偏微分方程數(shù)值解例題答案

1、二、改進(jìn)的Euler方法梯形方法的迭代公式(1.10)比Euler方法精度高,但其計(jì)算較復(fù)雜,在應(yīng)用公式(1.10)進(jìn)行計(jì)算時(shí),每迭代一次,都要重新計(jì)算函數(shù)的值,且還要判斷何時(shí)可以終止或轉(zhuǎn)下一步計(jì)算.為了控制計(jì)算量和簡(jiǎn)化計(jì)算法,通常只迭代一次就轉(zhuǎn)入下一步計(jì)算.具體地說,我們先用Euler公式求得一個(gè)初步的近似值,稱之為預(yù)測(cè)值,然后用公式(1.10)作一次迭代得,即將校正一次.這樣建立的預(yù)測(cè)校正方法稱為改進(jìn)的Euler方法:預(yù)測(cè): 校正: (1.15)這個(gè)計(jì)算公式也可以表示為例1 取步長(zhǎng)，分別用Euler方法及改進(jìn)的Euler方法求解初值問題解 這個(gè)初值問題的準(zhǔn)確解為. 根據(jù)題設(shè)知(1) Eul

2、er方法的計(jì)算式為由, 得 這樣繼續(xù)計(jì)算下去，其結(jié)果列于表9.1.(2) 改進(jìn)的Euler方法的計(jì)算式為由，得這樣繼續(xù)計(jì)算下去，其結(jié)果列于表9.1.表9.1Euler方法改進(jìn)的Euler方法準(zhǔn)確值0.10.90000000.90095000.90062350.20.80190000.80526320.80463110.30.70884910.71532790.71442980.40.62289020.63256510.63145290.50.54508150.55761530.55634600.60.47571770.49055100.48918000.70.41456750.43106810

3、.42964450.80.36108010.37863970.37720450.90.31454180.33262780.33121291.00.27418330.29235930.2909884從表9.1可以看出,Euler方法的計(jì)算結(jié)果只有2位有效數(shù)字,而改進(jìn)的Euler方法確有3位有效數(shù)字,這表明改進(jìn)的Euler方法的精度比Euler方法高.例2 試用Euler方法、改進(jìn)的Euler方法及四階經(jīng)典R-K方法在不同步長(zhǎng)下計(jì)算初值問題在0.2、0.4、0.8、1.0處的近似值，并比較它們的數(shù)值結(jié)果.解 對(duì)上述三種方法,每執(zhí)行一步所需計(jì)算的次數(shù)分別為1、2、4。為了公正起見，上述三種方法的步長(zhǎng)

4、之此應(yīng)為。因此，在用Euler方法、改進(jìn)的Euler方法及四階經(jīng)典R-K方法計(jì)算0。2、0。4、0。8、1。0處的近似值時(shí)，它們的步長(zhǎng)應(yīng)分別取為0。05、0。1、0。2，以使三種方法的計(jì)算量大致相等。Euler方法的計(jì)算格式為改進(jìn)的Eluer方法的計(jì)算格式為四階經(jīng)典R-K方法的計(jì)算格式為初始值均為，將計(jì)算結(jié)果列于表9.2.表9.2Euler方法（步長(zhǎng)h=0.05）改進(jìn)的Euler方法（步長(zhǎng)h=0.1）四階經(jīng)典R-K方法（步長(zhǎng)h=0.2）準(zhǔn)確解0.20.80318660.80526320.80463630.80463110.40.62717770.63256510.63146530.631452

5、90.60.48255860.49055100.48919790.48918000.80.36930360.37863970.37722490.37720451.00.28274820.29235930.29100860.2909884從表9.2可以看出，在計(jì)算量大致相等的情況下，Euler方法計(jì)算的結(jié)果只有2位有效數(shù)字，改進(jìn)的Euler方法計(jì)算的結(jié)果有3位有效數(shù)字，而四階經(jīng)典R-K方法計(jì)算的結(jié)果卻有5位有效數(shù)字，這與理論分析是一致的。例1和例2的計(jì)算結(jié)果說明，在解決實(shí)際問題時(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)乃惴ㄊ欠浅１匾?。需要指出的是Runge-Kutta方法的基于Taylor展開法，因而要求解具有足夠的光滑

6、性。如果解的光滑性差，使用四階Runge-Kutta方法求得數(shù)值解的精度，可能不如改進(jìn)的Euler方法精度高。因此，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，要根據(jù)具體問題的特性，選擇合適的算法。一、應(yīng)用向前歐拉法和改進(jìn)歐拉法求由如下積分所確定的函數(shù)y在點(diǎn)x =0.5,1.0,1.5的近似值。解：該積分問題等價(jià)于常微分方程初值問題其中h=0.5。其向前歐拉格式為改進(jìn)歐拉格式為將兩種計(jì)算格式所得結(jié)果列于下表向前歐拉法改進(jìn)歐拉法000010.50.50.4447021.00.889400.7313731.51.073340.84969二、應(yīng)用4階4步阿達(dá)姆斯顯格式求解初值問題 取步長(zhǎng)h=0.1.解：4步顯式法必須有4個(gè)起步值

7、，已知，其他3個(gè)用4階龍格庫(kù)塔方法求出。本題的信息有：步長(zhǎng)h=0.1；結(jié)點(diǎn)；經(jīng)典的4階龍格庫(kù)塔公式為算得,4階4步阿達(dá)姆斯顯格式由此算出三、用Euler方法求問步長(zhǎng)應(yīng)該如何選取，才能保證算法的穩(wěn)定性？解：本題本題的絕對(duì)穩(wěn)定域?yàn)榈?，故步長(zhǎng)應(yīng)滿足求梯形方法的絕對(duì)穩(wěn)定域。證明：將Euler公式用于試驗(yàn)方程，得到整理設(shè)計(jì)算時(shí)有舍入誤差，則有據(jù)穩(wěn)定性定義，要想，只須因此方法絕對(duì)穩(wěn)定域?yàn)閺?fù)平面的整個(gè)左半平面（？），是A-穩(wěn)定的。五、對(duì)初值問題 證明：用梯形公式求得的數(shù)值解為并證明當(dāng)步長(zhǎng)時(shí)，收斂于該初值問題的精確解證明：由梯形公式，有整理，得由此遞推公式和初值條件，有，則有在區(qū)間上有，步長(zhǎng)，由前面結(jié)果有由x

8、的任意性，得所證。六、對(duì)于微分方程，已知在等距結(jié)點(diǎn)處的y的值為，h為步長(zhǎng)。試建立求的線性多步顯格式與與隱格式。解：取積分區(qū)間，對(duì)兩端積分：對(duì)右端作的二次插值并積分得到線性4步顯格式若對(duì)右端在兩點(diǎn)上作線性插值并積分，有由此產(chǎn)生隱格式七、證明線性多步法存在的一個(gè)值，使方法是4階的。解： 由本題的公式，有 當(dāng)=9時(shí)，局部截?cái)嗾`差是4階的，故該多步法是4階方法。數(shù)值積分習(xí)題解答說明 1.確定下列求積公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精度盡可能高，并指出對(duì)應(yīng)的代數(shù)精度（1）（2）（3）（4）6.若用復(fù)化梯形公式計(jì)算問區(qū)間0,1應(yīng)分成多少等份才能使截?cái)嗾`差不超過 ？若用復(fù)化辛普森公式，要達(dá)到同樣的精度，區(qū)間0,1應(yīng)分成多少等份？7如果，證明用梯形公式計(jì)算