初中論證幾何教學(xué)的基本策略

1、.初中論證幾何教學(xué)的根本策略金曄隨著素質(zhì)教育的深化與課程改革的施行，初中幾何課程發(fā)生了很大的變化。從其內(nèi)容呈現(xiàn)的構(gòu)造上看，新課程將初中幾何內(nèi)容分為圖形認(rèn)識、圖形與變換、圖形與坐標(biāo)、圖形與證明四大模塊；從其研究方法上看，新課程將初中幾何分為實(shí)驗(yàn)幾何與論證幾何。新課程施行以來，對于幾何課程構(gòu)造、教學(xué)內(nèi)容、研究方式，多數(shù)老師經(jīng)歷了由誤解到理解、由陌生到熟悉、由不適應(yīng)到逐漸適應(yīng)的過程。到目前為止，應(yīng)該說多數(shù)老師對新課程中幾何教學(xué)的新理念、新要求、新方法都可以很好地理解和運(yùn)用；然而，不容無視的問題是，部分老師對論證幾何教學(xué)認(rèn)識缺乏、重視不夠，還有部分老師對論證幾何教學(xué)的方式、方法運(yùn)用不當(dāng)，影響了課堂教學(xué)

2、效果，制約了學(xué)生邏輯推理才能的開展，影響了學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)。雖然新課程中對論證幾何的內(nèi)容進(jìn)展了調(diào)整，難度要求降低，證明技巧淡化，但對幾何教學(xué)的最根本才能要求并沒有降低。?數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)?中明確指出：在“圖形與幾何的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理才能。為了更好地落實(shí)新課程的目的、培養(yǎng)學(xué)生的推理才能、發(fā)揮幾何教學(xué)在數(shù)學(xué)教育中的作用，筆者對論證幾何教學(xué)進(jìn)展了較深化的考慮，并結(jié)合自己的教學(xué)理論，總結(jié)、提煉、概括出論證幾何教學(xué)的一些根本策略。一、文字語言符號化所謂文字語言符號化就是將文字語言向符號語言轉(zhuǎn)化。幾何教學(xué)有三種不同形式的語言，即圖形語言、文字語言和符號語言。教學(xué)中不僅

3、要讓學(xué)生掌握這三種語言，還要培養(yǎng)學(xué)生對三種語言互相轉(zhuǎn)化的才能。由于這三種語言的特點(diǎn)不同，在幾何教學(xué)中各自發(fā)揮的作用也不同。圖形語言形象、直觀，能幫助學(xué)生認(rèn)識問題和理解問題；文字語言抽象、概括，對圖形本身及圖形中所蘊(yùn)含的關(guān)系能予以準(zhǔn)確地描繪和解釋，對幾何的定義、公理、定理、命題等內(nèi)容能予以準(zhǔn)確地表達(dá)；而符號語言那么是對文字語言的簡化和再次抽象，具有更強(qiáng)的抽象性。在三種語言中符號語言是幾何初學(xué)者最難掌握的一種，也是邏輯推理必備的才能根底。目前，對于初中階段推理才能的培養(yǎng)要求是循序漸進(jìn)的，由開場的“說明理由到“說理“簡單推理，到最后的“符號表示推理，為了讓學(xué)生更好地掌握“符號表示推理，老師在教學(xué)過程

4、中應(yīng)不失時機(jī)地引導(dǎo)他們將定義、公理、定理、命題等文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，培養(yǎng)學(xué)生文字語言符號化的意識，訓(xùn)練學(xué)生文字語言符號化的才能，只有這樣才能為論證幾何的后續(xù)學(xué)習(xí)建立良好的根底。二、條件圖形化所謂條件圖形化就是用各種不同的符號將條件在圖形中直觀地表示出來。在幾何教學(xué)中，雖然注重了圖形語言、文字語言及符號語言間的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練，但學(xué)生在解決問題時仍然存在題、圖分家現(xiàn)象，特別是處理較為復(fù)雜的問題時學(xué)生“看圖忘條件這種現(xiàn)象表現(xiàn)得更為突出。為了讓學(xué)生能很好地將題和圖有機(jī)統(tǒng)一，教學(xué)中可采用各種不同的符號將條件在圖形中表示出來，使條件更直觀，實(shí)現(xiàn)條件與圖形的有機(jī)交融，從而抑制“看圖忘條件的現(xiàn)象發(fā)生。例1如圖1

5、，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C。求證：A=D。圖1圖2可將條件圖形化，如圖2所示。通常相等的線段可以分別用一杠、兩杠、三杠等記號對應(yīng)表示出來，相等的角可以分別用點(diǎn)、叉、弧等記號對應(yīng)表示出來，兩直線平行可以用同向箭頭對應(yīng)表示出來，兩直線互相垂直可以用直角符號對應(yīng)表示出來，等等。教學(xué)中可以用特有的記號將條件在圖形中直觀地表示出來，不僅起到使條件直觀的作用，同時也起到暗示提醒的作用，有利于問題的有效解決。三、分析過程綜合化所謂分析過程綜合化就是指分析問題時從出發(fā)，結(jié)論入手，結(jié)合圖形進(jìn)展問題解決。在幾何論證問題的分析過程中，通常使用兩種邏輯思維方法，即綜合法和分析法。所謂綜合法是指

6、從問題的條件出發(fā)，尋求其結(jié)論的方法。綜合法的特點(diǎn)是從看可知，逐步推出未知。所謂分析法是指從問題的結(jié)論出發(fā)，尋求其成立條件的方法。分析法的特點(diǎn)是從未知看需知，逐步靠近。對于一些思維過程比較簡單的問題，采用分析法或綜合法都可以順利解決問題，但對于思維過程相對復(fù)雜的問題，單一地使用其中的一種方法都顯得無能為力，只有將二者結(jié)合起來，從出發(fā)，從結(jié)論入手，結(jié)合圖形，尋找出解決問題的一個接洽點(diǎn)，進(jìn)而到達(dá)解決問題的目的。例2如圖3，分別以ABC的邊AB，AC為直角邊向ABC外部作等腰直角三角形BDA和CEA，點(diǎn)P，M，N分別為BC，BD，EC的中點(diǎn)。圖3求證：PM=PN。假如從條件“BDA和CEA是等腰直角三

7、角形出發(fā)就可以直接得到結(jié)論：AB=AD，AC=AE及BAD=CAE=90?/SPAN，再根據(jù)已有的解題經(jīng)歷，又顯而易見ADCABE，從而可以得到ADC和ABE的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。這道題假如從結(jié)論P(yáng)M=PN入手，實(shí)際上，就是從未知看需知。由于PM和PN分別是BDC和CBE的中位線，所以只需證CD=BE即可。從條件出發(fā)我們可以得到CD=BE，從結(jié)論入手我們需要CD=BE，這樣我們就找到了思維結(jié)點(diǎn)，使這個問題得到順利解決。在分析問題時，采用分析過程綜合化的策略，不僅可以使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)根本的思維方法，同時培養(yǎng)了學(xué)生的思維才能，進(jìn)步了學(xué)生解決問題的程度。四、解題方法多樣化所謂解題方法多樣化是指在同

8、一問題的解決過程中，鼓勵學(xué)生進(jìn)展獨(dú)立考慮，用合適自己且科學(xué)合理的方法解決問題，從而在群體中盡可能出現(xiàn)多樣化的問題解決方法。在長期教學(xué)理論中，多數(shù)老師比較重視一題多法，讓每一名學(xué)生獲得多種解決問題的方法，但解題方法多樣化與一題多法是有所不同的。解題方法多樣化主要是關(guān)注學(xué)生個體的獨(dú)立考慮過程，關(guān)注學(xué)生群體的解題方法多樣，解題方法多樣化要盡可能地保證學(xué)生獨(dú)立考慮的質(zhì)量。首先，要保證學(xué)生獨(dú)立考慮的時間，有了充分的時間，學(xué)生的思維才能充分活動起來，進(jìn)而對有用信息進(jìn)展分析、綜合和科學(xué)加工，這樣學(xué)生的獨(dú)立考慮才能有相應(yīng)的考慮結(jié)果。其次，要保證在有限的課堂時間內(nèi)學(xué)生的思維得到較大的開展，老師就應(yīng)給學(xué)生搭建合作

9、、研討、交流的平臺和空間，開拓學(xué)生的思維途徑，獲得多種解決問題的思路和方案，進(jìn)步學(xué)生的思維才能，進(jìn)而進(jìn)步思維程度。在幾何教學(xué)中，存在大量的素材可以實(shí)現(xiàn)解題方法多樣化，這里就不再舉例。總之，解題方法多樣化策略有利于學(xué)生個體思維才能的開展，有利于學(xué)生創(chuàng)新意識的形成；同時，解題方法多樣化策略也有利于轉(zhuǎn)變老師的教學(xué)方式，開闊老師的視野，豐富老師的教學(xué)經(jīng)歷，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長的良性效果。五、復(fù)雜圖形根本化所謂復(fù)雜圖形根本化就是將復(fù)雜的幾何圖形轉(zhuǎn)化為一些根本圖形。幾何教學(xué)離不開幾何圖形，幾何問題中所涉及的幾何圖形有根本圖形和復(fù)雜圖形，而這些復(fù)雜圖形又都是由一些根本圖形復(fù)合而成。不管遇到什么樣的復(fù)雜幾何問題，只要

10、可以擅長發(fā)現(xiàn)根本圖形，并純熟掌握這些根本圖形的構(gòu)成、形式及其性質(zhì)，就能使模糊問題明晰化、復(fù)雜問題簡單化。幾何中每個定義、定理、公理都對應(yīng)著一個根本圖形，除了掌握這些最根本的圖形外，還要掌握定義、定理、公理之外的常用圖形，如圖4中的根本圖形a、根本圖形b、根本圖形c、根本圖形d。圖5包含了根本圖形a，圖6包含了根本圖形b，圖7包含了根本圖形c，圖8包含了根本圖形d。圖4圖5圖6圖7圖8當(dāng)然，還有很多根本圖形，在此不一一例舉。利用這些根本圖形及其性質(zhì)能比較有效地解決一些復(fù)雜問題，采用復(fù)雜圖形根本化的策略，一般都會獲得事半功倍的效果。六、圖形變換手段化所謂圖形變換手段化就是將圖形變換作為探究解題思路

11、、發(fā)現(xiàn)解題方法的一種手段。新課程下的初中數(shù)學(xué)增加了圖形變換的內(nèi)容，特別是平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱三種全等變換為學(xué)生解決幾何問題翻開了一扇找到解題思路和方法的窗戶。平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱三種變換的共同特點(diǎn)是改變圖形位置的同時，保證圖形變換前后的對應(yīng)元素的大小不發(fā)生變化。平移可以將圖形的各元素沿著某一方向平行挪動，旋轉(zhuǎn)可以將圖形的各元素繞著某一點(diǎn)沿著順時針或逆時針的方向轉(zhuǎn)動，軸對稱可以將圖形的各元素沿著某條直線翻轉(zhuǎn)180?/SPAN。平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱三種變換在幾何問題中各自發(fā)揮不同的作用。例3如圖9所示，在正方形ABCD中，E在BC邊上挪動，EAF=45?/SPAN，AF交CD于F，連接EF。求證：EF=

12、BE+DF。圖9這道題對大多數(shù)學(xué)生來說解決起來是比較困難的，因?yàn)樾枰砑虞o助線。如何添加輔助線是幾何教學(xué)的難點(diǎn)，要證EF=BE+DF，就需要將分散的線段BE，DF集中到一起，假如恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換，將ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90?/SPAN，如圖10所示，就可將BE和DF轉(zhuǎn)化到同一直線上，得到線段BE與DF的和，進(jìn)而將三條線段EF，BE，DF構(gòu)造到一對全等三角形中。于是就輕而易舉地得到如下輔助線引法和證明思路：延長CB到M，使BM=DF，連接AM，如圖11，可得ME=BE+DF，于是只要證明AEMAEF，問題就迎刃而解了。圖10圖11可見，將圖形變換作為探究解題思路、發(fā)現(xiàn)解題方法的一種手段是論證

13、幾何教與學(xué)的重要策略之一，把握好平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的特征，恰當(dāng)?shù)乩闷揭?、旋轉(zhuǎn)和軸對稱變換能大大進(jìn)步學(xué)生解題的才能，有利于學(xué)生空間想象力的形成與開展。七、問題設(shè)計(jì)開放化所謂問題設(shè)計(jì)開放化就是改變常規(guī)封閉問題的呈現(xiàn)形式，不直接給出問題的結(jié)論或使問題的條件不完備，問題的結(jié)論由學(xué)生設(shè)計(jì)或問題的條件由學(xué)生探究完成。問題設(shè)計(jì)開放化表達(dá)了新課程理念，表達(dá)了老師以學(xué)生為中心的教學(xué)觀。老師要注意開放度，既要大膽地“放，把時間留給學(xué)生，讓學(xué)生有時機(jī)去嘗試問題設(shè)計(jì)，又要擅長把握全局，但凡學(xué)生能提的問題，老師決不代替；但凡學(xué)生能考慮的問題，老師決不暗示；但凡學(xué)生能解決的問題，老師決不插手，真正做到適時而“放，進(jìn)步“

14、放的整體效率。問題的設(shè)計(jì)開放化可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，有效地激發(fā)學(xué)生敢于考慮問題、主動參與知識的建構(gòu)過程，有利于激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲；問題設(shè)計(jì)開放化可以改變原有的封閉思維形式，促進(jìn)學(xué)生思維的開展。例4如圖12，P為RtABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)不在直線AC上，ACB=90?/SPAN，M為AB邊中點(diǎn)。操作：以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連接PM并延長到點(diǎn)E，使ME=PM，連接DE。圖12探究：請猜測與線段DE有關(guān)的三個結(jié)論，并給予證明。此題將問題設(shè)計(jì)的時機(jī)留給學(xué)生，讓學(xué)生展開合理的聯(lián)想，并根據(jù)自己的認(rèn)知起點(diǎn)和學(xué)習(xí)經(jīng)歷，從多角度、多方位、多層次進(jìn)展考慮，既表達(dá)了學(xué)生的個性化學(xué)習(xí)，又表達(dá)

15、了學(xué)生之間的合作學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生良好思維品質(zhì)的形成。八、問題結(jié)論推廣化所謂問題結(jié)論推廣化就是將某些特殊條件下成立的結(jié)論，推廣為一般條件下成立的結(jié)論。在問題結(jié)論推廣化的過程中，不僅教給學(xué)生歸納推理、類比推理的方法，還要向?qū)W生浸透由特殊到一般的思想。在問題結(jié)論推廣的過程中，老師要防止越俎代庖的現(xiàn)象發(fā)生，應(yīng)盡力讓學(xué)生經(jīng)歷歸納和類比、猜測和發(fā)現(xiàn)、探究和證明等過程，讓學(xué)生成為問題推廣的真正主體，讓學(xué)生體會到有許多變化的條件和圖形中往往蘊(yùn)含著恒定不變的幾何規(guī)律。在問題推廣的學(xué)習(xí)過程中，往往學(xué)生收獲的不僅僅是學(xué)會一個問題，而是學(xué)會一類問題，這樣學(xué)生就可以跳出題海，進(jìn)步學(xué)習(xí)效率，從而減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。例5如

16、圖131、132、13m是邊長均大于2的三角形、四邊形凸n邊形。分別以它們的各頂點(diǎn)為圓心，以1為半徑畫弧與兩鄰邊相交，得到3條弧、4條弧n條弧。1圖131中3條弧的弧長的和為_，圖132中4條弧的弧長的和為_；2求13m中n條弧的弧長的和用n表示。圖13問題結(jié)論推廣的例子很多，老師在平時教學(xué)中應(yīng)反復(fù)去引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)展聯(lián)想、類比、探究、發(fā)現(xiàn)、證明，讓學(xué)生逐漸形成問題結(jié)論推廣的意識當(dāng)然，不是所有的問題都能推廣。掌握問題結(jié)論推廣化策略將有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)步學(xué)習(xí)效率，形成創(chuàng)新意識，進(jìn)步創(chuàng)新才能。宋以后，京師所設(shè)小學(xué)館和武學(xué)堂中的老師稱謂皆稱之為“教諭。至元明清之縣學(xué)一律循之不變。明朝入選翰林院的進(jìn)士之師稱“教習(xí)。到清末，學(xué)堂興起，各科老師仍沿用“教習(xí)一稱。其實(shí)“教諭在明清時還有學(xué)官一意，即主管縣一級的教育生員。而相應(yīng)府和州掌管教育生員者那么謂“教授和“學(xué)正?！敖淌凇皩W(xué)正和“教諭的副手一律稱“訓(xùn)導(dǎo)。于民間，特別是漢代以后，對于在“?；颉皩W(xué)中傳授經(jīng)學(xué)者也稱為“經(jīng)師。在一些特定的講學(xué)場合，比方書院、皇室，也稱老師為“院長、西席、講席等。一般