乘法公式競賽

1、18.乘法公式知識縱橫 乘法公式(multiplication formula)是在多項式乘法的基礎(chǔ)上,將多項式乘法的一般法則應(yīng)用于一些特殊形式的多項式相乘,得出的既有特殊性、又有實用性的具體結(jié)論，在復(fù)雜的數(shù)值計算，代數(shù)式的化簡求值、代數(shù)式的恒等變形、代數(shù)等式的證明等方面有著廣泛的應(yīng)用，在學(xué)習(xí)乘法公式時，應(yīng)該做到以下幾點： 1.熟悉每個公式的結(jié)構(gòu)特征,理解掌握公式; 2.根據(jù)待求式的特點,模仿套用公式; 3.對公式中字母的全面理解,靈活運用公式; 4.既能正用、又可逆用且能適當(dāng)變形或重新組合,綜合運用公式.例題求解 【例1】(1)已知兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差為2000,則這兩個連續(xù)奇數(shù)可以是_.

2、(江蘇省競賽題) (2)已知(2000-a)·(1998-a)=1999,那么,(2000-a)2+(1998-a)2=_. (2000年重慶市競賽題) 思路點撥 (1)建立兩個連續(xù)奇數(shù)的方程組;(2)視(2000-a)·(1998-a)為整體,由平方和想到完全平方公式(formula for the square the sum)及其變形.解:(1)設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為x,y,且x>y,則 得x+y=1000或x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499). (2)4002 提示:(2000-a)2+(1998-a)2=(2000-a)-

3、(1998-a)2+2(2000-a)·(1998-a) 【例2】若x是不為0的有理數(shù),已知M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),則M與N的大小關(guān)系是( ). (“祖沖之”杯邀請賽試題) A.M>N B.M<N C.M=N D.無法確定 思路點撥 運用乘法公式,在化簡M、N的基礎(chǔ)上,作差比較它們的大小. 解:選B 【例3】計算: (1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1; (天津市競賽題)3-1.345×0.3452. (江蘇省競賽試題) 思路點撥 若按部就班計算,顯然較繁,能否用乘法公式,簡化計算,關(guān)

4、鍵是對待求式恰當(dāng)變形,使之符合乘法公式的結(jié)構(gòu)特征,對于(2),由于數(shù)字之間有聯(lián)系,可用字母表示數(shù)(稱為換元),將數(shù)值計算轉(zhuǎn)化為式的計算,更能反映問題的本質(zhì)特征. 解:(1)原式=(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1=716 (2)設(shè)1.345=x,則原式=x(x-1)·2x-x3-x(x-1)2=-x=-1.345 【例4】(1)已知x、y滿足x2+y2+=2x+y,求代數(shù)式的值. (“希望杯”邀請賽試題) (2)整數(shù)x,y滿足不等式x2+y2+12x+2y,求x+y的值. (第14屆“希望杯”邀請賽試題)(3)同一價格的一種商品在三個商場都進行了兩次價格調(diào)整

5、.甲商場:第一次提價的百分率為a,第二次提價的百分率為b;乙商場:兩次提價的百分率都是 (a>0,b>0);丙商場:第一次提價的百分率為b,第二次提價的百分率為a,則哪個商場提價最多?說明理由. (2003年河北省競賽題) 思路點撥 對于(1)、(2)兩個未知數(shù)一個等式或不等式,須運用特殊方法與手段方能求出x、y的值,由平方和想到完全平方公式及其逆用,解題的關(guān)鍵是拆項與重組;對于(3)把三個商場經(jīng)兩次提價后的價格用代數(shù)式表示,作差比較它們的大小. 解:(1)提示:由已知得(x-1)2+(y-)2=0,得x=1,y=,原式=(2)原不等式可化為(x-1)2+(y-1)21,且x、y為

6、整數(shù),(x-1)20,(y-1)20,所以可能有的結(jié)果是或或,解得或 或 或 ,x+y=1或2或3(3)甲、乙、丙三個商場兩次提價后,價格分別為(1+a)(1+b)=1+a+b+ab;(1+)·(1+)=1+(a+b)+( )2;(1+b)(1+a)=1+a+b+ab;因()2-ab>0,所以()2>ab,故乙商場兩次提價后,價格最高. 【例5】已知a、b、c均為正整數(shù),且滿足a2+b2=c2,又a為質(zhì)數(shù). 證明: (1)b與c兩數(shù)必為一奇一偶; (2)2(a+b+1)是完全平方數(shù). 思路點撥 從a2+b2=c2的變形入手;a2=c2-b2,運用質(zhì)數(shù)、奇偶數(shù)性質(zhì)證明.解:

7、(1)因(c+b)(c-b)=a2,又c+b與c-b同奇同偶,c+b>c-b,故a不可能為偶質(zhì)數(shù)2,a應(yīng)為奇質(zhì)數(shù),c+b與c-b同奇同偶,b與c必為一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,兩式相減,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,為一完全平方數(shù).學(xué)力訓(xùn)練一、 基礎(chǔ)夯實1.觀察下列各式: (x-1)(x+1)=x2-1; (x-1)(x2+x+1)=x3-1; (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1. 根據(jù)前面的規(guī)律可得 (x-1)(xn+xn-1+x+1)=_.(2001年武漢市中考題)2.已知a2+b2+4a-2b+5=0

8、,則=_. (2001年杭州市中考題)3.計算:(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655=_; (2)19492-19502+19512-19522+19972-19982+19992=_; (3) =_.4.如圖是用四張全等的矩形紙片拼成的圖形,請利用圖中空白部分的面積的不同表示方法寫出一個關(guān)于a、b的恒等式_. (2003年太原市中考題)5.已知a+=5,則=_. (2003年菏澤市中考題) 6.已知a-b=3,b+c=-5,則代數(shù)式ac-bc+a2-ab的值為( ). A.-15 B.-2 C.-6 D.6 (2003年揚州市中考題)7.乘積(1-)(1-

9、)(1-)(1-)等于( ).A. B. C. D. (2002年重慶市競賽題)8.若x-y=2,x2+y2=4,則x2002+y2002的值是( ). A.4 B.2002 C.2 D.49.若x2-13x+1=0,則x4+ 的個位數(shù)字是( ). A.1 B.3 C.5 D.710.如圖,在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一個矩形(如圖),通過計算兩個圖形(陰影部分)的面積,驗證了一個等式,則這個等式是( ). A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a-b)2=a2-2ab+b D.(a+2b)(a-b

10、)=a2+ab-2b2 (2002年陜西省中考題)11.(1)設(shè)x+2z=3y,試判斷x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值,求出它的值;否則請說明理由. (2)已知x2-2x=2,將下式先化簡,再求值:(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1). (2003年上海市中考題)12.一個自然數(shù)減去45后是一個完全平方數(shù),這個自然數(shù)加上44后仍是一個完全平方數(shù),試求這個自然數(shù).13.觀察:1·2·3·4+1=52 2·3·4·5+1=112 3·4·5·6+1=192 (1)請寫

11、了一個具有普遍性的結(jié)論,并給出證明; (2)根據(jù)(1),計算2000·2001·2002·2003+1的結(jié)果(用一個最簡式子表示). (2001年黃岡市競賽題)二、 能力拓展14.你能很快算出19952嗎? 為了解決這個問題,我們考察個位上的數(shù)字為5的自然數(shù)的平方,任意一個個位數(shù)為5的自然數(shù)可寫在10n+5(n為自然數(shù)),即求(10n+5)2的值,試分析n=1,n=2,n=3,這些簡單情形,從中探索其規(guī)律,并歸納猜想出結(jié)論. (1)通過計算,探索規(guī)律.152=225可寫成100×1×(1+1)+25;252=625可寫成100×2&#

12、215;(2+1)+25;352=1225可寫成100×3×(3+1)+25;452=2025可寫成100×4×(4+1)+25;752=5625可成寫_;852=7225可寫成_. (2)從第(1)題的結(jié)果,歸納,猜想得(10n+5)2=_. (3)根據(jù)上面的歸納猜想,請算出19952=_. (福建省三明市中考題)15.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z=_.(2001天津市選撥賽試題)16.(1)若x+y=10,x3+y3=100,則x2+y2=_. (2)若a-b=3,則a3-b3-9ab=_.17.1,2,3,98共9

13、8個自然數(shù)中,能夠表示成兩整數(shù)的平方差的個數(shù)是_. (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)18.已知a-b=4,ab+c2+4=0,則a+b=( ). A.4 B.0 C.2 D.-219.方程x2-y2=1991,共有( )組整數(shù)解. A.6 B.7 C.8 D.920.已知a、b滿足等式x=a2+b2+20,y=4(2b-a),則x、y的大小關(guān)系是( ). A.xy B.xy C.x<y D.x>y (2003年太原市競賽題)21.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,則多項式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值為( ). A.0 B.1 C.2

14、 D.3 (2002年全國初中數(shù)學(xué)競賽題)22.設(shè)a+b=1,a2+b2=2,求a7+b7的值. (西安市競賽題)23.已知a滿足等式a2-a-1=0,求代數(shù)式a8+7a-4的值. (2003年河北省競賽題) 24.若x+y=a+b,且x2+y2=a2+b2,求證:x1997+y1997=a1997+b1997. (北京市競賽題) 三、綜合創(chuàng)新25.有10位乒乓球選手進行單循環(huán)賽(每兩人間均賽一場),用x1,y1順次表示第一號選手勝與負的場數(shù);用x2,y2順次表示第二號選手勝與負的場數(shù),;用x10,y10順次表示十號選手勝與負的場數(shù).求證:x12+x22+x102=y12+y22+y102.2

15、6.(1)請觀察: 25=52 1225=352 112225=3352 11122225=33352 寫出表示一般規(guī)律的等式,并加以證明. (2)26=52+12,53=72+22,26×53=1378,1378=372+32. 任意挑選另外兩個類似26、53的數(shù),使它們能表示成兩個平方數(shù)的和,把這兩個數(shù)相乘,乘積仍然是兩個平方數(shù)的和嗎?你能說出其中的道理嗎?設(shè)（2x-1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，求：（1）f的值；（2）a+b+c+d+e+f的值；（3）a+c+e的值若(3x+1)5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f,則a-b+c-d+e-f的值是3、

16、若a+2b+3c=12，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，則a+b2+c3= .5、對于正數(shù)x，規(guī)定f（x）= ,例如f（3）=，f（）=，計算f（）+ f（）+ f（）+ f（）+ f（x）+ f（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）= .答案1.xn+1-1 2.- 3.(1)4;(2)3897326;(3) 4.(a+b)2-4ab=(a-b)2 5.24 6.C7.D 提示;逆用平方差公式,分解相約 8.C 提示:由已知條件得xy=09.D 提示:x0,由條件得x+=13,x4+=(x2+)2-2=(x+)2-22-2

17、10.A11.(1)定值為0 提示:由條件得x-3y=-2z,原式=(x-3y)·(x+3y)+4z2+4xz=-2z·(x+3y)+4z2+4xz=4z2+2xz-6yz=4z2+2z(x-3y)=0 (2)原式=3x2-6x-5=3(x2-2x)-5=1.12.提示:設(shè)這個自然數(shù)為x,由題意得 -得n2-m2=89 即(n+m)(n-m)=89×1 從而 ,解得 (m,n都為自然數(shù)) 故 x=45-44=1981.13.(1)對于自然數(shù)n,有n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2,證明略. (2)由(1)得原式=(20002+3×

18、2000+1)2=4006001214.(1)100×7×(7+1)+25;100×8×(8+1)+25. (2)(10n+5)2=10n(n+1)+25 (3)19952=(10×199+5)2=10×199×(199+1)+25=398002515.2 16.(1)40 提示:x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)(x+y)2-3xy;(2)27.17.73 提示:x=n2-m2=(n+m)(n-m)(1m<n98,m,n為整數(shù)),因n+m與n-m的奇偶性相同,故x是奇數(shù)或是4的倍數(shù).18.B 提示:把a=b+4代入ab+c2+4=0得(b+2)2+c2=019.C 提示:(x+y)(x-y)=1×1991=11×181=(-1)×(-1991)=(-11)×(-181)20.B 提示:x-y=(a+2)2+(b-4)2021.D 提示:原式=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)222. 提示:由a+b=1,a2+b2=2,得ab=-,利用an+1+bn+1=(an+bn)(a+