求向量組的秩與極大無關(guān)組

1、求向量組的秩與極大無關(guān)組對于具體給出的向量組，求秩與極大無關(guān)組的常用方法如下.方法1 將向量組排成矩陣：(列向量組時)或(行向量組時) (*)并求的秩，則即是該向量組的秩；再在原矩陣中找非零的階子式，則包含的個列(或行)向量即是的列(或行)向量組的一個極大無關(guān)組.方法2 將列(或行)向量組排成矩陣如(*)式，并用初等行(或列)變換化為行(或列)階梯形矩陣(或)，則(或)中非零行(或列)的個數(shù)即等于向量組的秩，且是該向量組的一個極大無關(guān)組，其中是(或)中各非零行(或列)的第1個非零元素所在的列(或行).方法3 當(dāng)向量組中向量個數(shù)較少時，也可采用逐個選錄法：即在向量組中任取一個非零向量作為，再取一

2、個與的對應(yīng)分量不成比例的向量作為，又取一個不能由和線性表出的向量作為，繼續(xù)進(jìn)行下去便可求得向量組的極大無關(guān)組.對于抽象的向量組，求秩與極大無關(guān)組常利用一些有關(guān)的結(jié)論，如“若向量組()可由向量組()線性表示，則()的秩不超過()的秩”，“等價向量組有相同的秩”，“秩為的向量組中任意個線性無關(guān)的向量都是該向量組的極大無關(guān)組”等.例1 求向量組，的秩與一個極大無關(guān)組.解 法1 ，所以向量組的秩為3；又中位于1，2，4行及1，2，4列的3階子式故是向量組的一個極大無關(guān)組(可知；均可作為極大無關(guān)組).法2 由于的第1，2，4個行向量構(gòu)成的向量組線性無關(guān)，故是向量組的一個極大無關(guān)組.例2 求向量組，的秩和

3、一個極大無關(guān)組.解 (1) 當(dāng)且時，故向量組的秩為3，且是一個極大無關(guān)組；(2) 當(dāng)時，故向量組的秩為3，且是一個極大無關(guān)組；(3) 當(dāng)時，若，則，此時向量組的秩為2，且是一個極大無關(guān)組.若，則，此時向量組的秩為3，且是一個極大無關(guān)組.例3 設(shè)向量組的秩為.又設(shè)，求向量組的秩.解 法1 由于，且所以故向量組與等價，從而的秩為.法2 將看做列向量，則有其中 可求得，即可逆，從而可由線性表示，故這兩個向量組等價，即它們有相同的秩.例4 設(shè)向量組()：和向量組()：的秩分別為和，而向量組()：的秩為.證明：.證 若和中至少有一個為零，顯然有，結(jié)論成立.若和都不為零，不妨設(shè)向量組()的極大無關(guān)組為，向量組()