高考數(shù)學(xué)專題26平面向量（知識(shí)梳理）（理）（解析版）

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題26 平面向量（知識(shí)梳理）一、向量的概念及表示1、向量的概念：具有大小和方向的量稱為向量。 (沒(méi)有位置、不能比較大小)(1)數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小。(2)向量的表示方法：具有方向的線段，叫做有向線段，以為始點(diǎn)，為終點(diǎn)的有向線段記作 ，的長(zhǎng)度記作。用有向線段表示向量，讀作向量； (有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度)用小寫字母表示：、。 (印刷時(shí)，用黑體小寫字母，手寫時(shí)，小寫字母要帶箭頭)(3)向量與有向線段的區(qū)別和聯(lián)系：向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只要大小和方向相

2、同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段；向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段。向量是規(guī)定了大小和方向的量，有向線段是規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn)的線段。2、向量的模：向量的大小長(zhǎng)度稱為向量的模，記作。 (能比較大小)3、零向量：長(zhǎng)度等于零、方向是任意的向量，記作。 (注意與的含義與書(shū)寫區(qū)別)4、單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量。與非零向量共線的單位向量。說(shuō)明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小。5、平行向量：(1)若非零向量、的方向相同或相反，則，又叫共線向量；(2)規(guī)定與任一向量平行。說(shuō)明：綜合(1)(2)才是平行

3、向量的完整定義；三點(diǎn)、共線、共線；向量平行無(wú)傳遞性，即，不能推出(可能為)。注意：共線向量?jī)H僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同。6、共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上(與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān))。說(shuō)明：平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系。7、相等向量：若非零向量、方向相同且模相等，則向量、是相等向量。(1)相等向量：模相等，方向相同；(2)相反向量：模相等，方向相反。說(shuō)明：任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)。二

4、、向量的加法1、三角形法則原理已知向量、，在平面上任取一點(diǎn)，作，再作向量，則向量叫做與的和(或和向量)，記作，即。圖示注意：(1)和向量的始點(diǎn)是第一個(gè)向量的始點(diǎn)，終點(diǎn)是第二個(gè)向量的終點(diǎn)(2)零向量與任一向量的和都有。2、平行四邊形法則原理已知兩個(gè)不共線向量、，作，則、三點(diǎn)不共線，以、為鄰邊作平行四邊形，則對(duì)角線上的向量，這個(gè)法則叫做兩個(gè)向量求和的平行四邊形法則。圖示3、多邊形法則原理已知個(gè)向量，依次把這個(gè)向量首尾相連，以第一個(gè)向量的始點(diǎn)為始點(diǎn)，第個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量叫做這個(gè)向量的和向量，這個(gè)法則叫做向量求和的多邊形法則。圖示4、向量加法的運(yùn)算律運(yùn)算律交換律結(jié)合律三、向量的減法1、相反向量：

5、與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，記作。(1)規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)；(3)；(4)若與互為相反向量，則，。注意：相反向量與相等向量一樣，從“長(zhǎng)度”和“方向”兩方面進(jìn)行定義，相反向量必為平行向量。2、向量的減法：已知向量與(如圖)，作，則，向量叫做向量與的差，并記作，即，由定義可知：(1)如果把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起，則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為始點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量；(2)一個(gè)向量等于它的終點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)的位置向量減去它的始點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)的位置向量，或簡(jiǎn)記為“終點(diǎn)向量減始點(diǎn)向量”；(3)從一個(gè)向量減去另一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量。注意：在用三角形法

6、則作向量減法時(shí)，只要記住“連接向量終點(diǎn)，箭頭指向被減向量”即可。四、數(shù)乘向量1、數(shù)乘向量的定義：實(shí)數(shù)和向量的乘積是一個(gè)向量，記作。(1)長(zhǎng)度：，(2)方向：()的方向：當(dāng)時(shí)，與同方向；當(dāng)時(shí)，與反方向。特別地，當(dāng)或時(shí)，或，中的實(shí)數(shù)叫做向量的系數(shù)。(3)幾何意義：就是把向量沿著的方向或的反方向放大或縮小。(4)運(yùn)算律：設(shè)、，則，；。注意：實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如、均無(wú)法運(yùn)算；的結(jié)果為向量，所以當(dāng)時(shí)，得到的結(jié)果為而不是。2、向量的線性運(yùn)算：向量的加法、減法和數(shù)乘向量的綜合運(yùn)算，通常叫做向量的線性運(yùn)算。3、兩個(gè)非零向量、的夾角：已知非零向量與，記、，則 ()叫做與的夾角。說(shuō)明

7、：當(dāng)時(shí)，與同向；當(dāng)時(shí)，與反向；當(dāng)時(shí)，與垂直，記；注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，夾角范圍為。4、平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有()。規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為。說(shuō)明：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積的區(qū)別：(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由的符號(hào)所決定。(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成，書(shū)寫時(shí)注意符號(hào)“”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“”代替。(3)，。(4)在實(shí)數(shù)中，若，且，則，但是在向量中，若，且，不能推出，其中。(5)已知實(shí)數(shù)、()，則，但是向量不能推出，如右圖：，但。(6)在實(shí)數(shù)中

8、有，但是在向量中，顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線。5、向量在方向上的投影：設(shè)為、的夾角，則為在方向上的投影。 投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量。當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為；當(dāng)時(shí)投影為；當(dāng)時(shí)投影為。6、向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上投影的乘積。7、向量的運(yùn)算：運(yùn)算向量形式坐標(biāo)形式：、加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算平行四邊形法則：起點(diǎn)相同，對(duì)角線為向量和，記：。三角形加法法則：首尾相連，記：。減法求與的相反向量的和的運(yùn)算叫做與的差三角形減法法則：起點(diǎn)相同的兩個(gè)向量的差，箭頭從后指向前，記：終點(diǎn)相同的兩個(gè)向量的差，箭頭從

9、前指向后，記： 運(yùn)算律：交換律：；結(jié)合律：；+。數(shù)乘實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作，是一個(gè)向量，。方向：時(shí)，與同向；時(shí)，與反向；時(shí)，。運(yùn)算律：；，；，。數(shù)量積五、向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、平面向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。2、平面向量的坐標(biāo)表示：(1)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底。對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使，把有序數(shù)對(duì)叫做向量的坐標(biāo)，記作，其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示。(2)向量坐標(biāo)的求法：若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)

10、，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；設(shè)、，則，。(3)若是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是終點(diǎn)的坐標(biāo)，即若，則點(diǎn)坐標(biāo)為，反之亦成立。注意向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別：要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向的信息也有大小的信息。3、線段的定比分點(diǎn)及：設(shè)、是直線上的兩點(diǎn)，是上不同于、的任一點(diǎn)，則一定存在實(shí)數(shù)，使，叫做點(diǎn)分所成的比。有三種情況： (內(nèi)分) (外分)() (外分) ()(1)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)，為實(shí)數(shù)，且，則點(diǎn)坐標(biāo)為，我們稱為點(diǎn)分所成的比。(2)點(diǎn)的位置與的范圍的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，與同向共線，這時(shí)稱點(diǎn)為的內(nèi)分點(diǎn)；當(dāng)()時(shí)，與反向共線，這時(shí)稱點(diǎn)為的外

11、分點(diǎn)。(3)若分有向線段所成的比為，點(diǎn)為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則；特別地為的中點(diǎn)。4、向量的重要定理、公式、結(jié)論：(1)一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用。(2)三角形不等式：。證明：非零向量、不共線時(shí)，的方向與、的方向都不同且；非零向量、共線時(shí)，設(shè)，與同向時(shí)，的方向與、相同且，的方向與相同且，與異向時(shí)，的方向與相同且，的方向與相同且；、至少有一個(gè)時(shí)。(3)重要結(jié)論：若，則。(4)向量的模：；非零向量與的夾角：。(5)非零向量、共線或垂直的坐標(biāo)表示：向量共線：；向量垂直：。特別地。(6)兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)、為兩個(gè)非零向量，是與同向的單位向量。；當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，。

12、特別的或；。(7)向量共線定理和向量基本定理向量共線定理(兩個(gè)向量之間的關(guān)系)：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得。變形形式：已知直線上三點(diǎn)、，為直線外任一點(diǎn)，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得：。特別提醒：共線向量定理應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn)：向量共線的充要條件中要注意“”，否則可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)。證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說(shuō)明這兩條直線不重合。平面向量基本定理(平面內(nèi)三個(gè)向量之間關(guān)系)：若、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，

13、有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使。特別提醒：不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；基底的不唯一性：只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量都可被這個(gè)平面的一組基底、線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的。(8)線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式：若直線上三點(diǎn)、，且滿足()，在直線外任取一點(diǎn)，設(shè)，可得。重要結(jié)論：若直線上三點(diǎn)、，為直線外任一點(diǎn)，則。證明：，則，則。(9)在中：重心中線的交點(diǎn)：重心將中線長(zhǎng)度分成；垂心高線的交點(diǎn)：高線與對(duì)應(yīng)邊垂直；內(nèi)心角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心)：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；外心中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心)：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。若、，重心坐標(biāo)為。若為重心，則，。證法1：設(shè)，、， ，為重心。證法2：如圖，則，、三點(diǎn)共線，且分為，是的重心。為垂心；證明：如圖是的垂心，垂直、垂直，、是垂足，同理，為垂心。向量()所在直線過(guò)內(nèi)心(是角平分線所在直線)；為內(nèi)心；證明：、分別為、方向上的單位向量，、平分，令，化簡(jiǎn)得，。為外心；為內(nèi)一點(diǎn)，則。重要結(jié)論：，。結(jié)論1：對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)， 若、的面積分別為、，則：。即三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對(duì)的三角形的面積。 結(jié)論2：對(duì)于