有對(duì)稱(chēng)分布時(shí)，可選取適當(dāng)?shù)母咚姑?，使面上E的大小相等，0為定值，便于將E從積分號(hào)內(nèi)提出，使計(jì)

5、算簡(jiǎn)化。因此應(yīng)用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)分布的關(guān)鍵，首先在于分析電荷和電場(chǎng)分布的對(duì)稱(chēng)性。一般可以分為兩種情況：電荷分布在有限大小的物體上，但該物體具有某種對(duì)稱(chēng)性；電荷分布具有無(wú)限大、無(wú)限長(zhǎng)的特點(diǎn)，或經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化處理后可視為無(wú)限大、無(wú)限長(zhǎng)的分布。用高斯定理解前面列題。解：無(wú)限大均勻帶電平面放置在z=0處，如圖6。取柱體表面作為高斯面，其側(cè)面與帶電平面垂直。兩底面與帶電平面平行，且關(guān)于帶電平面對(duì)稱(chēng)。又z>0z<0寫(xiě)成矢量式比較分析：（一）由庫(kù)侖定律拓展的電場(chǎng)疊加原理是最基本的方法。無(wú)論電荷分布是否均勻，或者帶電體形狀是否規(guī)則、對(duì)稱(chēng)電場(chǎng)原理法原則上都是適用的。電場(chǎng)疊加法關(guān)鍵在于微元所帶電量dq的選取微

6、元的取法可以分為三種情況：電荷的體模型，定義出電荷的體密度，電量；電荷的面模型，定義出電荷的面密度，電量；電荷的線模型，定義出電荷的線密度，電量。這種方法反映了基本的物理思想，起到基礎(chǔ)的作用，應(yīng)用范圍最為廣泛，原則上可以計(jì)算任何電荷分布已知的靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)，但由于上式是矢量積分，實(shí)際計(jì)算的問(wèn)題一般具有一定的對(duì)稱(chēng)性，從而簡(jiǎn)化了求解的難度。（二）高斯定理法適用范圍較為狹窄。若高斯定理能夠適用，電荷空間分布要求有嚴(yán)格高度的對(duì)稱(chēng)性，從而使所做高斯面也具有高度對(duì)稱(chēng)性，高斯面上場(chǎng)強(qiáng)分布具有高度的對(duì)稱(chēng)性。對(duì)稱(chēng)性的前提以電荷空間分布的對(duì)稱(chēng)性為前提，這種電荷的空間分布對(duì)稱(chēng)性主要有以下三種情況：(1)電荷具有均勻的軸對(duì)稱(chēng)空間分布，(2)電荷具有均勻的面對(duì)稱(chēng)空間分布，(3)電荷具有均勻的球?qū)ΨQ(chēng)空間分布。帶電體形狀和帶電體分布必須呈高度對(duì)稱(chēng)性，但這只是必要條件而非充分條件。例如，對(duì)于立方體每個(gè)角置有等量電荷這樣的簡(jiǎn)單問(wèn)題，高斯定理法就無(wú)能為力。而且高斯面不能就選在體表面處或電介質(zhì)的表面處。因?yàn)閷?dǎo)體表面上有電荷分布，高斯面如果與導(dǎo)體表面重合，則無(wú)法確定這些電荷是處于高斯面內(nèi)還是處于面外，因而無(wú)法計(jì)算。若所討論的場(chǎng)點(diǎn)位于電介質(zhì)內(nèi)，高斯定理轉(zhuǎn)化為，式中為面內(nèi)自由電荷的代數(shù)和，上式稱(chēng)有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理。利用電介質(zhì)的性能方程可求出場(chǎng)強(qiáng)。如果高斯定理有效其步驟往往十分簡(jiǎn)捷。參考文獻(xiàn)：1 張麗萍應(yīng)用高