人教版九年級上冊一元二次方程知識點(diǎn)總結(jié)及典型習(xí)題

1、 一元二次方程一、本章知識結(jié)構(gòu)框圖實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題設(shè)未知數(shù)，列方程實(shí)際問題的答案數(shù)學(xué)問題的解解 方 程降 次開平方法配方法公式法分解因式法檢 驗(yàn)二、具體內(nèi)容（一）、一元二次方程的概念1理解并掌握一元二次方程的意義 未知數(shù)個(gè)數(shù)為1，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，整式方程，可化為一般形式；2正確識別一元二次方程中的各項(xiàng)及各項(xiàng)的系數(shù) （1）明確只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)時(shí)，整式方程才是一元二次方程。 （2）各項(xiàng)的確定(包括各項(xiàng)的系數(shù)及各項(xiàng)的未知數(shù)). （3）熟練整理方程的過程3 一元二次方程的解的定義與檢驗(yàn)一元二次方程的解4 列出實(shí)際問題的一元二次方程（二）、一元二次方程的解法1明確一元二次方程是以降次為目的，以配方

2、法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；2 根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3體會不同解法的相互的聯(lián)系；4值得注意的幾個(gè)問題：(1)開平方法：對于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，可用開平方法求解.形如的方程的解法：當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。（2）配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為的方程，再運(yùn)用開平方法求解。配方法的一般步驟：移項(xiàng)：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；“系數(shù)化1”：根據(jù)

3、等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變形為的形式；求解：若時(shí)，方程的解為，若時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解。（3）公式法：一元二次方程的根當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，寫為；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式；確定的值；代入中計(jì)算其值，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根；若代入求根公式求值，否則，原方程無實(shí)數(shù)根。（因?yàn)檫@樣可以減少計(jì)算量。另外，求根公式對于任何一個(gè)一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。）（4）因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個(gè)因式的積等于0

4、，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)為0，即：若，則；因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個(gè)因式都為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解。（5）選用適當(dāng)方法解一元二次方程對于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡便的多，只不過應(yīng)注意二次根式的化簡問題。方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項(xiàng)系數(shù)，以確定方程的類型；（2）對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分

5、解的可選用別的方法，此時(shí)一定不要忘記對字母的取值進(jìn)行討論。（三）、根的判別式1了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（1）=（2）根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程（）當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根；（當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；）當(dāng)方程無實(shí)數(shù)根； 從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2常見的問題類型（1）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況（2）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（3）應(yīng)用判別式，證明一元二次方程根的情況先計(jì)算出判別式（關(guān)鍵步

6、驟）；用配方法將判別式恒等變形；判斷判別式的符號；總結(jié)出結(jié)論.例：求證：方程無實(shí)數(shù)根。（4）分類討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時(shí)未指明是二次方程，后面也未指明兩個(gè)根，那一定要對方程進(jìn)行分類討論，如果二次系數(shù)為0，方程有可能是一元一次方程；如果二次項(xiàng)系數(shù)不為0，一元二次方程可能會有兩個(gè)實(shí)數(shù)根或無實(shí)數(shù)根。（5）一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式（組）等知識綜合命題，解答時(shí)要在全面分析的前提下，注意合理運(yùn)用代數(shù)式的變形技巧（6）一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合（7）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題（四）、一元二次方程的應(yīng)用1.數(shù)字問題：解答這類問題要能正確地用代數(shù)式表示出多

7、位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式。2.幾何問題：這類問題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或法則來尋找等量關(guān)系，構(gòu)建方程，對結(jié)果要結(jié)合幾何知識檢驗(yàn)。3.增長率問題（下降率）：在此類問題中，一般有變化前的基數(shù)（），增長率（），變化的次數(shù)（），變化后的基數(shù)（）,這四者之間的關(guān)系可以用公式表示。4.其它實(shí)際問題（都要注意檢驗(yàn)解的實(shí)際意義，若不符合實(shí)際意義，則舍去）。（五）新題型與代幾綜合題（1）有100米長的籬笆材料，想圍成一矩形倉庫，要求面積不小于600平方米，在場地的北面有一堵50米的舊墻，有人用這個(gè)籬笆圍成一個(gè)長40米、寬10米的倉庫，但面積只有400平方米，不合要求，問應(yīng)如何設(shè)計(jì)矩形的長與寬才能符

8、合要求呢？（2）讀詩詞解題（列出方程，并估算出周瑜去世時(shí)的年齡）：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物，而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù)，十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符，哪位學(xué)子算得準(zhǔn)，多少年華屬周瑜？（36歲）(3) 已知：分別是的三邊長，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求證：是直角三角形。（4） 已知：分別是的三邊長，求證：方程沒有實(shí)數(shù)根。（5） 當(dāng)是什么整數(shù)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程與的根都是整數(shù)？（）（6）已知關(guān)于的方程，其中為實(shí)數(shù)，（1）當(dāng)為何值時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根？（2）當(dāng)為何值時(shí)，方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根？求出這三個(gè)實(shí)數(shù)根。答案：（1）（2）.（六）相關(guān)練習(xí)（一） 一元二次方程

9、的概念1一元二次方程的項(xiàng)與各項(xiàng)系數(shù)把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再寫出二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)：（1） （2） （3） （4） （5） 2應(yīng)用一元二次方程的定義求待定系數(shù)或其它字母的值 (1) 為何值時(shí)，關(guān)于的方程是一元二次方程。（）（2） 若分式，則 （）3由方程的根的定義求字母或代數(shù)式值(1)關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為0，則 （）(2) 已知關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為1，一個(gè)根為，則 ， （0，0） （3） 已知c為實(shí)數(shù)，并且關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根的相反數(shù)是方程的一個(gè)根，求方程的根及c的值。 （0，-3， c=0）（二）一元二次方程的解法1開平方法解下列方程：（1） （） （

10、2） （）（3） （原方程無實(shí)根） （4） （）2配方法解方程：（1） （） （2） （）3公式法解下列方程：（1） （） （2） （）（3） （） （4） （原方程無實(shí)數(shù)根）4因式分解法解下列方程：（1）（） （2）（）（3） （） （4） （）（5） （） （6）（）5解法的靈活運(yùn)用（用適當(dāng)方法解下列方程）：（1） （） （2）（）6解含有字母系數(shù)的方程（解關(guān)于x的方程）：（1） () （2） （討論a）（三）一元二次方程的根的判別式1不解方程判別方程根的情況：（1）4（有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根） （2） （無實(shí)數(shù)根）（3） （有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根）2為何值時(shí)，關(guān)于x的二次方程（1）有兩個(gè)不等的實(shí)

11、數(shù)根 （）（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （）（3）無實(shí)數(shù)根 （）3已知關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根求的值和這個(gè)方程的根 (或)4 若方程有實(shí)數(shù)根，求：正整數(shù)a. （）5 對任意實(shí)數(shù)m，求證：關(guān)于x的方程無實(shí)數(shù)根.6 為何值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根.（當(dāng)時(shí)，原方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，；當(dāng)時(shí)，解得，所以當(dāng)且時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根.）7 設(shè)為整數(shù)，且時(shí)，方程有兩個(gè)相異整數(shù)根，求的值及方程的根。（當(dāng)=12時(shí)，方程的根為；當(dāng)=24時(shí)，方程的根為）（四）一元二次方程的應(yīng)用1已知直角三角形三邊長為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長和面積.（3，4，5，面積為6）2一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字少4，

12、且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小4，求這個(gè)兩位數(shù).（84）3 某印刷廠在四年中共印刷2019萬冊書，已知第一年印刷了342萬冊，第二年印刷了500萬冊，如果以后兩年的增長率相同，那么這兩年各印刷了多少萬冊？ (550, 605)4 某人把5000元存入銀行，定期一年到期后取出300元，將剩余部分（包括利息）繼續(xù)存入銀行，定期還是一年，且利率不變，到期如果全部取出，正好是275元，求存款的年利率？（不計(jì)利息稅） （10）5 某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)降價(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商

13、場每天可多售出2件，若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？ （20元）6 已知甲乙兩人分別從正方形廣場ABCD的頂點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，甲由C向D運(yùn)動(dòng)，乙由B向C運(yùn)動(dòng)，甲的速度為每分鐘1千米，乙的速度每分鐘2千米，若正方形廣場周長為40千米，問幾分鐘后，兩人相距千米？ (2分鐘后) 7某科技公司研制一種新產(chǎn)品，決定向銀行貸款200萬元資金，用于生產(chǎn)這種產(chǎn)品，簽訂的合同上約定兩年到期時(shí)一次性還本付息,利息為本金的8%,該產(chǎn)品投放市場后由于產(chǎn)銷對路,使公司在兩年到期時(shí)除還清貸款的本金和利息外,還盈余72萬元,若該公司在生產(chǎn)期間每年比上一年資金增長的百分?jǐn)?shù)相同,試求這個(gè)百分?jǐn)?shù). (20%)8如圖，東西和南北向兩條街道交于O點(diǎn)，甲沿東西道由西向東走，速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3米，當(dāng)乙通過