向量與三角形四心的關(guān)系

1、三角形中的“四心”的向量表示向量既反映數(shù)量關(guān)系，又體現(xiàn)位置關(guān)系，從而能數(shù)形結(jié)合地用代數(shù)方法來研究幾何問題，即把幾何代數(shù)化，從而用代數(shù)運(yùn)算解幾何問題。作為處理幾何問題的一種工具，向量方法兼有幾何的直觀性，表述的簡潔性和方法的一般性。使用向量的第一步，是要在圖中指定基向量（基底），這組基底一般是線性無關(guān)的。一旦確定了基向量，在整個(gè)問題的解決過程中，以此為依據(jù)而進(jìn)行計(jì)算。在確定點(diǎn)的位置時(shí)，經(jīng)常用向量的線性關(guān)系（這是向量的重要性質(zhì)，貫穿在整個(gè)向量法中）來解決;在處理垂直關(guān)系，長度關(guān)系及交角等問題時(shí)，一般用向量的數(shù)量積來解決。一、線共點(diǎn)問題。解決線共點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為向量共線問題來解決。=例1、用向量法求證：

2、ABC的三條高共點(diǎn).分析：得BC與AC邊上的高AD與BE交于H，連接CH，只要證明CHAB即可。因此，關(guān)鍵是選好基向量.設(shè)，則由，得，同理，得證。類似方法，還可以證明：（1）三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。(2)三角形的三條中線交與一點(diǎn)。二、三角形的四心重心、垂心、外心、內(nèi)心的向量表示例2、已知O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則點(diǎn)O是ABC的重心。分析：利用及加法的平行四邊形法則可證。拓展：若，(0，+)，則點(diǎn)P的的軌跡一定是ABC的_心。(重心)例3、已知O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若·=·=·，則點(diǎn)O是ABC的垂心。分析：·=·得·=

3、0，OBAC同理，可證。拓展1：已知O是ABC平面上一定點(diǎn)，若=+，（0，+），則動點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的_心。分析：=，由于·=0，動點(diǎn)P一定過ABC的垂心。拓展2：點(diǎn)O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)O是ABC的_心。分析：得·2=0，即·=0，同理可證：，故O為垂心?！纠?】已知O是ABC所在平面上一點(diǎn)，若a、b、c是角A、B、C的所對邊的邊長，且，則O是ABC的_心。分析：聯(lián)系重心向量式的證明方式，取、為基向量，則=，=，故=+，=+，將其代入中得到（a+b+c）+b+c=，即=又，故由和分別是與，同向的單位向量和，則（+），故AO平分BAC，同量，

4、BO平分ABC，CO平分ACB，故O是ABC的內(nèi)心。點(diǎn)評：從向量角度給出ABC中，BAC的角平分線的表達(dá)式，即：OA平分BAC=拓展：點(diǎn)O是ABC平面上一定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足=+，0，+，則P的軌跡一定通過ABC的_心。分析：由=知，其中AO平分BAC，故P點(diǎn)的軌跡一定通過ABC的內(nèi)心。【例5】已知點(diǎn)O是ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)O是ABC的_心。分析：由已知知是外心.三、三角形“四心”的統(tǒng)一表達(dá)式定理：如圖，點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，總有.特別地，當(dāng)點(diǎn)M是重心G時(shí)，有當(dāng)點(diǎn)M是垂心H時(shí),有當(dāng)點(diǎn)M是外心O時(shí)，有當(dāng)點(diǎn)M是內(nèi)心I時(shí),有. 下面證明這個(gè)定理：設(shè)則有平面向量的平行四邊形法則知，作,同

5、理，.同理，.易證：當(dāng)點(diǎn)M是重心G時(shí)，.當(dāng)點(diǎn)M是垂心H時(shí), 當(dāng)點(diǎn)M是外心O時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M是內(nèi)心I時(shí)，故定理得證.四、三角形“四心”的綜合問題例6、已知點(diǎn)O是ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，且+=，當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，的值最小。分析：=·=,故當(dāng)點(diǎn)P是ABC的重心O時(shí)，所求值最小。例7.已知O為ABC的外心，H為垂心，求證：分析：如圖，作直徑BD，連DA、DC，有拓展：1.求證：ABC的外心O，垂心H,重心G三點(diǎn)共線，且OG:GH=1:2.分析：有上題知拓展2. .已知ABC不是直角三角形，點(diǎn)O為ABC的外心，H為ABC的垂心. ABC滿足什么條件，有AH=OA.分析：由于AH=OA,則AH=OA=R，當(dāng)A是銳角時(shí)，<>=2A,當(dāng)A為鈍角時(shí)，上面每一步可以逆推，以上從三角形“四心”方面體現(xiàn)了向量與幾何的密切聯(lián)系，即向量概念引入后，全等、平行（平移）、相似和垂直等幾何關(guān)系就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法，數(shù)乘向量，數(shù)量積的運(yùn)算，從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系。向量是溝通代數(shù)、幾