同濟第六版高等數(shù)學教案WORD版 定積分的應用

1、 第六章 定積分的應用 教學目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定積分表達和計算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積）。3、掌握用定積分表達和計算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。教學重點：1、 計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積。2、計算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。教學難點：1、 截面面積為已知的立體體積。 2、引力。§6. 1 定積分的元素法 回憶曲邊梯形的面積: 設y=f (x)³0 (xÎa, b). 如果說積分

2、,是以a, b為底的曲邊梯形的面積, 則積分上限函數(shù)就是以a, x為底的曲邊梯形的面積. 而微分dA(x)=f (x)dx 表示點x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值DA»f (x)dx, f (x)dx稱為曲邊梯形的面積元素. 以a, b為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f(x)dx為被積表達式, 以a, b為積分區(qū)間的定積分: . 一般情況下, 為求某一量U, 先將此量分布在某一區(qū)間a, b上, 分布在a, x上的量用函數(shù)U(x)表示, 再求這一量的元素dU(x), 設dU(x)=u(x)dx, 然后以u(x)dx為被積表達式, 以a, b為積分區(qū)間求定積分即得. 用這一方法

3、求一量的值的方法稱為微元法(或元素法). §6. 2 定積分在幾何上的應用 一、平面圖形的面積 1直角坐標情形 設平面圖形由上下兩條曲線y=f上(x)與y=f下(x)及左右兩條直線x=a與x=b所圍成, 則面積元素為f上(x)- f下(x)dx, 于是平面圖形的面積為 . 類似地, 由左右兩條曲線x=j左(y)與x=j右(y)及上下兩條直線y=d與y=c所圍成設平面圖形的面積為 . 例1 計算拋物線y2=x、y=x2所圍成的圖形的面積. 解 (1)畫圖. (2)確定在x軸上的投影區(qū)間: 0, 1. (3)確定上下曲線: . (4)計算積分 . 例2 計算拋物線y2=2x與直線y=x-

4、4所圍成的圖形的面積. 解 (1)畫圖. (2)確定在y軸上的投影區(qū)間: -2, 4. (3)確定左右曲線: . (4)計算積分. 例3 求橢圓所圍成的圖形的面積. 解 設整個橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍, 橢圓在第一象限部分在x 軸上的投影區(qū)間為0, a. 因為面積元素為ydx, 所以.橢圓的參數(shù)方程為:x=a cos t , y=b sin t , 于是 . 2極坐標情形 曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素: 由曲線r=j(q)及射線q =a, q =b圍成的圖形稱為曲邊扇形. 曲邊扇形的面積元素為. 曲邊扇形的面積為. 例4. 計算阿基米德螺線r=aq (a >0)上相應于q從0

5、變到2p 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積. 解: . 例5. 計算心形線r=a(1+cosq ) (a>0) 所圍成的圖形的面積. 解: . 二、體 積 1旋轉體的體積 旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體. 這直線叫做旋轉軸. 常見的旋轉體: 圓柱、圓錐、圓臺、球體. 旋轉體都可以看作是由連續(xù)曲線y=f (x)、直線x=a 、a=b 及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而成的立體. 設過區(qū)間a, b內點x 且垂直于x軸的平面左側的旋轉體的體積為V (x), 當平面左右平移dx后, 體積的增量近似為DV=pf (x)2dx , 于是體積元素為 dV = pf (

6、x)2dx , 旋轉體的體積為 . 例1 連接坐標原點O及點P(h, r)的直線、直線x=h 及x 軸圍成一個直角三角形. 將它繞x軸旋轉構成一個底半徑為r、高為h的圓錐體. 計算這圓錐體的體積. 解: 直角三角形斜邊的直線方程為. 所求圓錐體的體積為 . 例2. 計算由橢圓所成的圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體(旋轉橢球體)的體積. 解: 這個旋轉橢球體也可以看作是由半個橢圓 及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉而成的立體. 體積元素為dV= p y 2dx , 于是所求旋轉橢球體的體積為 . 例3 計算由擺線x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱, 直線y=0所圍成的圖形分別繞x軸、y

7、軸旋轉而成的旋轉體的體積. 解 所給圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積為 =5p 2a 3. 所給圖形繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積是兩個旋轉體體積的差. 設曲線左半邊為x=x1(y)、右半邊為x=x2(y). 則 =6p 3a 3 . 2平行截面面積為已知的立體的體積 設立體在x軸的投影區(qū)間為a, b, 過點x 且垂直于x軸的平面與立體相截, 截面面積為A(x), 則體積元素為A(x)dx , 立體的體積為 . 例4 一平面經過半徑為R的圓柱體的底圓中心, 并與底面交成角a. 計算這平面截圓柱所得立體的體積. 解: 取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸, 底面上過圓中心、且垂直于x軸的直線為y軸.

8、 那么底圓的方程為x 2 +y 2=R 2. 立體中過點x且垂直于x軸的截面是一個直角三角形. 兩個直角邊分別為及. 因而截面積為. 于是所求的立體體積為 . 例5. 求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積. 解: 取底圓所在的平面為x O y 平面, 圓心為原點, 并使x軸與正劈錐的頂平行. 底圓的方程為x 2 +y 2=R 2. 過x軸上的點x (-R<x<R)作垂直于x軸的平面, 截正劈錐體得等腰三角形. 這截面的面積為 . 于是所求正劈錐體的體積為 . 三、平面曲線的弧長 設A, B 是曲線弧上的兩個端點. 在弧AB上任取分點A=M0,

9、M1, M2, × × × , Mi-1, Mi, × × ×, Mn-1, Mn=B , 并依次連接相鄰的分點得一內接折線. 當分點的數(shù)目無限增加且每個小段Mi-1Mi都縮向一點時, 如果此折線的長的極限存在, 則稱此極限為曲線弧AB的弧長, 并稱此曲線弧AB是可求長的. 定理 光滑曲線弧是可求長的. 1直角坐標情形 設曲線弧由直角坐標方程y=f(x) (a£x£b)給出, 其中f(x)在區(qū)間a, b上具有一階連續(xù)導數(shù). 現(xiàn)在來計算這曲線弧的長度. 取橫坐標x為積分變量, 它的變化區(qū)間為a, b. 曲線y=f(x

10、)上相應于a, b上任一小區(qū)間x, x+dx的一段弧的長度, 可以用該曲線在點(x, f(x)處的切線上相應的一小段的長度來近似代替. 而切線上這相應的小段的長度為, 從而得弧長元素(即弧微分). 以為被積表達式, 在閉區(qū)間a, b上作定積分, 便得所求的弧長為. 在曲率一節(jié)中, 我們已經知道弧微分的表達式為, 這也就是弧長元素. 因此 例1. 計算曲線上相應于x從a到b的一段弧的長度. 解: , 從而弧長元素. 因此, 所求弧長為. 例2. 計算懸鏈線上介于x=-b與x=b之間一段弧的長度. 解: , 從而弧長元素為. 因此, 所求弧長為. 2參數(shù)方程情形 設曲線弧由參數(shù)方程x=j(t)、y

11、=y(t) (a£t£b )給出, 其中j(t)、y(t)在a, b上具有連續(xù)導數(shù). 因為, dx=j¢(t)d t , 所以弧長元素為.所求弧長為. 例3. 計算擺線x=a(q-sinq), y=a(1-cosq)的一拱(0 £q £2p )的長度. 解: 弧長元素為. 所求弧長為=8a. 3極坐標情形 設曲線弧由極坐標方程r=r(q) (a £ q £ b )給出, 其中r(q)在a, b上具有連續(xù)導數(shù). 由直角坐標與極坐標的關系可得 x=r(q)cosq , y=r(q)sinq(a £q £ b

12、).于是得弧長元素為. 從而所求弧長為. 例14. 求阿基米德螺線r=aq (a>0)相應于q 從0到2p 一段的弧長. 解: 弧長元素為.于是所求弧長為. §6. 3 功 水壓力和引力 一、變力沿直線所作的功 例1 把一個帶+q電量的點電荷放在r軸上坐標原點O處, 它產生一個電場. 這個電場對周圍的電荷有作用力. 由物理學知道, 如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點O為r的地方, 那么電場對它的作用力的大小為 (k是常數(shù)). 當這個單位正電荷在電場中從r=a處沿r軸移動到r=b(a<b)處時, 計算電場力F對它所作的功. 例1¢ 電量為+q的點電荷位于r

13、軸的坐標原點O處它所產生的電場力使r軸上的一個單位正電荷從r=a處移動到r=b(a<b)處求電場力對單位正電荷所作的功. 提示: 由物理學知道, 在電量為+q的點電荷所產生的電場中, 距離點電荷r處的單位正電荷所受到的電場力的大小為 (k是常數(shù)). 解: 在r軸上, 當單位正電荷從r移動到r+dr時, 電場力對它所作的功近似為, 即功元素為. 于是所求的功為. 例2. 在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體. 在等溫條件下, 由于氣體的膨脹, 把容器中的一個活塞(面積為S)從點a處推移到點b處. 計算在移動過程中, 氣體壓力所作的功. 解: 取坐標系如圖, 活塞的位置可以用坐標x來表

14、示. 由物理學知道, 一定量的氣體在等溫條件下, 壓強p與體積V的乘積是常數(shù)k , 即 pV=k 或. 解: 在點x處, 因為V=xS, 所以作在活塞上的力為. 當活塞從x移動到x+dx時, 變力所作的功近似為,即功元素為. 于是所求的功為. 例3. 一圓柱形的貯水桶高為5m, 底圓半徑為3m, 桶內盛滿了水. 試問要把桶內的水全部吸出需作多少功？ 解: 作x軸如圖. 取深度x 為積分變量. 它的變化區(qū)間為0, 5, 相應于0, 5上任小區(qū)間x, x+dx的一薄層水的高度為dx. 水的比重為9.8kN/m3, 因此如x的單位為m, 這薄層水的重力為9.8p×32dx. 這薄層水吸出桶

15、外需作的功近似地為dW=88.2p×x×dx, 此即功元素. 于是所求的功為(kj). 二、水壓力 從物理學知道, 在水深為h處的壓強為p=gh , 這里 g 是水的比重. 如果有一面積為A 的平板水平地放置在水深為h處, 那么, 平板一側所受的水壓力為P=p×A. 如果這個平板鉛直放置在水中, 那么, 由于水深不同的點處壓強p不相等, 所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計算. 例4. 一個橫放著的圓柱形水桶, 桶內盛有半桶水. 設桶的底半徑為R, 水的比重為 g , 計算桶的一個端面上所受的壓力. 解: 桶的一個端面是圓片, 與水接觸的是下半圓. 取坐標系如圖. 在水深x處于圓片上取一窄條, 其寬為dx , 得壓力元素為. 所求壓力為 . 三、引力 從物理學知道, 質量分別為m 1、m 2, 相距為r的兩質點間的引力的大小為, 其中G為引力系數(shù), 引力的方向沿著兩質點連線方向. 如果要計算一根細棒對一個質點的引力, 那么, 由于細棒上各點與該質點的距離是變化的, 且各點對該質點的引力的方向也是變化的, 就不能用上述公式來計算. 例5. 設有一長度為l 、線密度為r的均勻細直棒,