高三數(shù)學(xué)數(shù)列的極限

1、高三數(shù)學(xué)試題及高考分析本周復(fù)習(xí)內(nèi)容：數(shù)列的極限本周復(fù)習(xí)重點：數(shù)列的極限運算，數(shù)列及其極限的綜合問題<一>關(guān)于數(shù)列極限的運算1運算法則：an=A, bn=B. (1) (2) (3) 注意：運算法則只可應(yīng)用于有限個數(shù)列的運算當(dāng)中。2幾個基本數(shù)列的極限 (1) c=c (2) (3) qn=0 (0<|q|<1)3數(shù)列極限運算的幾種基本類型：(1) 關(guān)于n的分式型 (2) 關(guān)于n的指數(shù)型(3) 無窮多項的和與積 (4) 無窮遞縮等比數(shù)列<二> 本周例題例1求下列數(shù)列的極限：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (a,b>0

2、)分析：求數(shù)列的極限首先應(yīng)判斷屬于哪一種基本類型，然后考慮如何轉(zhuǎn)化哪一種基本數(shù)列的極限解決問題。解: (1) (2) =.(3) = = =(4) = =或另解：原式= (5) 分析：應(yīng)能夠很快地由數(shù)列的通項可識別出此數(shù)列為公比為(-)的無窮遞縮等比數(shù)列。 。(6) = =注：數(shù)列不存在極限，不能直接用運算法則，因此變形后化為基本數(shù)列的極限解決。(7) = 當(dāng)0|a|<3時，=. 當(dāng)|a|>3時，=. 當(dāng)a=3時，=。 當(dāng)a=-3時，=（極限不存在）。 綜- ，(8) =(9) a>b>0時，=。 當(dāng)b>a>0時，=。 當(dāng)b=a>0時，=。綜上：=小結(jié)

3、：求數(shù)列的極限難點問題有幾類，<i> 無窮多項的和與積；如上例中第(3),(4),(5),(7),(8)，不能直接用極限的運算法則，先要將所給形式變形，化簡，如(3)是約分化簡，(4) 是轉(zhuǎn)化為兩個等比數(shù)列的和，(5) 的關(guān)鍵是能夠判斷其為無窮遞縮等比數(shù)列，(7) 則是光用等比數(shù)列求和公式化簡，(8)卻應(yīng)用的是特殊數(shù)列求和的基本方法裂項求和達(dá)到化簡的目的。<i i >關(guān)于n的指數(shù)型數(shù)列的極限，若含有參數(shù)的冪的形式（關(guān)于n的），則需要討論，以確保符合條件0<|q|<1，才可應(yīng)用來解決問題。例2. (1) 已知 求a, b.(2) 已知, , 求：。(3) 已知

4、： , 求a.解：(1) 即有：，則有(2) , , .又 , , .又 =,由，得 ， =6。(3) , 當(dāng)|a2|>4時，= 不存在，當(dāng)0<|a2|<4時，=，當(dāng)a2=4時，=， 有：a2=4, 即a=±2.小結(jié)：本例中幾問共同特點是已知數(shù)列的極限，反過來求式子中待定的系數(shù)。解決的方法仍是化歸為求數(shù)列的極限問題。如(1)中，已知一個關(guān)于n的分式型的極限，實際上考察了對關(guān)于n的分式型極限求法的掌握情況。應(yīng)使學(xué)生明確形如：的極限問題關(guān)鍵看分子，分母中關(guān)于n的項的最高次項的系數(shù)，如果不能確定其系數(shù)時，即需要討論。例3(1)在等比數(shù)列 an中，a1>1，且前n項和

5、Sn滿足，求a1的取值范圍。(2) 數(shù)列an, bn均是公差不為0的等差數(shù)列，且，求。解：(1) an為等比數(shù)列，又a1>1,且 , 因此an為無窮遞縮等比數(shù)列，設(shè) an公比為q. , 1-q=a12, 0<|q|<1, 0<|1-a12|<1,解得：a.(2) 設(shè) an公差為d, bn公差為d', , , na2n=na1+(2n-1)d, .小結(jié)：數(shù)列的極限與等差，等比數(shù)列的知識的結(jié)合是經(jīng)?？疾斓膯栴}，尤其要注意對于無窮遞縮等比數(shù)列的識別，及求和公式的正確運用。例4已知數(shù)列an前n項和為Sn, 此無窮數(shù)列對于不小于2的正整數(shù)n, 滿足1-Sn=an-1

6、-an.(1) 求a1, a2, a3. (2) 證明an為等比數(shù)列。(3) 設(shè)，求(b1+b2+bn)的值。解：(1) S2=a1+a2, 1-(a1+a2)=a1-a2, 解得:, S3=a1+a2+a3, 同理解得：, .(2) <方法1>,由a1,a2,a3推測 (nN).用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)n=1時，上式成立假設(shè)當(dāng)n=k(k1, kN)時，成立。欲證當(dāng)n=k+1時，成立， 1-Sk+1=ak-ak+1, 1-(Sk+ak+1)=ak-ak+1, 1-Sk=ak.(I)同理，1-Sk+1=ak+1.(II)(II)-(I)得：1-Sk+1-(1-Sk)=ak+1-ak -ak+1=ak+1-ak, 2ak+1=ak, , n=k+1時，命題也成立。由對于 nN, 均成立。<方法2> 當(dāng)n2時，1-Sn=an-1-an.1-Sn+1=an-an+1.-得：Sn+1-Sn=an-1-2an+an+1, an+1=an-1-2an+an+1, ,即 ， an為等比數(shù)列。(3) (b1+b2+b3+bn)=.小結(jié)：數(shù)列，極限，數(shù)學(xué)歸納法常常將幾個知識點綜合起來考察，因此需要清理解決問題的方法及知識體系，這是提高能力的關(guān)鍵。<二> 本周參考練習(xí)：(1) an為等比數(shù)列，a1=-1，前n項和為Sn, 若，求Sn.