北京市海淀區(qū)2019-2020學年度第一學期期中考試高三數(shù)學試題(含答案解析)

1、第3頁共4頁海淀區(qū)高三年級第一學期期中練習數(shù)學2019. 11本試卷共4頁，150分。考試時長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}紙上，在試卷上 作答無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分(選擇題共4。分)一.選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目 要求的一項。(1)已知第合2 =卜卜+ 1<05 =k,2。,若幺UB = R,則實數(shù)a的值可以為(A) 2(B) 1(C) 0(D) -2(2)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+ 8)上不是單調函數(shù)的是(A) y = x(B) y = x2(C) y = x + 4x(D) y = |x-l|(3)

2、已知等差數(shù)列4的前n項和為S“，若且生WO,則包=S358(A) 1(B) -(C) -(D) 333(4)不等式工>1成立的一個充分不必要條件是X(A) 0< x<(B) x > 1(C) 0 < x <1(D) x<02(5)- sia(-+a) 點P的橫坐標為5,則 2 的值為3 (b)M如圖，角。以°工為始邊，它的始邊與單位畫。相交于點P,4(C) 54(D)與 3| CD |(6)在四邊形ABCD中，ABCD,設就二人獲+1i而仇，p£R),若入十.一，貝J 2 AB(A) |(B) |(C)l(D)2(7)已知函數(shù)f (

3、xhx'+x?-2|x|-k.若存在實數(shù)內使得f (-Xo)=-f(xo)成立，則實數(shù)k的 取值范圍是(A) T,+8)(B) (-8, -1(C) 0, +co)(D) (-8, 0(1, iEA(8)設集合A是集合N*的子奧，對于ieN*,定義/(A)=給出下列三個結論：0/ igA存在N*的兩個不同子集A,B,使得任意i£ N*都滿足(MACB)=O且6(AU B)=l;任取N*的兩個不同子集A,B,使得任意i£ N*都有(MACB)= 6(A). (B);任取N*的兩個不同子集A,B,使得任意i£N*都有<t>i(AUB)=MA)+ 6

4、(B).其中，所有正確結論的序號是(A) ®®(B)(C) (D)魏第二部分(非選擇題共11。分)二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。(9)已知向量。=(1,2),3 = (3"),且a&,則 t=o(10)函數(shù)f(x)= x_J，_6的零點個數(shù)為。(11)已知數(shù)列qj 的前 n 項和% = log2，則, %+% +。7+。3 =(12)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，從A,B,C,D四點中任取兩個點作為向量b的始點和終點，則a+的最大值為(13)已知數(shù)列的通項公式為與=山.若存在五使得對任意的 eN* 都成立，則p的取值范圍為。(14)已知函數(shù)

5、，0) = 加5出3羽80)=石。050工，其中ARC是這兩個函數(shù)的交點，且不共線。 當3 = 1時，NB。面積的最小值為； 若存在ZBC是等腰三角形，則。的最小值為。三、解答題共6小題，共80分。解答應與出文字說明、演算步驟或證明過程。(1S)(本小題滿分13分)已知數(shù)列冊為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，工為其前n項和， 。2 = 3 , % += 36(1)求數(shù)列an)的通項公式；若S/ < 121 ,求n的最大值(16)(本小題滿分13分)已知函數(shù) /(x)= 2siiixcos式IX4- +I 3；求函數(shù)/(工)的最小正周期;(2)若 f(x) ” W 0 對 x e 0,恒成立，求實

6、數(shù)m的取值范國(17)(本小題滿分13分)已知函數(shù)/(9=1+:+笈+*曲線'=f(x)在點(0, f(0)處的切線方程為y=x+l求b, c的值；若函數(shù)/(%)存在極大值，求a的取值范圍(18)(本小題滿分13分)在AABC 中，a = 7, b=5, c=8.求sinA的值4P(2)若點P為射線AB上的一個動點(與點A不重合)，設=kjPC,求k的取值范；jp直接寫出一個k的值，滿足:存在兩個不同位置的點P,使得忙=上PC(四(本小題滿分14分)已知函數(shù)/(%)=華 e判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0, 1)上的單調性，并說明理由;求證:(20)(本小題滿分14分)已知第合M q N*

7、,且M中的元素個數(shù)n大于等于5.若集合M中存在四個不同的元素a,b, c, d,使得a+b=c+d,則稱集合M是“關聯(lián)的“，并稱集合a, b, c, d是集合M的“關 聯(lián)子集”;若集合M不存在關聯(lián)子集，則稱集合M是“獨立的”，分別判斷集合(2, 4, 6, 8, 10和1, 2, 3, 5, 8是"關聯(lián)的"還是“獨立的”?若是“關聯(lián)的"，寫出其所有的“關聯(lián)子集”；(11)已知集合%,。2,03，4,05是"關聯(lián)的"，且任取集合L，%qM,總存在M的“關聯(lián)子集"A，使得 % 是 Z .若V 42 V。4 。5，求證:2M3,。4，。5

8、是等差數(shù)列2(III)若集合M是“獨立的，求證;存在xeM,使得,心+94笫4頁共4頁海淀區(qū)高三年級第一學期期中練習參考答案數(shù)學 2019.11閱卷須知：1 .評分參考中所注分數(shù)，表示考生正確做到此步應得的累加分數(shù)。2 .其它正確解法可以參照評分標準按相應步驟給分。一、選擇題：本大題共8小題，母小題5分，共40分.題號12345678答案DDCABBAA二、填空題:本大題共6小題，每小題5分，共30分.題號91011121314答案610； 13ln3 、 , 3)2力- 2說明:第11, 14題第一空3分，第二空2分三、解答題：本大題共6小題，共80分.15.解：（I ）在等比數(shù)列4中，設/

9、公比為個因為的=3, 4 + % = 36,所以卜g： 3,2分。國+4道=36.所以%+ 3k=36.即豕+0-12 = 0.貝ijq = 3或q = 4.4分 因為4 >0,所以q>0,5分8分所以q=3.因為=3, 所以%=1.所以數(shù)列,的通項公式4=在廣】=31 .7/8(II)在等比數(shù)列%中,因為s 二駕二心(夕工1),所以S = ；(3f.io分11分因為S, <121,n所以 S，=：(3'l)vl2L 2所以3'<243.12分所以04.即的最大值為4.13分16.解：(I )因為7(x) = 2sinxcos(x+g)+日=2sinx(

10、cosxcossiiixsiii) + - 3321分= 2sinX|cosx-fsi11x) + 4= sinxcosxVJ siii2x+ 22分= -sin2x + 一cos2x22= sm(2x+-).7 分327t所以/(x)的最小正周期為7 = = 7C.9分24T(II) “/("+加<0對恒成立”等價于“f(x)3x + 200”. 10分7T因為，TT 7T 47r所以2.丫 +六2三.11分J J J當2x +二=四，即工=2時， 32127F/（X）的最大值為/（） = 1.12分所以 1 + ?<0,所以實數(shù)稗的取值范圍為（，413分17.解：（I

11、） fx）=ax2 +2x+d ,2 分因為/（x）在點（0, 7（0）處的切線方程為=、+1,/ ,（0） = 1,所以y 4分z> = 1.解得6分C = 1.（II ） /（x） = -f7X3 +X2 +X + 1 , 當4二0時，= f+丫+1不存在極大值，不符合題意 _7分當。>0"匕/'（叉）=或2+2% + 1令+ 2% + 1 = 0（i）當A = 4-4q<0,即之1時，不符合題意.8分（ii）當A = 4-4q>0,即0<。<1時，方程幺+2' + 1 = 0有兩個不相等的實數(shù)根.設方程兩個根為玉，且玉 <

12、;X2X，/CO，/（X）的變化如表所示:XS再）再（再，工2）（程+8）/'（X）+00十f(x)極大值極小位/所以了 （演）為極大值.10分當<0時，A = 4 - 4q>0恒成立.設方程兩個根為天，X，且不<三綜上，若函數(shù)，（力存在極大值，a的取值范圍為（一叫0）11（0）.13分18.解,（I）在/EC 中，a = 7, b = 5, 。= 8, »222根據(jù)余弦定理cos A = 一+：2bc所以 c°s/=g0 = L 2x5x82因為Ne（0,兀），所以 sin2= Jl-cos? 42（11）在AABC中，根據(jù)正弦定理，得上二=一.

13、 sinZ sin 乙4 cp7 AP sin乙4cp sinZJCP 2君.人心 k =-= stnZACPPCsin A.乳 3sin3囚為點p為射線加上一動點，所以 N4CPw（0，T）.所以上的取值范圍為（o,空.答案不唯一.取值在區(qū)間（1,空）上均正確.2分3分4分5分6分8分11分12分13分1分19. （ I ）函數(shù)在區(qū)間（0,1）上是單調遞增函數(shù).理由如下:1-111X由/(兀)=當，得/5)=工-3分ee因為 xe(O,l),所以1>l,lnx<0.X因此L-lnx> 0.x又因為ex>0,所以/'(x)>0恒成立.5分所以/(力在區(qū)間(

14、0.1)上是單調遞增函數(shù).(II)由題意可得，XG(0,-K«).6分1 , 111X因為令g(x)-卜】工，則夕(。=-3<。.所以g(x)在(0,”)上單調遞減.7分因為 gQ) = 1> °,g(e) = -1<0,Q所以存在唯一實數(shù)%,使得g(玉)=0,其中x0 g (Le).9分x> /«)，/(工)的變化如表所示:X(0，題)&收)fW十0/極大值所以/(%)為函數(shù)/(Q的極大值.因為函數(shù)/(1)在(0,+8)有唯一的極大值.所以/區(qū)皿=/a)=譬-11分因為-L = 111A ,12 分X。所以孤小/。)=堂=3- e

15、% xoe因為幾e(l.e),所以/(乃皿=義<!<-14分x°e e z所以20.解：(I ) 2,4,6,&10是“關聯(lián)的”，關聯(lián)子集有2,4,6,8, 4,6,8,10, 2,4,8,10),123,5閭是“獨立的”.4分(II)記集合"的含有四個元素的集合分別為：4 = 。2，。3，。4, %，4 = 。1，。34, %，H = "1，2，。4,4，4 = 。1，。2M3, %，4 = %,%，。3，04 所以，M至多有5個“關聯(lián)子集” .若4=%«3,4，%為“關聯(lián)子集”，則4=4，/，。，%不是“關聯(lián)子集”，否則0 =4

16、；同理可得若4 = 。1，%。4，區(qū)為“關聯(lián)子集”，則4，4不是“關聯(lián)子集”.所以柒合川沒有同時含有元素牝，%的“關聯(lián)子集”，與已知矛盾.所以4 = %。3。4,見一定不是“關聯(lián)子集”.同埋4=%必233«5 一定不是“關聯(lián)子集”.6分所以柒合的“關聯(lián)子集”至多為遇，4, 4.若4不是“關聯(lián)子集”，則此時集合“一定不含有元素%，g的“關聯(lián)子集”，與已知矛盾;若名不是“關聯(lián)子集”，則此時集合也一定不含有元素%的“關聯(lián)子集”，與已知矛盾：若4不是“關聯(lián)子集”，則此時集合一定不含有元素4,G的“關聯(lián)子集”，與已知矛盾.所以4, 4, 4都是“關聯(lián)子集”.8分所以有出+%=%+。4，即的一4

17、2 ； a1+a5 =a2+a4f 即-。4=出一；+ 4 =。2 + %，即。4 。3 =%一，所以的一% =a4 _%=%_% =a2 _Q所以3H4)%是等差數(shù)列10分(III)不妨設集合"=A)an) >5 ), q WN，, Z =1 , 2,，且可 < %< 一V 4記7 = tt = ai+aJ,l<i < jeN*).因為集合,是“獨立的”的，所以容易知道T中恰好有C；=W個元素2假設結論錯誤，即不存在xev,使得一叫4所以任取%6”, x«"-" + 9因為xn，所以工«"2一” + 8442222j -+ 8 n -n + 8 , n 一+ 8 , n -n所以 +1=1=+ 3.,4422所以任取fT,匚四十3.2任取，WT, £21+2 = 3,所以Tq3,4,，一+ 3,且T中含有個元素.(i)若3eT,則必有6=1,% = 2成立.因為25,所以一定有4-4_ >電-。1成立，所以4所卜 12 + 8 2f+ 8 0 W2 W所以4十4-1 4+2 = +2.442tTL f i、/ ,“2 W " + 8A? 72 + 8所