長江中游夏季降水場預報技術研究(

1、長江中游夏季降水場預報技術研究(張禮平（武漢中心氣象臺，武漢 430074）提 要 經(jīng) SVD 分析，截取足夠多的預報場和因子場時間系數(shù)，使其相互關系代表兩場的大尺度聯(lián)系，預報場時間系數(shù)與其奇異向量線性組合估計場能反映原場主要特征.借助最優(yōu)化技術，選擇合理的系數(shù)，建立預測公式，由因子場時間系數(shù)預測預報場時間系數(shù)，同時訂正預報場時間系數(shù) a1 a2 aN本身的誤差和反演過程中分析誤差造成的場格點趨勢預測的誤差.最后將預測的預報場時間系數(shù)和對應奇異向量反演為整個場的預報.預報過程重點考慮可預報的大尺度變化，濾去不可預報的小擾動，依據(jù)兩場主要耦合關系，預測預報場未來的主要變化.關鍵詞 最優(yōu)化技術 奇

2、異值分解 場估計分類號 P457.6由于季風活動的顯著年際變化，長江中游是我國氣象災害的高發(fā)區(qū)，其中，旱澇是最重要的氣象災害.20 世紀 80 年代以來，大范圍、持續(xù)性的大旱大澇災害頻繁發(fā)生，給國民經(jīng)濟發(fā)展造成了嚴重影響.及時、準確地預測這些天氣、氣候異常的趨勢、程度及分布，對各級政府部署、領導防災減災，將損失降到最低，有著極其重要的意義.20 世紀下半葉，天氣和氣候分析基本對象已由單站要素時間序列逐漸轉變?yōu)閰^(qū)域、半球或全球要素場時間序列.單站要素分析、預測沒有考慮周圍站點的相互聯(lián)系，往往導致預測結果水平分布出現(xiàn)不合理的不連續(xù)，與天氣學原理相悖，同時也遠不能滿足要求各級政府決策需求.場上的點與

3、周圍的點有著密切聯(lián)系，因而單點、或數(shù)個點的值難以使用，也不應單獨、或分塊使用，而應從整個場上提取有用的預報信息.場的分析方法，考慮的是因子場對預報場主要的影響關系，重點考慮大尺度變化，濾去小擾動，力圖從因子場的大尺度變化對預報場的變化進行客觀、總體的描述，這種思路是與天氣學原理相一致.因此，場的分析、預測必然最終成為氣候分析和預報的主流.自 1976 年 Prohaska 提出將自然正交函數(shù)分解（EOF）技術應用于分析兩氣象場間的關系以來1，奇異值分解（SVD）方法在氣象中應用逐漸增多.1992 年 Bretherton 等比較了已有的提取兩場主要耦合信號的方法后認為：SVD 操作簡單，易于解

4、釋說明其意義，有廣泛的應用前景2.丁裕國等也從理論上證明了 SVD 在場診斷分析中的普適性3.目前 SVD 的應用，主要在兩氣象場相互關系的診斷分析4-5，提取前 N 個能解釋兩場協(xié)方差大部的模態(tài)和對應同場相關圖，根據(jù)因子場實況距平分布與同場相關圖分布相似推測預報對象場未來的距平分布6.考慮到 SVD 提取的因子場時間系數(shù)與預報對象場大部格2003-07-10 收稿；2003-11-28 收修改稿.張禮平, 男，1956 年生,高級工程師，email:zhangliping_.點（或測站）隨時間相互變化存在某種規(guī)律，作者提出了構造因子場前 N 時間系數(shù)線性函數(shù)，借助最優(yōu)化技術，在統(tǒng)計時段內能擬

5、合預報場每個格點正負距平趨勢次數(shù)最多意義下確定待定系數(shù)的方法，實現(xiàn)了由因子場對預報場的客觀預報7, 但這種方法僅給出了預報場正負距平趨勢的水平分布，并沒有給出量值，因此，這僅是一個定性預報方法.本文將根據(jù) SVD 原理及場的估計方法，借助最優(yōu)化技術，導出場對場定量預報方法.1 1 基本原理（3）0.0.0.0.0.0.0.03pSVD 原理設有 x、y 兩個場，稱為左場和右場，分別包括 p 和 q 個空間格點,有 n 次經(jīng)過方差標準化處理的觀測值，用矩陣表示為： pnppnnxxxxxxxxxX.212222111211qnqqnnyyyyyyyyyY.212222111211設左場 x 為預

6、報對象場，右場 y 為因子場.由 SVD，可找到兩個正交線性變換矩陣 L和 R，使得2Max),cov(YRXLTT其中，LTX=A，稱為左場時間系數(shù)矩陣，RTY=B，稱為右場時間系數(shù)矩陣.L 和 R 的第k 列向量分別稱為第 k 左、右奇異向量. pppppplllllllllL.212222111211qqqqqqrrrrrrrrrR.212222111211 pnppnnaaaaaaaaaA.212222111211qnqqnnbbbbbbbbbB.212222111211SVD 同時對左、右場的 p 和 q 個變量實施不同的變換，得到的新變量時間系數(shù)具有這樣的優(yōu)良性質：左場（或右場）某

7、一時間系數(shù)僅與對應的右場（或左場）時間系數(shù)協(xié)方差不為 0，其余均為 0，也即左場（或右場）時間系數(shù)僅與右場（或左場）對應時間系數(shù)相關系數(shù)不為 0，其余均為 0.時間系數(shù)是按其成對的協(xié)方差大小排列的，且大協(xié)方差一般集中在前 N（Nmin（p, q）對上，余下的協(xié)方差較小，因此，可選取前 N 對時間系數(shù)，這前 N 對時間系數(shù)的相互關系就可在很大程度上代表兩場的相互關系，分析左、右兩場 p 個變量與 q 個變量隨時間相互變化的眾多關系變?yōu)榉治鲞@ N 對時間系數(shù)隨時間相互變化的簡單關系，不僅使問題大大簡化，且突出了重點.1.2 場的估計、逼近與預測眾所周知，EOF 能將數(shù)據(jù)場分解為不隨時間變化的空間函

8、數(shù)（特征向量）以及只依賴時間變化的時間系數(shù)（主分量） ，利用方差集中在前 N 個主要分量的特征，用前 N 空間函數(shù)和時間系數(shù)的線性組合構成對原場的估計，略去原場中方差較小分量，保留較大分量，由于正交變換不改變場的總方差，因此估計場保留了原場大部方差，反映了原場的主要特征.若 N 取得足夠大，越接近原場格點數(shù) p，越能以高精度逼近原場，特別地，若 N=p，則估計場完全等同于原場.既然 EOF 為 SVD 的特例，它們對原場都是實施的正交線性變換，且在 SVD 中，考慮到右場為因子場，可由簡單關系實現(xiàn)右場時間系數(shù)對左場時間系數(shù)預測，由此自然想到：能否由右場足夠多的時間系數(shù)，預測左場時間系數(shù)，這些左

9、場時間系數(shù)和左奇異向量線性組合構成對原場的估計，從而實現(xiàn)右場對左場的定量預測？設前 N 對時間系數(shù)累積協(xié)方差占兩場協(xié)方差大部，若時間系數(shù)間存在線性關系，由 (1)kkkkbcca10( k=1，2，N，c0k、c1k為待定系數(shù)，ak、bk分別為第 k 左場和右場時間系數(shù) ) 實現(xiàn)對 ak的預測.另一方面，由 LTX=A，注意到 L 為正交矩陣，則有 X=LA，即 N=p 時 (2)pnppnnxxxxxxxxx.212222111211pNppNNlllllllll.212222111211NnNNnnaaaaaaaaa.212222111211當 Np 時，上式中“=”應改寫為“”.若外推（

10、預測）1 個樣本，則預報公式為： (3)1,2, 21, 1.npnnxxxpNppNNlllllllll.2122221112111,1, 21, 1.nNnnaaa將(1)預測得到的 a1,n+1、a2,n+1、aN.n+1代入（3）式，即可得到左場預測值x1,n+1、x2,n+1、xp, n+1 .1.3 SVD 實現(xiàn)場預測的條件及可行性由上所述，當滿足以下條件時，上述預報過程是可實現(xiàn)的：（3）前 N 對時間系數(shù)可解釋兩場大部協(xié)方差，這 N 對時間系數(shù)相互關系足以反映兩場相互變化的主要信息.（2）右場時間系數(shù)可預測左場時間系數(shù).（3）前 N 左場奇異向量(空間函數(shù))和時間系數(shù)線性組合構成

11、的估計場總方差占原場總方差大部，使得估計場可反映原場主要特征，保證預測過程有意義.一般來說，氣象場中空間格點間關系較密切、均勻，由 SVD 過程的主要目標極大化協(xié)方差，條件（1）通常是能得到滿足的.由于場可視為空間函數(shù)和時間系數(shù)的線性組合，空間函數(shù)被認為是固定不變的，因而時間系數(shù)的預測精度直接影響整個場的預測精度.與典型相關分析（CCA）不同，SVD 是極大化協(xié)方差過程，SVD 得到的兩場時間系數(shù)相關關系往往不如 CCA，回歸預測一般難以滿足精度要求.另一方面，即使有了高精度時間系數(shù)預測值，由于前 N 時間系數(shù)和對應空間函數(shù)線性組合反演的場與原場存在的分析誤差，也將影響場的預測精度.既然兩場時

12、間系數(shù)的協(xié)方差較大，因而可能存在某種關系.考慮到線性函數(shù)是最簡單的函數(shù)形式，構造時間系數(shù)預測公式為：111011bcca（4）212022bcca NNNNbcca10式中 k=1,2,N,c0k、c1k，cnk為待定系數(shù)，ak、bk分別為第 k 左場和右場時間系數(shù).顯然，預測時間系數(shù)的目的是為了預測整個場，而趨勢預報正確的站點數(shù)是衡量場預測精度的重要指標.為此，依據(jù)下面原則確定 c0k、c1統(tǒng)計年段內，由（4）確定的 a1,a2,aN與對應空間函數(shù)反演的場平均每年能擬合原場的正、負距平趨勢的格點數(shù) N0最多.顯然，N0是 a1,a2,aN的函數(shù)，而 a1,a2,aN又是 c01,c11,c0

13、N,c1N的函數(shù).c01,c11,c0N,c1N取不同的一組值時，a1,a2,aN一般是不同的，N0也隨之不同，也即N0為 c01,c11,c0N,c1N的函數(shù).要找到這樣的 c01,c11,c0N,c1N將其代入（4）式后得到 a1,a2, aN其反演的場平均每年能擬合原場的正、負距平趨勢的格點數(shù)N0最多，也即 N0 (c01,c11,c0N,c1N) Max.這就是數(shù)學上的“無約束最優(yōu)化問題” ，其數(shù)學模型如下：opti (，)0N01c11cNc0Nc1其中 opti 表示最優(yōu)值.借助最優(yōu)化技術，滿足要求的 c01,c11,c0N,c1N是可以找到的.所謂最優(yōu)化技術就是從所有可能方案中選

14、擇最合理的一種以達到最優(yōu)目標（使目標函數(shù)最大或最?。┑臄?shù)學方法，一般地由最優(yōu)化技術確定的 c01,c11,c0N,c1N 得到的反演的場不可能每一年擬合原場的正、負距平趨勢的格點數(shù)都多，但是這是在實數(shù)范圍內取的所有的 c01,c11,c0N,c1N中，其反演的場平均每年能擬合原場的正、負距平趨勢的格點數(shù) N0最多的一組，因而選取這組c01,c11,c0N,c1N確定（4）是合理的.現(xiàn)代的最優(yōu)化技術，一般都可在計算機上得到實現(xiàn).由最優(yōu)化技術確定了 c01,c11,c0N,c1N后，實際預報時，將 b1,b2,bN 的實況值代入（4） ，計算得到 a1,a2,aN與對應空間函數(shù)線性組合即可得到預報

15、場.如此條件（2）得到滿足.盡管這樣確定的（4）不能較好地擬合 a1,a2,aN本身，但由此反演的場可較好地擬合原場眾多格點的正、負距平趨勢，同時訂正了 a1,a2,aN本身的預報誤差和反演過程的分析誤差造成的場格點趨勢預測的誤差. 設變量 x1和 y1的協(xié)方差為 )(1),cov(1111111yyxxnyxinii（5）其中，n 為觀測次數(shù)，x1和 y1分別為 x1和 y1的樣本平均值，x1i、y1i ( i=1,2, ，n )為變量 x1和 y1的第 i 次觀測值.由（5）式和實踐經(jīng)驗，有兩種情形將導致協(xié)方差大：(1)兩變量的方差大；(2)兩變量距平同號頻次多.盡管 SVD 過程對左場實

16、施的線性變換不會像 EOF 那樣時間系數(shù)具有極大化方差，較快收斂速度，但極大化協(xié)方差過程仍有可能使得新變量時間系數(shù)方差較大，即我們要取比 EOF 多的時間系數(shù)才能完成場的估計，畢竟為滿足條件（3）提供了可能.2 2 實例根據(jù)經(jīng)驗，1 月北半球 500hPa 度場、海平面氣壓場、北太平洋海溫場與汛期降水場關系較好，用這 3 場組成因子場（右場） ，預測長江中游湖北省、湖南省、江西省境內 47代表站 6-8 月降水場（左場）.這里 p=47、q=576+576+286=1438，分析樣本 1960-1997 年，1998 年用于試驗和檢驗.圖 1、圖 2 分別給出了 1998 年 6-8 月降水場

17、實況和預測.大范圍的偏澇區(qū)大致吻合，只是預測偏澇的程度較實況偏小.圖 1 1998 年 6-8 月降水場實況（距平%） 圖 2 1998 年 6-8 月降水場預測（距平%）Fig.1 The fields of observed precipitation Fig.2 Forecasts of fields of the precipitation during the during the summer 1998 (Anomaly percent) the summer 1998 (Anomaly percent)3 3 結語 氣象場上的資料難以逐點使用，也不應該逐點使用，逐點使用沒有考慮相

18、鄰格點固有的物理聯(lián)系，不具備連續(xù)性，與天氣學原理相悖.預報場與因子場 SVD 分析，將分析預報場與因子場逐點與逐點隨時間相互變化的眾多關系變?yōu)榉治銮?N 對時間系數(shù)隨時間相互變化的簡單關系，不僅使問題大大簡化，且突出了重點.借助最優(yōu)化技術，選擇合理的系數(shù)，建立預測公式，由因子場時間系數(shù)預測預報場時間系數(shù)，同時訂正預報場時間系數(shù)a1,a2,aN本身的預報誤差和反演過程的分析誤差造成的場格點趨勢預測的誤差.截取足夠多的時間系數(shù)，保證左場時間系數(shù)與左奇異向量（空間函數(shù)）線性組合構成的估計場能反映原場主要特征.最后將預測的左場時間系數(shù)與左奇異向量（空間函數(shù)）線性組合構成場的預測，由此實現(xiàn)場對場的定量預

19、測.這種方法，考慮的是場對場的主要耦合關系，重點考慮可預報的大尺度變化，濾去不可預報的小擾動，對場的主要變化進行的預測，其思路與天氣學原理一致.參 考 文 獻1Prohaska J. A technique for analysis the linear relationship between two meteorological fields. Mon Wea Rew, 1976, 104: 1345-13532Bretherton C S, et al. An intercomparison of methods for finding coupled patterns in clima

20、te data. Journal of Climate,1992，5(6):541-56034Wallace J M, et al. Singular value decomposition of wintertime sea surface temperature and 500-mb height anomalies. Journal of Climate, 1992，5(6):561-576567Research in Forecast Technology of the Fields of Precipitation during the summer over the Middle

21、Reaches of the Yangtze RiverZHANG Liping(Wuhan Central Meteorological Observatory，Wuhan 430074)Abstract With SVD (singular value decomposition) enough the time coefficients of predicted fields and factor fields are cut so that their relationships represent ones between two fields and estimate of linear combination of the time coefficients and the vector