蘇教版一元二次方程解法講義

1、 課題一元二次方程的解法 教學目標1理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意義，會把一元二次方程化為一般形式；2掌握直接開平方法、配方法、求根公式法、因式分解法解方程，會應用判定方法解決有關問題；3理解解法中的降次思想，直接開方法中的分類討論與換元思想，配方法中的轉化思想，理解求根公式的推導過程，以及因式分解降次的實質.重難點透視學習重點：掌握一元二次方程的解法. 學習難點：體會解法中蘊含的數(shù)學思想.考點一元二次方程的解法知識點剖析序號 知識點預估時間 掌握情況 1直接開方法 配方法復習 30 2公式法 解一元二次方程 30 3因式分解法 解一元二次方程 30 4練習小結 30教學內容一、知

2、識要點梳理知識點一、一元二次方程的有關概念1一元二次方程的概念： 通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程2一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一個關于x的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式其中是二次項，是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項要點詮釋：(1)只有當時，方程才是一元二次方程；(2)在求各項系數(shù)時，應把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項系數(shù)時注意不要漏掉前面的性質符號.關于一元二次方程的判定1.判定下列方程是不是一元二次方程: (1)； (2)思路點撥：判定一個方程是

3、不是一元二次方程，要看它是否能整理為ax2+bx+c=0的形式，并且僅當a0時，它才是一元二次方程總結升華：雖然根據(jù)“只有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2”可以對一些一元二次方程作出初步的判定，但卻不十分嚴格，如(2)題，如果只從原方程看就會做出錯誤的判斷舉一反三：【變式1】判定下列方程是否關于x的一元二次方程：(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a； (2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1思路點撥：首先整理成一元二次方程的一般形式，再根據(jù)二次項的系數(shù)的取值來討論、判定總結升華：對于含有參數(shù)的一元二次方程，要十分注意二次項系數(shù)的取值范圍，在作為一元二次方程進行研究討論時，

4、必須確定對參數(shù)的限制條件如在第(2)題，對參數(shù)的限定條件是m±1例如，一個關于x的方程，若整理為(m-4)x2+mx-3=0的形式，僅當m-40，即m4時，才是一元二次方程(顯然，當m=4時，它只是一個一元一次方程4x-3=0)又如，當我們說：“關于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0”時，實際上就給出了條件“a-10”，也就是存在一個條件“a1”由于這個條件沒有直接注明，而是隱含在其他的條件之中，所以稱它為“隱含條件”知識點二、一元二次方程的解法1直接開方法解一元二次方程： (1)直接開方法解一元二次方程： 利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法

5、稱為直接開平方法.(2)直接開平方法的理論依據(jù)： 平方根的定義.(3)能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類： 形如關于x的一元二次方程，可直接開平方求解. 若，則；表示為，有兩個不等實數(shù)根； 若，則x=O；表示為，有兩個相等的實數(shù)根； 若，則方程無實數(shù)根 形如關于x的一元二次方程，可直接開平方求解，兩根是 .總之，用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應用時應把方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個方程的根.一元二次方程的一般形式、各項及各項的系數(shù)的確定一般地，常根據(jù)等式的性質把二次項的系數(shù)是負數(shù)的一元二次方程調整為二次項系數(shù)是正數(shù)

6、的一元二次方程；把分數(shù)系數(shù)的一元二次方程調整為整數(shù)系數(shù)的一元二次方程2.把下列方程中的各項系數(shù)化為整數(shù)，二次項系數(shù)化為正數(shù)，并求出各項的系數(shù)： (1)-3x2-4x+2=0； (2)思路點撥：利用等式的性質作變形總結升華：值得注意的是，確定各項的系數(shù)時，不應忘記系數(shù)的符號，如(1)題中c=-2不能寫為c=2，(2)題中不能寫為舉一反三：【變式1】已知關于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各項的系數(shù)，并指出參數(shù)m的取值范圍思路點撥：整理為一般形式總結升華：在含參數(shù)的方程中，要認定哪個字母表示未知數(shù)，哪個字母是參數(shù)，才能正確處理有關的問題用直接開平方法解一元二次方

7、程3.解方程3x2-24=0 總結升華：應當注意，形如=k(k0)的方程是最簡單的一元二次方程，“開平方”是解這種方程最直接的方法“開平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一舉一反三：【變式1】用直接開平方法求下列各方程的根：(1)x2=361； (2)2y2-72=0； (3)5a2-1=0； (4)-8m2+36=0總結升華：在使用直接開平方法時，x2=k(k0)是方程化歸、變形的目標形如的方程，都可以變形為(k0)的形式由，所以只需0，就可以用直接開平方法求解4.解方程(x-3)2=49 總結升華：應當注意，如果把x+m看作一個整體，那么形如(x+m)2=n(n0)的方程就可看作形如

8、x2=k的方程，也就是可用直接開平方法求解的方程；這就是說，一個方程如果可以變形為這個形式，就可用直接開平方法求出這個方程的根所以，(x+m)2=n可成為任何一元二次方程變形的目標舉一反三：【變式1】解下列方程：(1)(x+5)2=225； (2)(3y-2)2=27； (3)3(b+4)2=96； (4)5(4-3n)2=320思路點撥：運用換元的思想，把方程中形如ax+b的式子看作一個整體，利用直接開平方法求解總結升華：本例的解法是直接開平方法的運用，也是換元思想的運用通過這種方法，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來求解應當注意，這種轉化的思想是解一切高于一次的一元方程的基本指導思

9、想【變式2】解方程 (1)(3x+1)2=7； (2) 9x2-24x+16=11.思路點撥：(1)此方程顯然用直接開平方法好做，(2)方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以此方程也可用直接開平方法解.2配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程 的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理論依據(jù)是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步驟： 把原方程化為的形式； 將常數(shù)項移到方程的右邊；方程兩邊同時除以二次項的系數(shù)，將二次項系數(shù)化為1； 方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方； 再把方

10、程左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)； 若方程右邊是非負數(shù)，則兩邊直接開平方；求出方程的解；如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程 無實數(shù)解.用配方法解一元二次方程5.用配方法解方程x2-7x-1=0 總結升華：一般地，用先配方，再開平方的方法解一元二次方程，應按以下步驟進行：(1)把形如ax2+bx+c=0(a0)的方程中二次項的系數(shù)化為1；(2)把常數(shù)項移到方程的右邊；(3)方程的兩邊都加“一次項系數(shù)一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n0)的方程；(4)用直接開平方的方法解此題舉一反三：【變式1】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0； (2)3x2-4x-2=0； (3)x2+

11、6x+8=0； (4)x2-4x+6=0總結升華：(1)此例運用了配方法，把原方程化為(x+m)2=n(n0)的形式，用直接開平方法可以求出這個方程的根；(2)這種解法是解一元二次方程的最基本的方法，這種解法的關鍵步驟是配方；(3)配方的關鍵是在方程的兩邊都加“一次項系數(shù)一半的平方”；3公式法解一元二次方程： (1)一元二次方程求根公式： 對于一元二次方程進行配方：當時，這個式子叫做一元二次方程的求根公式注意：0是公式使用的前提條件，是公式的重要組成部分 公式法是解一元二次方程的一般方法；由公式法可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根(2)歸納一元二次方程根的情況： 對于一元二次方程，其中，稱為一

12、元二次方程根的判別式 當時，原方程有兩個不等的實數(shù)根； 當時，原方程有兩個相等的實數(shù)根； 當時，原方程沒有實數(shù)根.(3)用公式法解關于x的一元二次方程的步驟： 把一元二次方程化為一般形式； 確定a、b、c的值； 求出的值；若，則利用公式求出原方程的解； 若，則原方程無實根.一元二次方程的根及根的判別式6.不解方程，判定方程根的情況(1)16x2+8x=-3 (2)9x2+6x+1=0 (3)2x2-9x+8=0 (4)x2-7x-18=0思路點撥：不解方程，判定根的情況，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情況進行分析即可舉一反三：【變式】若關于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax

13、+a+1=0沒有實數(shù)解，求ax+30的解集(用含a的式子表示)思路點撥：要求ax+30的解集，就是求ax-3的解集，那么就轉化為要判定a的值是正、負或0因為一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0沒有實數(shù)根，即(-2a)2-4(a-2)(a+1)0就可求出a的取值范圍用公式法解一元二次方程7.利用公式法求解方程5(x+1)-3x2=x(x+3) 舉一反三：【變式1】利用公式法解方程.(1)2x2-8x+3=0； (2)2x2-8x=-5.4因式分解法解一元二次方程： (1)因式分解法解一元二次方程： 將一元二次方程的一邊化為0，另一邊分解成兩個一次式的乘積的形式，再使這兩個一次式分別等于 0，從而實現(xiàn)降次，這種方法叫做因式分解法.(2)因式分解法算理：(A、B至少一個為0)(3)用因式分解法解一元二次方程的步驟： 將方程右邊化為0； 將方程左邊分解為兩個一次式的積； 令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程； 解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.(4)常用因式分解法： 提取公因式法，平方差公式、完全平方公式.三、規(guī)律方法指導一元二次方程有多種解法，要根據(jù)形式擇優(yōu)選擇解法，但所有解法都是通過“降次”實現(xiàn)求根的：開方降次和分解降次.一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般形式，