積分物理應(yīng)用與場(chǎng)論

1、第12章 各類積分的物理應(yīng)用面積分在物理上的應(yīng)用，包括質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、梯度、散度、旋度等9.1 重積分、第一類線面積分的物理應(yīng)用1 質(zhì)量質(zhì)量記為。1當(dāng)是平面區(qū)域的面密度時(shí)，；2當(dāng)是空間區(qū)域的體密度時(shí)，；3當(dāng)是曲線的線密度函數(shù)時(shí)，；4當(dāng)是曲面的面密度時(shí)，。2 質(zhì)心圖9.1在物理學(xué)中我們知道，在水平面上，如果質(zhì)點(diǎn)離轉(zhuǎn)軸的距離為，則重力矩是。重力矩與有關(guān)即與環(huán)境有關(guān)。為了與環(huán)境無(wú)關(guān)，定義對(duì)靜矩為。設(shè)的體密度為。的微元（圖9.1）的質(zhì)量，對(duì)平面的靜矩。因此類似地，如果把捏到一點(diǎn)后對(duì)各坐標(biāo)平面的靜矩與原來(lái)等效，則稱為的質(zhì)心。因此類似地，在平面上，平面曲線空間曲線曲面圖9.2【例9.1】 求均

2、勻的球頂錐體(如圖9.2)的質(zhì)心，設(shè)該球的球心在原點(diǎn)，半徑為，錐體的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，錐面與軸交角為解均勻即密度為常數(shù)（此時(shí)質(zhì)心又稱形心）。由對(duì)稱性知，而，故所以質(zhì)心坐標(biāo)為【例9.2】 求質(zhì)量均勻分布的半球面的質(zhì)心解由對(duì)稱性知，根據(jù)(9.1)式得，而，故，所以質(zhì)心為 3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量我們知道，空間中一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，為質(zhì)點(diǎn)到的距離設(shè)為一個(gè)物質(zhì)幾何體，密度連續(xù)，在中任取一小塊(其度量也用相同記號(hào))，在中任取一點(diǎn)，則小塊的質(zhì)量近似為，關(guān)于軸,軸,軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為，。所以關(guān)于軸,軸,軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為：平面區(qū)域、曲線時(shí)類似思考?！纠?.3】 求半徑為的均勻半圓薄片(面密度為常數(shù))

3、對(duì)于其直徑邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解建立如圖9.3所示坐標(biāo)系，關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：圖9.3其中為半圓薄片的質(zhì)量【例9.4】 求螺旋線：對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，曲線的密度為常數(shù)解4 引力圖9.4設(shè)有一幾何體，密度連續(xù)，外有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)記為，求對(duì)的引力根據(jù)萬(wàn)有引力公式(其中是質(zhì)點(diǎn)之間的距離，為引力常數(shù))，如圖9.4，在中任取一小塊(其度量用相同的符號(hào))，則質(zhì)量元素為，將質(zhì)量元素看成點(diǎn)處質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，則質(zhì)量元素對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為：，引力元素沿與坐標(biāo)軸平行方向的各分量為：同理：；所以 【例9.5】 設(shè)半徑為的勻質(zhì)球體，占有空間閉區(qū)域，求它對(duì)位于()處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力解設(shè)球體密度為常數(shù)，由對(duì)稱性知引力分量，對(duì)，有9

4、.2場(chǎng)論初步1場(chǎng)(1) 場(chǎng)：設(shè)是一個(gè)空間區(qū)域。上的一個(gè)數(shù)量場(chǎng)就是上定義的一個(gè)數(shù)量函數(shù)；上的一個(gè)向量場(chǎng)就是上定義的一個(gè)向量函數(shù)。例如溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)、電位場(chǎng)是數(shù)量場(chǎng)；而力場(chǎng)、速度場(chǎng)是向量場(chǎng)若該場(chǎng)中物理量在各點(diǎn)處的值不隨時(shí)間變化，則稱該場(chǎng)為穩(wěn)定場(chǎng)，否則稱為不穩(wěn)定場(chǎng)本節(jié)只討論穩(wěn)定場(chǎng)(2) 等值面：給定了數(shù)量場(chǎng)，則是空間一張曲面，在該曲面上保持常值，稱該曲面為等值面等量面只能粗略地刻畫數(shù)量場(chǎng)的分布規(guī)律，下面將引進(jìn)梯度、散度、旋度的概念來(lái)更深刻地刻畫數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng)的屬性2數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)為：，其中所對(duì)應(yīng)的單位向量為定義9.1 數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)的梯度為向量，是等值面指向增加方向的法

5、向量。其中為向量與向量間的夾角。3向量場(chǎng)的通量與散度(1)通量設(shè)為向量場(chǎng)，為有向曲面，則稱曲面積分為向量場(chǎng)穿過(guò)曲面的通量若為流速場(chǎng)，則的物理意義為在單位時(shí)間內(nèi)流體通過(guò)曲面的體積即流量(2)散度設(shè)為向量場(chǎng)，在場(chǎng)中一點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)作一包含點(diǎn)在內(nèi)的任一閉曲面(方向取外側(cè))，設(shè)其包含的空間區(qū)域?yàn)?體積也用相同記號(hào))，則為往外流的通量。有東西流出來(lái)意味著里面有泉。為中的平均泉強(qiáng)度。極限為點(diǎn)的泉強(qiáng)度，稱為向量場(chǎng)在點(diǎn)處的散度（對(duì)于一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，“泉”和“散”是同義詞），記為，即散度就是泉強(qiáng)度。散度為一數(shù)量若是流體的流速，>0，則在點(diǎn)有泉；若，則在點(diǎn)漏走流體；若在點(diǎn)表示該點(diǎn)無(wú)泉無(wú)漏稱的向量場(chǎng)為無(wú)源場(chǎng)散度是一

6、個(gè)由向量場(chǎng)所產(chǎn)生的數(shù)量值函數(shù)，稱作散度場(chǎng)散度有如下計(jì)算公式:定理9.1設(shè)在空間某區(qū)域有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，向量場(chǎng)，則在定義域內(nèi)證取包含點(diǎn)的小區(qū)域，其邊界曲面為，則由高斯公式和積分中值定理得，用通量與散度的記號(hào)，高斯公式可表示為此說(shuō)明高斯公式的物理意義為：穿出封閉曲面的通量，等于所圍的區(qū)域上的散度的“總和”即散度在上的三重積分4向量場(chǎng)的環(huán)量與旋度(1)環(huán)流量圖9.5設(shè)為封閉曲線，為向量場(chǎng)，我們知道，將理解為力時(shí)，則為力沿曲線所作的功下面我們將看作流速場(chǎng)，看看的物理意義設(shè)裝有葉片的輪子，平放到有旋渦的河面上，輪子就會(huì)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)快慢顯然與流速在葉片上每點(diǎn)的切向分量有關(guān)(如圖9.5)，可以用來(lái)刻畫環(huán)形流動(dòng)

7、的強(qiáng)弱，稱它為沿曲線的環(huán)流量(簡(jiǎn)稱環(huán)量)定義9.2 設(shè)是空間任一封閉曲線，取定方向，則稱為向量沿的環(huán)量環(huán)量?jī)H僅刻畫所圍區(qū)域的旋渦強(qiáng)弱，一定時(shí)，環(huán)量越大所圍區(qū)域旋轉(zhuǎn)越強(qiáng)進(jìn)一步我們要研究各點(diǎn)旋渦的強(qiáng)弱，即研究環(huán)量對(duì)面積的變化率設(shè)為向量場(chǎng)中一點(diǎn)，在處取定一個(gè)方向，再過(guò)點(diǎn)任作一微小曲面(其面積也用相同記號(hào))，以為其在點(diǎn)處的法向量，的周界的正向取作與構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，如圖9.6,則圖9.6 表示流體繞軸旋轉(zhuǎn)的環(huán)流量關(guān)于面積的平均變化率若極限存在，稱其為向量場(chǎng)在點(diǎn)處沿方向的環(huán)量面密度(即環(huán)量關(guān)于面積的變化率)由定義知，環(huán)量面密度越大，流體在點(diǎn)處繞軸旋轉(zhuǎn)的速度越快對(duì)同一點(diǎn)當(dāng)轉(zhuǎn)軸的方向改變時(shí)，環(huán)量面密度也隨之

8、改變，但總有一方向使得取最大值，這就是下面要介紹的旋度概念(2)旋度定義9.3 設(shè)為向量場(chǎng)。向量場(chǎng)在點(diǎn)處的旋度為向量旋度反映了向量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)強(qiáng)約。用旋度記號(hào)，Stokes公式可寫為:【例9.6】求向量場(chǎng)的旋度解5 有勢(shì)場(chǎng)、無(wú)源場(chǎng)、調(diào)和場(chǎng)(1)有勢(shì)場(chǎng)定義9.4 設(shè)有向量場(chǎng)，若存在數(shù)值函數(shù)，使得，則稱向量場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng)，并稱為向量場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)，即假設(shè)軸與地面垂直,方向向上，我們知道質(zhì)量為的物體的重力場(chǎng)為，在高為處的勢(shì)能為，而 ，故重力場(chǎng)是有勢(shì)場(chǎng)，其勢(shì)能為重力場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)*由空間曲線與路徑無(wú)關(guān)的相關(guān)結(jié)論知，空間向量場(chǎng)在一維單連通區(qū)域中，下述命題等價(jià):(1) 是有勢(shì)場(chǎng)；(2) ；(3) 對(duì)于中任意閉路，都

9、有；(4) 與路徑無(wú)關(guān)；(5) 存在數(shù)值函數(shù)，使得(2)無(wú)源場(chǎng)若向量場(chǎng)在任一點(diǎn)的散度，則稱為無(wú)源場(chǎng)(3)無(wú)旋場(chǎng)若向量場(chǎng)在任一點(diǎn)的旋度，則稱為無(wú)旋場(chǎng)(4)調(diào)和場(chǎng)若向量場(chǎng)既是無(wú)源場(chǎng)又是無(wú)旋場(chǎng)，即，則稱為調(diào)和場(chǎng)6 向量微分算子(1)哈米爾頓算子稱向量微分算子為哈米爾頓（Hamilton）算子讀作“納普拉（Nabla）” 算子本身只是一種微分運(yùn)算符號(hào)，同時(shí)又被看作是向量，即是以為分量的向量，所以它在運(yùn)算中具有向量和微分的雙重性質(zhì)，其運(yùn)算規(guī)則是:， (9.2) (9.3)特別地，有，將此式右端記為，也記為，即，稱此為拉普拉斯（Laplace）算子， (9.4)故；這樣就將梯度、散度、旋度的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

10、算子的運(yùn)算，而所服從的微分運(yùn)算法則和向量運(yùn)算法則是我們所熟悉的這就是引進(jìn)算子的原因利用算子，高斯公式與斯托克斯公式可分別寫為：；根據(jù)的微分和向量運(yùn)算法則可證得以下梯度、散度、旋度的基本性質(zhì)(2)梯度基本性質(zhì)(1) (2) (3) (4) （這里）(3)散度基本性質(zhì)(1) (2) (3) (4) 【例9.7】已知，求解 ，故 (4)旋度基本性質(zhì)(1) (2) (3) 【例9.8】證明:證注意：此例是散度基本性質(zhì)中的(3)式，由此題證明過(guò)程知，只要充分利用的向量與微分的二重性質(zhì)，就不難推出梯度、散度與旋度的一些基本性質(zhì)習(xí)題119A類1求由下列曲線所圍成的均勻薄板的質(zhì)心坐標(biāo)：(1) (2)（）；*(

11、3)；2求下列均勻曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo)：(1)半徑為，中心角為的圓??；(2)心臟線3求邊界為下列曲面的均勻物體的質(zhì)心：(1) ；*(2) 4設(shè)一物質(zhì)曲線在點(diǎn)處它的線密度為，用第一類曲線積分分別表示：(1) 該物質(zhì)曲線關(guān)于軸與軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；(2) 該物質(zhì)曲線對(duì)位于線外點(diǎn)處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力5設(shè)螺旋形彈簧一圈的方程為它的線密度求：(1) 它關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；(2) 它的質(zhì)心*6設(shè)面密度為常數(shù)的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片占有閉區(qū)域，求它對(duì)位于軸上點(diǎn)()處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力7設(shè)均勻柱體密度為，占有閉區(qū)域，求它對(duì)于位于點(diǎn)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力8設(shè)一物質(zhì)曲面，其面密度為試用第一類曲面積分表示：*(1) 曲面對(duì)三個(gè)坐標(biāo)

12、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；(2) 曲面對(duì)位于外一點(diǎn)處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力*9求密度為常數(shù)的均勻半球殼的質(zhì)心坐標(biāo)及對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量10設(shè)，求及*11設(shè)都有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明(1) ，其中為常數(shù)；(2) (3) ；(4) ，其中是正整數(shù)12求下列向量場(chǎng)的散度:(1) ； (2) ，13求下列向量場(chǎng)沿定向閉曲線的環(huán)流量：(1) （為常數(shù)），為圓周，從軸正向看去，取逆時(shí)針?lè)较颍?*(2) ，為圓周從軸正向看去，取逆時(shí)針?lè)较?4求下列向量場(chǎng)的旋度：B類1在某設(shè)計(jì)中要在半圓形的直邊上添上一個(gè)邊與直徑等長(zhǎng)的矩形，使整個(gè)平面圖形的質(zhì)心落在圓心上，試求矩形的另一邊長(zhǎng)2求質(zhì)量均勻分布，半徑為的球面對(duì)距球心()處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引

13、力*3證明等式：，其中為物體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為物體對(duì)通過(guò)其質(zhì)心且與軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為兩軸間的距離，是物體的質(zhì)量*4利用Stokes公式把曲面積分化為曲線積分，并計(jì)算積分值，其中，為立方體的表面外側(cè)去掉面上的那個(gè)底面，是的單位法向量總 習(xí) 題 十 一1填空題(1) 設(shè)為在第一象限內(nèi)的部分，則*(2) 設(shè)為拋物線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧，則(3) 設(shè)是球面，則*(4) 設(shè)是球面的外側(cè)，則(5) 設(shè)為橢圓，其周長(zhǎng)記為，則(6) 密度為1的旋轉(zhuǎn)拋物體：（記為）繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 (7) 設(shè)，則 (8) 數(shù)量場(chǎng)的 (9) 向量場(chǎng)在點(diǎn)處的散度 2.選擇題:(1) 為從點(diǎn)到點(diǎn)的直線，則A.B.C.D.(2) 對(duì)

14、于格林公式，下列說(shuō)法正確的是A.取逆時(shí)針?lè)较?，函?shù)在閉區(qū)域上存在一階偏導(dǎo)數(shù)且；B. 取順時(shí)針?lè)较?，函?shù)在閉區(qū)域上存在一階偏導(dǎo)數(shù)且；C取逆時(shí)針?lè)较?，函?shù)在閉區(qū)域上存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)；D取順時(shí)針?lè)较?，函?shù)在閉區(qū)域上存在連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù).(3) 設(shè)其中為曲面的下側(cè)，則之值為A.；B. ；C. ；D. .(4) 設(shè):為在第一卦限中的部分，則有A.； B.； C.； D.(5) 已知為某函數(shù)的全微分，則等于A.； B.0； C.1； D.2.3.求，其中(1)為圓周的正向；*(2)為橢圓的正向； 4.設(shè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，其中具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且，計(jì)算的值解 先求。令即，解得。由得。（注意：這是一個(gè)典型的求未知函數(shù)的題目。）5.求，其中是球面外側(cè)在的部分.*6.設(shè)空間區(qū)域由曲面與平面圍成，