導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)設(shè)計施永紅

1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義廣大附中 施永紅一作業(yè)討論并由學(xué)生陳述：問題：1導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是什么？ 2在高臺跳水運動中，秒時運動員相對于水面的高度是（單位：），求運動員在時的瞬時速度，并解釋此時的運動狀態(tài)。 3圓面積是半徑的函數(shù)，求圓在時的面積瞬時變化率，并解釋此時圓面積的瞬時變化規(guī)律。 4球體積是半徑的函數(shù)，問：球在時的體積瞬時變化率，并解釋此時球體積的瞬時變化規(guī)律。參考答案：1導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是函數(shù)在處的瞬時變化率，即： ，所以。運動員在時的瞬時速度為。這說明運動員在附近，正以大約的速率下落。 3 ，所以。這說明圓在的附近，面積正以大約的瞬時變化率增大。（思考，動畫） =，所以。這說明球在的附近，體積正以大約的瞬

2、時變化率增大。（思考，動畫） 二（一）引入：函數(shù)的思想中，數(shù)形結(jié)合是一種重要而且直觀的數(shù)學(xué)思想方法。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)及其物理意義或者實際意義，我們不禁要問：導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？例如：上述的三個問題中，,的幾何意義分別是什么？我們利用數(shù)形結(jié)合，畫出函數(shù)的圖像，看看通過函數(shù)的圖像研究，能有什么新的體會。（二）轉(zhuǎn)化：為了使研究更具有操作性，我們拋開問題的實際背景，從研究更簡單的函數(shù)入手，這也是數(shù)學(xué)研究的常用方法。（三）問題與探索：求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，說說它的本質(zhì)，并用數(shù)形結(jié)合的方法，探索的幾何意義。所以的本質(zhì)是函數(shù)在處的瞬時變化率是，即函數(shù)在的附近正以大約的瞬時變化率增大。畫出函數(shù)的圖像，從

3、圖像上的哪幾個點開始研究？APQB1MNB聯(lián)想：定義從點.點入手。那么點,點的幾何意義是什么？請在圖形中體現(xiàn)體現(xiàn)出來。的幾何意義是什么？請在圖形中體現(xiàn)體現(xiàn)出來。填表，討論，發(fā)言，展示。靜態(tài)動態(tài)靜態(tài)有關(guān)量幾何意義A坐標(biāo)的幾何表示B坐標(biāo)的幾何表示點橫坐標(biāo)的差（自變量的增量）縱坐標(biāo)的差割線的斜率割線（極限位置）即：切線動態(tài)切線的斜率切線的斜率（四）動畫演示，閱讀課本，小結(jié)：1 平均變化率在趨向于某一時刻的變化過程中，自變量的增量越來越小，能越過任意小的間隔，但始終不能為0，不然，我們就得不到平均變化率的值；平均變化率在圖形中的幾何意義是割線AB的斜率。當(dāng)趨近于0時，平均變化率無限趨近于的常數(shù)就是，從

4、圖形上看，當(dāng)趨近于0時，點B沿曲線趨近于點A，割線繞點A轉(zhuǎn)動，它的極限位置為直線AD，這條直線叫做此曲線在點A處的切線。于是當(dāng)時，割線AB的斜率趨近于過點A的切線的斜率，即：切線的斜率還可以利用點斜式求出切線AD的方程：，即：。（展示學(xué)生作品）（五）訓(xùn)練：分別在函數(shù)，和的圖像上，用圖形來體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)，的幾何意義，并用數(shù)學(xué)語言表述出來。（展示學(xué)生作品）12 3 三學(xué)生繼續(xù)動手： （一）在函數(shù)的圖像中，請描述，比較曲線在附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在附近呢？（二）請估計曲線在的瞬時變化率，把數(shù)據(jù)用表格的形式列出。函數(shù)的瞬時變化率反思，發(fā)現(xiàn)。1 導(dǎo)函數(shù)。 （探索作業(yè)求，）2 單調(diào)性：在某個區(qū)間上

5、，當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減。3 求出，驗證你的結(jié)論。驗證：（1）數(shù)據(jù)；（2）單調(diào)性。思考：1如圖表示人體血管中的藥物濃度（單位：）隨時間（單位：）變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計時，血管中藥物濃度的瞬時變化率，把數(shù)據(jù)用表格的形式列出。有什么發(fā)現(xiàn)？0.20.40.60.8藥物濃度的瞬時變化率2下圖是利用信息技術(shù)畫出的函數(shù)的圖像，請根據(jù)圖像，估計時，氣球的瞬時膨脹率。有什么發(fā)現(xiàn)？四小結(jié)：1知識結(jié)構(gòu)： 基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式 平均速度 瞬時速度（物理意義） 及導(dǎo)數(shù)運算法則平均變化率 瞬時變化率（導(dǎo)數(shù)本質(zhì)） 導(dǎo)數(shù) 平均變化率 瞬時變化率（導(dǎo)數(shù)本質(zhì)） 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系 導(dǎo)數(shù)與極（最）值的關(guān)系2數(shù)學(xué)思想：運動變化的觀點（以靜態(tài)刻劃動態(tài)），數(shù)形結(jié)合（函數(shù)思想）以直代曲（以近似求精確）（微積分思想方法）作業(yè)：習(xí)題3.1A5,6.B2,3.書上。探索作業(yè)1、求，2。用導(dǎo)數(shù)定義及單調(diào)性定義解釋：在某個區(qū)間上，當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減。（參考：一般地