哈工大研究生數(shù)值分析試題及答案

1、1. 分別是方程 的根；討論用Newton迭代法求它們近似值的收斂階。取初值計(jì)算根的近似值，要求迭代3次。（結(jié)果保留4位小數(shù)）解： 設(shè) ， 則：是的單根，故Newton迭代在附近是平方收斂； 是的二重根，故Newton迭代在附近是線性收斂； 取，Newton迭代： 2. 設(shè)常數(shù) ，求出的取值范圍使得解方程組 的Jacobi迭代法收斂。解： Jacobi迭代： 迭代矩陣的特征方程： 即： 特征根： 譜半徑： 時(shí)Jacobi迭代收斂 故： 3. 設(shè)（1）用Crout三角分解法求解方程組 ； （2）用乘冪法求方程組系數(shù)陣的按摸最大的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。（取 ，計(jì)算迭代三次的值）解： （1）Cro

2、ut三角分解： ， 求解得 求解得 （2） ， ， ， ， 4. 試?yán)貌逯刀囗?xiàng)式證明：對(duì)恒有等式 證明： 設(shè) 由插值多項(xiàng)式的唯一性，比較Lagrange與Newton插值最高項(xiàng)系數(shù)得： 由差商與導(dǎo)數(shù)關(guān)系，有 將 代入上面兩等式，有 5. 求4次Hermit插值多項(xiàng)式 ，滿足： 并寫出誤差表達(dá)式。解： 方法一：因 ，故設(shè)： 由 ，得 得 誤差： 方法一：滿足的插值多項(xiàng)式為： 設(shè)： 由 得：由 誤差：6. 試求求積公式 的求積系數(shù) ，使得其有盡可能高的代數(shù)精度，是否是Gauss型的？并用此公式計(jì)算積分（結(jié)果保留5位小數(shù)）。解： 令 求積公式準(zhǔn)確成立，有： 得： 求積公式： 令 求積公式準(zhǔn)確成立的

3、，求積公式不是準(zhǔn)確成立的， 求積公式代數(shù)精度為3，是Gauss型的； 作變換 7. 用最小二乘法求一個(gè)形如 的經(jīng)驗(yàn)公式，使它與下列數(shù)據(jù)擬合192531384419.032.349.073.397.8解： 取 ，擬合函數(shù)為 法方程為： 得： 擬合函數(shù)為 8. 用共軛梯度方法解方程組： （取初值 ）。共軛梯度方法: 解： 是對(duì)稱正定陣； 解為： 9. 應(yīng)用Heun方法： 解初值問(wèn)題 時(shí)，問(wèn)步長(zhǎng)應(yīng)如何選取方能保證方法的絕對(duì)穩(wěn)定性？ 并在 中選取數(shù)值穩(wěn)定的步長(zhǎng)計(jì)算的近似值.解： 將Heun方法應(yīng)用到方程上，有： 其中 當(dāng) 時(shí)，方法是絕對(duì)穩(wěn)定的， 即 時(shí)方法是絕對(duì)穩(wěn)定的； 故取 ，即，方法是絕對(duì)穩(wěn)定的

4、10. 求解常微分方程初值問(wèn)題 的兩步方法： （1）求出局部截?cái)嗾`差； （2）討論方法的收斂性； （3）討論方法的絕對(duì)穩(wěn)定性。解： （1） 把局部截?cái)嗾`差在處Taylor展開： （2），方法是相容的； 第一特征多項(xiàng)式：，兩根為： 是單根，方法滿足根條件； 由收斂的充分必要條件知方法是收斂的。（2） 穩(wěn)定多項(xiàng)式：，由絕對(duì)穩(wěn)定性要求知 故由參考定理知：的兩根故，即當(dāng)時(shí)方法是絕對(duì)穩(wěn)定的。應(yīng)用1. 試確定是方程 的幾重根；取初值用改進(jìn)的具有二階收斂速度的Newton迭代法求的根的近似值。要求迭代2次（結(jié)果保留4位小數(shù)）。解： ，是方程 的3重根；改進(jìn)的具有二階收斂速度的Newton迭代法：應(yīng)用4. 若用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分 ，要求截?cái)嗾`差不超過(guò) （舍入誤差不計(jì)），問(wèn)需要計(jì)算多少個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值？解： 復(fù)化求積公式余項(xiàng)為： 其中： 因 有 若 ，得： 即 取 ， 故至少需519個(gè)節(jié)點(diǎn)才能保證截?cái)嗾`