天津地區(qū)2018版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題8直線與圓圓錐曲線分項(xiàng)練習(xí)含解析理

1、專題08直線與圓、圓錐曲線221.12005天津，理5】設(shè)雙曲線以橢圓 +看=1長軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線過橢圓的焦259點(diǎn)，則雙曲線的漸進(jìn)線的斜率為A、 2【解析】雙曲線馬一耳 a b=1的兩條漸進(jìn)線是：y = -.根據(jù)題意：C = 5,2a2 4一 =4 j 從而tr =一本題答案選CFi(3,0)、F2(3,0), 一條漸近線方程為2.12006天津，理2】如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為y = J2x,那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是(C.A. 6 3【解析】如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為3,0)、F2(3,0), 一條漸近線方程為y = 1比一點(diǎn)P到其左焦點(diǎn)的距離為3,到右焦點(diǎn)的距離為1,則P點(diǎn)到

2、右準(zhǔn)線的距離為(A) 6 (B) 2 (C)1(D)2【解析】由橢圓第一定義如2,所以即工=4,橢圓方程為W十亡=1 =43所以選b.7.12008天津，理13】已知圓C的圓心與拋物線 y2=4x的焦點(diǎn)關(guān)于直線y = x對(duì)稱.直線4x-3y -2 =0與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，且AB =6,則圓C的方程為【答案】x2 (y-1)2=10【解析】拋物線的焦點(diǎn)為（1,0）,所以圓心坐標(biāo)為（0,1）,2-2r =3一 - 2(0-3-2)52二10，圓C的A. 45【答案】AB.C.D.【解析】由|BF|=2小于點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離(6+知點(diǎn)B在A、C之間曲拋物線的定義如點(diǎn)B的橫坐標(biāo)JLr33y-0 _

3、x-挎為-，代人得琨=3,則BC；,招)3種可靛是(-,后),那么小M寸直線AC的方程為一后一 0 = 37, 2222即7二2a 一? 杷y -3一?)y2=也可得迎2- 7x+fr=0,可得乂=2則有尸工即A1*、那么3 1_ 1、.一S；A BCF： S；A AC曰 BC： AC =( + ) : (2 + ) =4:5 2 229.12009天津，理14若圓xC.-108 36+y2=4與圓x2+y2+2ay 6= 0(a 0)的公共弦的長為 2J3，則a【解析】依題，畫出兩圓位置如右圖，公共弦為AB,交y軸于點(diǎn)C,連結(jié)OA,則|OA| =2.1 一 1兩圓方程相減，得2ay = 2,

4、解得y = ,. |OC |=3.1于是，由RtAOC可彳導(dǎo)OC2= AO2- AC2,即-a2=22 -（，3）2,整理得 a2 = 1，又 a0, a= 1.2_ x10.12010天津，理5】已知雙曲線 ga2 y b2=1 ( a0, b0)的一條漸近線方程是y= J3x,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2= 24x的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為()2 x A.36 1082匕二1B.927D.279【解析】雙曲線2 x -2 a2y丁 =1 （a 0,b2b0)的漸近線方程為y= b x , ab = .3 a拋物線y2 = 24x的準(zhǔn)線方程為x= 6,c= - 6.又 c2=a2+b2.由得a

5、= 3, b=3j.，a2=9, b2 = 27.22雙曲線方程為上一匕=1.927x = t,11.12010天津，理13】已知圓C的圓心是直線（t為參數(shù)）與x軸的交點(diǎn)，且圓 Cy = 1 t與直線x+y+3=0相切.則圓C的方程為【答案】(x + 1)2+y2 = 2【解析】解析:直線”一：。為參黝與漢軸的交點(diǎn)為（-i, 0）,則尸垠獸二虎，圓C的方程 lyT+rVI1 +11為G+l）2+y2 二，12.【2012 天津，理 8設(shè) m nC R,若直線（丘 1）x+（n+1）y-2=0 與圓（x1）2+（ y 1）2=1 相切，則nu n的取值范圍是（）A.1-73, 1+73：B.(8

6、, 1-73 U 1 +技 +8)C.2-2,2, 2 221D.(-巴 2-2拒U 2+272 , +8)直線與圓相切，| m 1 n 1-21(m 1)2 (n 1)2=1 ， |m n| = . (m 1)2 (n 1)2,即：mn= m+ n+1,設(shè) n=t ,貝U mn (m-n)22t2一,4t2-t +10,解得：t2+2V2.2213.12013天津，理5】已知雙曲線x2 _-y2=i(ao, b0)的兩條漸近線與拋物線 y2=2px(p a b0)的準(zhǔn)線分別交于 A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2, 4AOB勺面積為J3,則 p=().A. 1 B , - C

7、. 2 D . 32【答案】C【解析】設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為出，則由題意，得SAAOB=|xO|-|yq=上.拋物線y2=2px的準(zhǔn)線為# =,所以馬二一9代入雙曲線的漸造融方程三得I所竺由白二工得b=屈，所以|泗2 0 20/+戶二心=迫一所以SAAOB= =抬，解得p=2或p=2(舍去 242214.12014天津，理5】已知雙曲線 勺-4=1 (a 0,b 0)的一條漸近線平行于直線： a by= 2x+ 10,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，則雙曲線的方程為( )2222八 2c 2/“、 xy/xy/3x3y,(A) = 1(B)-乙=1(C)-= 1(D)52020525100_ 2_23x 3y

8、 /= 110025【答案】A.【解析】b 一 一試題分析：由已知得 一=2,. b=2a,在方程y =2x + 10中令y = 0,得a_22.2_ 22_ . 2x =-5,. c = -5, c =a +b =5a =25, a =5,b =20,二 所求雙 曲線的 萬程為22-=1 ,故選 A.520考點(diǎn)：1.雙曲線的幾何性質(zhì)；2.雙曲線方程的求法.22_15.12015高考天津，理6】已知雙曲線 三4=1(a A0,b A0 )的一條漸近線過點(diǎn)(2,J3), a b且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2 =4J7x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()22(A) 土一匕=121 28(B)22x y

9、 / -=1 (C) 28 2122x y /-二1 ( D)34223.L=143解析】雙曲線言a b的漸近線方程為 = 勺工，由點(diǎn)、色目)在漸近名壯，所以C = W，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線尸二4/，準(zhǔn)線方程*二節(jié)上，所以匚二正，由此可解得 a 2 =2/ =招所以雙曲線方程為故選D.216.12016高考天津理數(shù)】已知雙曲線 42y2 = 1 (b0),以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長b【考點(diǎn)定位】雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A B, C,D四點(diǎn),四邊形ABCD勺面積為2b,則雙曲線的方程2 o 2(A) 土-空=144(B)22x 4y

10、-=143(02匕=1422x y(D) =1412試題分析：根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)A(x,y)在第一象限，則yx = ,b24 by 飛=4 a = 4b 二y =_ x2416 . xy = 一b2 4 2b 2，、一=b= b2 =12 ,故雙曲線的方程為22二1,故選12D.【考點(diǎn)】雙曲線的漸近線【名師點(diǎn)睛】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)注意:兩個(gè)“定量”條件，“定位”是指確(1)確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程也需要一個(gè)“定位”條件,定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，“定量”是指確定a,b的值，常用待定系數(shù)法.(2)利用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)應(yīng)注意選擇恰當(dāng)?shù)姆匠绦问剑员苊庥懻?若雙曲線的焦點(diǎn)不能確定時(shí)，可設(shè)其方

11、程為Ax2+ By2= 1(AB0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.過 y =2pt拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為 B.設(shè)C ( 1 p,0 ) , AF與BC相交于點(diǎn)E若| CF=2| AF ,且 AC用面積 2為3應(yīng)，則p的值為.【答案】、,6【解析】試題分析：拋物線的普通方程為寸=2內(nèi)，/f ,0), |5| =：尸一 =39，yCF=2AFf貝/F| = |尸，由拋物線的定義得|疑| = g6 所以0)上一點(diǎn)，由定義易得|PF=x(o+P；若過焦點(diǎn)的弦 AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(xi, yi), B(X2, y2),則弦長|AB=Xi + X2+p, Xi + X2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到

12、其他標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦半徑或焦點(diǎn)弦長公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到.2218.12017天津，理5】已知雙曲線 與4=1(a 0,b0)的左焦點(diǎn)為F ,離心率為a222 (A) J (B)二-幺=1 488 b2J2.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為2222(C)人.J (D)工一工=148842=1 ,故選B.84-0【解析】由題意得a-b, 4 0 0-(-c)_2=1= c=4,a=b=2,2 二 8【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【名師點(diǎn)睛】利用待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程是高考的常見題型，求雙曲線方程最基礎(chǔ)的方法就是依據(jù)題目的條件列出關(guān)于a,b,c的方程

13、(組)，解方程(組)求出a,b的值.另外要注意22巧設(shè)雙曲線方程的技巧：雙曲線過兩點(diǎn)可設(shè)為mx2 _ ny2 = 1（mn 0）,與與與=1共a b22漸近線的雙曲線可設(shè)為x2_y2=九（九# 0）,等軸雙曲線可設(shè)為x2 y2=K（九豐0）.a b二.能力題組1.12005天津，理21】拋物線C的方程為y=ax2（a0）,過拋物線C上一點(diǎn) P（x0,y0）（ x0r0）作斜率為ki, k2的兩條直線分別交拋物線 C于A （xi, yi ）, B （x2, y2 ）兩點(diǎn)（P、A B三點(diǎn)互不相 同），且滿足k2+冰1 =0 （九0 w0且九#1 ）。（I）求拋物線 C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程（n）設(shè)直

14、線 AB上一點(diǎn)M滿足EM=kMA,證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上（出）當(dāng)九二1時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1, 1）,求/ PAB為鈍角時(shí)點(diǎn) A的縱坐標(biāo)y1的取值范圍?！敬鸢浮浚↖ ）焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0, 1 ）,準(zhǔn)線方程為y = -4a4a1（n）詳見解析，（出）（-o,-1）U（-1,-）4【解析】（D解:由拋物線c的方程了（曰0,b0).由題設(shè)得 a2b2a2 b2 =9，b a 2,解得a： =4b2 =522,所以雙曲線方程為 士 L = i.45(n)解：設(shè)直線的方程為y = kx + m(k=0) .點(diǎn)M(,y1) , N(x2, y2)的坐標(biāo)滿足方程(in)解：因?yàn)辄c(diǎn)p 3, -1)在拋物線蘇

15、上，所以口=-1,拋物線的方程為由得：馬工-用T ,代入J =7得量-體+1將代入得& 二無一年代入，=一上得B= (-因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為/(旬I,-A|*-11 * 君(用L幺 +i 1)于是二萬=(用/2君#2匕) 與=(%嶼).萬蒲& + 2)+*(蠟+凋)=苗(比+2)(2國+1)因?yàn)?PAB為鈍角且P、A B三點(diǎn)互不相同，故必有 AP 7B 0 ,即2ki(ki+2)(2ki+1 )01斛付ki的氾圍為：ki 2或一 k1 022又點(diǎn)A的縱坐標(biāo)yi滿足y1 =rK +1 ),故當(dāng) ki 一2 時(shí)，yi -1、“ 1.1當(dāng)一k( 0時(shí)，1 y1 一2

16、41所以，/PAB為鈍角時(shí)，點(diǎn) A的縱坐標(biāo)yi的取值范圍是(口,-1)U (-1,1)2.12008天津，理21】已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是 (-3,0 ), 一條漸近線的方 程是,5x - 2y = 0.(I)求雙曲線C的方程;(n)若以k(k#0 )為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn) M, N,線段MN的垂直平分y = kx m組x245將式代人式，得W也土叨=1,整理得(54) Bgttx4皿120 = 0.此方程有兩個(gè)一等實(shí)根,于是5-4/且A=(T加尸+40,整理得 一十 5 4嚴(yán),口.由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)(國，兒)滿足x +& +Ath1“ 二屋中

17、為=電十陽=從而線段MV的垂直平分線方程為y-5m 5-41 1 5rn54爐一 k此直線與軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(9 km9m534，0)，(0，534).由題設(shè)可得9m , 8121= 一 .整理得m5 -4k 2(5, k,0.|k|(5 -4k2)2-將上式代入式得 (5 4k )5-4k2|k|220,整理得(4k 5)(4k - |k | -5) 0 , k 盧 0.解得0：二叩：噂或叩4.所以的取值范圍是一加喘叫亭山;二)223.12009天津，理21】已知橢圓 j + /=1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fi(-c,0)和F2(c,0)(c a b2 0),過點(diǎn)E( a ,0)的

18、直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),且FiA/ F 2B,|F iA| = 2|F ?B|.c求橢圓的離心率；(2)求直線AB的斜率;設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線F2B上有一點(diǎn)H(m,n)(mw0)在AF iC的外接圓上，求口m的值.,考查用分析：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力和推理能力【答案】（i） 理；（n） k=必；（出）上=_討2 33m 5【解析】解:由F1A4F2B且|F1A|二2|F2B|,EF, I F.B 1 ;一0 1得=一 從而-=EFX 用第 2隊(duì),/2 一+ c整理彳導(dǎo)也=3

19、0.故離心率。= =吏a 3解曲（D得9=32-0=如一所以橢圓的方程可寫為2x2+3y2=6c2.設(shè)直線AB的方程為y =以%-幺),即y=k(x 3立c一巾, y = k(x-3c2),由已知設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則它們的坐標(biāo)滿足方程組109、2x2 +3y2 =6c2.消去 y 并整理，得(2+3k2)x2 18k2cx+27k2c2 6c2= 0.依題意,A = 48c2(13k2) 0,得一旦:一.33而x118k2c22 3kxi x227 k2c2 -6c22 3k2由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以x1+3c = 2x2.聯(lián)立解得x1 =9k c -2。2 3

20、k229k c 2c2 3k2將x1,x2代入中，解得k = 2 .33c解法一：由（2）可知x1 = 0, x2 = .當(dāng) k =時(shí)，將 A（0, 72c），由已知付 C（0, J2c）.線段AF1的垂直平分線l的方程為y_42c = _Y2(x+_c),直線l與X軸的交點(diǎn)( ,0)是 2222 .，、.c 22 c 2 AF1C的外接圓的圓心.因此外接圓的萬程為(X萬)+y =q + c).直線F2B的方程為y = j2(x-c),于是點(diǎn)/皿口)的坐標(biāo)滿足方程組9c24 由皿他解得，n c）a5川二/2亞n c4. w2婢故一=一一m 5當(dāng)上邛時(shí)洞理可得力一平解法二:由(2)可知xl =

21、0,巧3c當(dāng)卜=上 時(shí)，得A(0, J2c),由已知得C(0, - V2c). 3由橢圓的對(duì)稱性知 B,F2,C三點(diǎn)共線.因?yàn)辄c(diǎn)H(m,n)在4AF1C的外接圓上，且F1A/ F2B,所以四邊形AF1CHK1等腰梯形.由直線F2B的方程為y = j2(xc),知點(diǎn)H的坐標(biāo)為(m，J2mJ2c).因?yàn)?|AH| = |CF1,所以 m2 +（2m 一 v 2c 一 J2c）25解得m= c（舍，或m = -c3則。=卬1。.所以口 =空n_ 二 2 2m 54.12011天津，理18】在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,點(diǎn)P(a,b) (ab0)為動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)-F2分別(I)求橢圓的離心率;(n)設(shè)直線PF

22、2與橢圓相交于 A,B兩點(diǎn)，M是直線PF2上的點(diǎn)，滿足 AM，BM = -2,求點(diǎn)M的軌跡方程.12【答案】(I) e=2.； (n) 18x2 -1673xy-15 = 0(x0).【解析】(I)解：設(shè)片(Y,oxB(uO)go)由題意,可得1=1及9, 即一巽+按=2c,整理得為尸+-1 = 0,得 = 一1 (舍),a aac 11或所以C 二不a 22(II)解：由(I) Ua = 2c,b = yl3ct可得橢圓方程為3, +4產(chǎn)=12/,直線PF2方程為y = J5(xc).3x2 4y2 =12c2,A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組y =、3( x -c).消去y并整理，得5x2 8

23、cx =0.8解得 Xi = 0, X2 = c.58x2c,，xi =0,5得方程組的解yi = - 3c,3、3y2 丁不妨設(shè)次Gc）Q設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（兀V）,則AM =（工一：qyc）._BM = （x v +餡c）,由p二于是汨=（警收專,一4而=（兀W理由而.而=T：即（筆平力展化簡(jiǎn)得 18x2 -16、3xy-15 = 0.18x2-1516 . 3x3 /曰10x2 5八代入c = x -y/Sc =0.316x所以x 0.因此，點(diǎn)M的軌跡方程是18x216J3xy15 = 0（x0）.225.12012天津，理19】設(shè)橢圓 冬+4=1（ab0）的左、右頂點(diǎn)分別為 A B,點(diǎn)P在

24、橢圓 a b上且異于A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).1若直線AP與BP的斜率之積為 -一，求橢圓的離心率;2(2)若|AP = |OA,證明直線OP的斜率k滿足|k|j3.e工,（2）詳見解析2【解析】解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x。，y）.由題意）有2AM1由 A( a, 0) , B( a, 0),得 kAP =y-，kBP = -0- . x0 ax0 -a由 kAP kBP= 可得 x2=a22yo2,代入并整理得(a?2b?)yo2= 0. 2,一22 一a2-b21、2由于yoW。，故a 2b.于e = 2=,所以橢圓的離心率 e =.a222(2)證明：(方法一)yo = kxo,依題

25、意，直線 OP的方程為y=kx,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xo, yo),由條件得x x2 %2-A消去州并整理得._ 層戶 由3P|=|O4|, w(-ao吸.二用，得(m+日產(chǎn)+眄螳=w.整理得(l + W+2=0.而巾J于是為=二，代入，整理得1+A:(1 +為3=電口(囚?+ 4.由心30,故(1 +出戶412+4,即熱+14,因此依3,所以困 b訪法二)依題意，直線 OP的方程為y=kx,可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xo, kxo),由點(diǎn)P在橢圓上，有2 222 22xok xo一xok xo2、22G十2 =1 .因?yàn)?abo, kxow o,所以十2 3,所以|k|73 .(1 k2)2226.12

26、013天津，理18】設(shè)橢圓x-+y- a2 b2x3 、，一與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為4.33= 1(abo)的左焦點(diǎn)為F,離心率為 ，過點(diǎn)F且32(1)求橢圓的方程；過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于 C, D兩點(diǎn).若(2)設(shè)A, B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),AC DB + AD CB = 8,求 k 的值.22【答案】(I) +=1 ； (n) 72【解析】解：(1)設(shè)F( c,0),由=Y3,知a= J3c.過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為x = c, a 3代入橢圓方程有22(-c) ya2 b2解得尸土竽于是*邪解*&,又 aJ c2=b2 從而 3., c= 1,所以橢圓的方程為W

27、 + d=L 32(2)設(shè)點(diǎn)yl), D(x2,必)，由 F(-LO)得直線 CD 的方程為 y=k(x+l),Ir j =4(+1),由方程組(/ / ,消去力 整理得(2+3k2)x2+5k2x + 3k26=0.+=1326儲(chǔ)求解可得Xl + X2=y2+期,xm=總 2+3*因?yàn)?a( 73, 0), b(73, 0),所以 C . DB+AD . CB= (x1 + 33, y1) ( 73-x2, y2) + (x2 + 曲,y2) (四x1, -y1)=62x1x2 2y1y2 = 6 2x1x2 2k2(x1 +1)(x2 + 1)=6 (2 + 2k2)x1x2 2k2(x1

28、 + x2) 2k2_ 2_a 2k 12 6 T2 3k22c 2k 1262-由已知得2+3k =8,解得k=422x7.12014天津，理18】設(shè)橢圓 + a=1 (ab0)的左、右焦點(diǎn)為 E,F2,右頂點(diǎn)為A,b2上頂點(diǎn)為B .已知|AB二 李 F1F2 .（I）求橢圓的離心率;（n）設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段 PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn) F1,經(jīng)過原點(diǎn)O的直線與該圓相切，求直線的斜率.2【答案】（I） e= J； （n）直線的斜率為 4+ q15或4- q15 .2【解析】試題分析:（I ）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)典的坐標(biāo)為由已知|四| =乎冏/，可得丁/ =3/,結(jié)合 ad ,可得彳=!

29、，從而可求得橢圓的禽心率N II ）在（I ）的基礎(chǔ)上，可先利用用庭=0/ 2及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出田點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出以線段網(wǎng)為直徑的圓的方程（圓心坐嗣口半徑），最后設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)d的與該圓相切的直線1的方程為p =由圓心到切線的距離等于半徑，列方程，解方程艮呵得 求得直線1的斜率.試題解析：（I）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn) F2的坐標(biāo)為（c,0） .由| AB|二 IF1 F2| ,可得a又 b2 = a2 - c2,貝U 4二 a + b2 = 3c2 ,，橢圓的離心率e= 222m=1 .設(shè) P(x0,yO).由 Fi(- c,0), c00 00X2(n)由(1)知a2 = 2c2, b2 = c2,

30、故橢圓方程為 1+2c2 jB(0,c),有 FF= (%+c,y0), RB= (c,c).由已知，有 FiP?EB0,即X0 + y0 + c = 0(x0 + c)c + y0c = 0 .又 c 1 0,故有22又.點(diǎn)P在橢圓上，故x02 + y02 = 12c c由任前可得引+垢/=0.而點(diǎn)尸不是楠圓的頂點(diǎn)，故/=多 代入得用二(，即點(diǎn)尸的坐4心 1-c + 0,一十C 工標(biāo)為一丁,三上設(shè)圖的II心為丁(孫川)，則須=二=一三 % = 2 =百萬進(jìn)而圓的半徑r =，(再一O(兌=等.諛直線1的斜率為k,依題意，直線1的方程力量=底.由F與圓相切,可得埠n=-即 ：3 =坐整理得二一肪

31、+口=整解得比=4土莊.，直線，的也? 十 1相+13斜率為4 + ,行或4而.考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)； 2.直線和圓的方程；3.直線和圓的位置關(guān)系.22x y8.12015局考天津，理19(本小題滿分14分)已知橢圓 F +/2=1(ab0)的左焦點(diǎn)為 a bF(-c,0),離心率為，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2+y2 =截得的線34段的長為c, |FM|= 433(I)求直線FM的斜率；(II)求橢圓的方程；(III)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，若直線 FP的斜率大于 J2,求直線OP (O為原點(diǎn))的斜率的 取值范圍.【答案】(I) ； (II)人+乙=1 ； (iii)

32、 J 述如2)332、3)(33)C 19999999【斛析】(I) 由已知有 二=一，又由a =b +c ,可得a =3c , b =2c ,a23設(shè)直線FM的斜率為k(k 0),則直線FM的方程為y = k(x+c),由已知有Y V=2px(p 0)的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為 - 求橢圓的方程和拋物線的方程;(n)設(shè)上兩點(diǎn)P , Q關(guān)于軸對(duì)稱，直線AP與橢圓相交于點(diǎn) B ( B異于點(diǎn)A),直線BQQD由Q)得橢圓方程為一+ J =，直線理M的方程為y =利X+ c) ,兩個(gè)方程聯(lián)立，消去量,整理得 37 上匕J因?yàn)辄c(diǎn)時(shí)在第一象限，可得M的坐標(biāo)為g竽，解得。所以橢圓方程為+4=1阿設(shè)點(diǎn)

33、尸的坐標(biāo)為(兀江直線校的斜率力和得人告，即,KAD(T)名橢圓方程聯(lián)立y =*# 十 1)，小,消去人 整理得2/十又由已知，得r二+ = 113 23x 1 或 一1 x 0,2客，瓦解得設(shè)直線OP的斜率為m ,得m =?，即y =mx(x #0),與橢圓方程聯(lián)立，整理可得 x222m =) 一 一 x23當(dāng)1-1,有 y =t(x+1)0,于曰22 /曰m = J-2 -,得,x 3當(dāng)xw(1,0)時(shí)，有 y=t(x+1)0,因此 m b 0)的左焦點(diǎn)為F ,右頂點(diǎn)為A,離心率為-已知A是拋物與軸相交于點(diǎn)D .若4APD的面積為 Y6,求直線AP的方程.【答案】（I） x2+4y =1,

34、y2=4x；（n）3x + V6y -3 =0 或 3x-V6y-3= 0 .31,【解析】試題分析：（I ）由于 A為拋物線焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為一，則21 1a -c =,又橢圓的離心率為 一，求出c,a,b ,得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)萬程和拋物線的萬程；（n）2 2設(shè)直線AP的方程為x =my+1（m#0）,解出P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把直線AP的方程和橢圓方程聯(lián)立解出B點(diǎn)坐標(biāo)，寫出BQ所在直線的方程，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后根據(jù)4APD的面積為叵,解方程求出m,可得直線AP的方程.2試題解析： I）設(shè)尸的坐標(biāo)為1113依題意，-=- 與=*解得塌=j =9=2 ,于是* = /一1 =-.。222

35、24所以，橢圓的方程為一+幺=1,拋物線的方程為尸2=44 .（II 設(shè)直線AP的方程為篇=可+ Km H，與直線1的方程# = T聯(lián)立，可得點(diǎn)RL）j故。（一 mm將#=叼+1與1+浮=1聯(lián)立,消去整理得（3而2+4）/+6號(hào)=0,解得或片禹-2由點(diǎn)B異于點(diǎn)A,可得點(diǎn)B（空4-6m ） .3m2 - 4 3m2 4,一 2一 一、-6m 2-3m242由 Q（1,一）,可得直線BQ 的方程為（6m-2）（x+1）-（ 3m24+1）（y 2）= 0,m3m 4 m3m 4m222-2令 y =0,解得 x = N”，故 D（文斐,0）,所以 |AD |=1專竺= -6 .3m2 23m2 2

36、3m2 2 3m2 2又因?yàn)?APD的面積為n黑4u，整理得3m2 2而| m| +2 = 0 ,解得| m|=,所以m = 土*33所以，直線AP的方程為3x +J6y3=0或3x J6y 3 = 0.【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合問題【名師點(diǎn)睛】圓錐曲線問題在歷年高考中都是較有難度的壓軸題，本題中第一步利用橢圓的離 心率及橢圓與拋物線的位置關(guān)系的特點(diǎn)，列方程組，求出橢圓和拋物線的方程，第二步聯(lián)立方 程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線的方程，利用面積求直線方程，利用代數(shù)的方法解決幾何問題， 即坐標(biāo)化、方程化、代數(shù)化，這是解題的關(guān)鍵.三.拔高題組221.12006天津，理22】如圖，以橢圓Jxr + 2_=

37、1(ab0)的中心O為圓心，分別以和為半 a b徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點(diǎn)F(c,01c b )作垂直于軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A .連結(jié)OA交小圓于點(diǎn)B .設(shè)直線BF是小圓的切線.(1)證明c2 =ab ,并求直線BF與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)；1 2(2)設(shè)直線BF交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，證明OP QQ= b2 .2【答案】(I)詳見解析，(II)詳見解析【解析】(D證明：由題設(shè)條件知，RiAOFAcoRiAOBF,故OF OB Hn c bOA OF a c因此，c2 = ab.解：在RtAOFA中，F(xiàn)A = OA2-OF2 =b.于是，直線OA的斜率 =c設(shè)直線BF的斜率為k,則,1 c

38、k = 二-.kOAbc . 一這時(shí)，直線BF的萬程為y = 屋一6,令*=0,則 bc2 aby = 一 = 一 = a. b b所以直線BF與y軸的交點(diǎn)為M (0, a).(ID證明：由(D得直線BF的方程為=癡+口，且ab一一，b1 b2 b由已知，謾玳巧，乃), 則它們的坐標(biāo)滿足方程組+ Jb2y = foc+ a.a4口工（，-b） aV由方程組消去力 并整理得(從+%三匕+ a4-a7b2 = 0. 由、和勒不為=從+口僅2=戶+1)=正.a b由方程組消去X,并整理得(b2 +a2k2)y2 -2ab2y +a2b2 -a2b2k2 =0.由和,y1 y2 -2 22、a b (

39、1 -k )T22 2b a k2 2 a、a b (1 - ) ba2b2(b - a)綜上，得到OP OQ = x1x2 yl y2b2a23 2 3 2 2 3a b a b (b - a) a b333.a b a b a b注意到 a2 ab +b2 =a2 -c2 + b2 = 2b2,得OP OQ 二2 3a b73a b2 32.a b _ a b(a b)2b2 - 2(a b)a2b2(a b)a(a2 -b2)2(a b)1 (a2 - ab)21 z 22、= 2(a -c )= -b2.22.12007天津，理22】設(shè)橢圓22X7+與=1(aAb0)的左、右焦點(diǎn)分別為

40、 a b巳尸2, A是橢圓上的一點(diǎn)AF2 1 F1F2原點(diǎn)O到直線 , 1 -AF1的距離為|OF1 |.3(I)證明：a=J2b ；(II)設(shè)Q1,Q2為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)OQ1_LOQ2過原點(diǎn)O作直線Q1Q2的垂線OD,垂足為D,求點(diǎn)D的軌跡方程.【答案】(I)證明(略)(11)【解析】(I)證法一：由題設(shè) AF2，4尸2及(汗,0), F2(c,0),不妨設(shè)點(diǎn)A(c，y)，其中y A 0.由于點(diǎn)A在橢圓上，有22J工=12. 21a b22即 a-4b-a一- b2.2斛得y=一，從而得到A c,一直線/耳的方程為y= +原整理得萬、一加0+/c = S由題設(shè)，原點(diǎn)D到直線幺耳的距離為I，

41、即9 E-T1，3， 7 b +4a c將d = 1 - *代入上式并化筒得標(biāo)=J即Q =證法二：同證法一，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為c,b-.a|BO | A|過點(diǎn)O作OB _LAF垂足為b,易知AFiBO色尸產(chǎn)2 A,故3J =后行 |OFi | Fi A |1由橢圓定義得|AFi |+| AFz|=2a,又|BO|二|OFi |,所以 3i IF2AI IF2AI3 |FiA| 2a-|F2A|,22a 一 a 一一 .b _b a 一斛得 | F2 A 尸一，而 | F2 A |= ，而 | F2 A|=，得一=一，即22a a 2a = . 2b（ID解法一：設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（不，%）當(dāng)先，。時(shí)

42、，由他，烏2知，直線烏區(qū)的斜率為-各.所以直線烏烏的方程為至=，0 +Jo點(diǎn),必）,2 al,約）的坐標(biāo)滿足方程組J = h + 肛Y+2F=2及將式代入式，得x 2(kx m) = 2b .整理得(1 +2k2)x2 +4kmx +2m2 -2b2 =0.于4 kmx1 x2 二一胃7, 222m2 -2b2x1.x2 二z.1 2k2由式得y1y2 =(kx1m)(kx2 m)222 ,-4 km2-km.2 m1 2k2二 k X1X2，km(xi，X2)，m,2 2m2 -2b=k .2-1 2k2m3 -2b2k2- 1 2k2 .由OQ _LOQ2知X1X2 7V2 =0.將式和式

43、代入得222 23m2 -2b2 -2b2k21 2k2=0,3m =2b (1 k ).2心xox。上 一將k = ，m = yo 上代入上式，整理得y。yo222 2x。 y。=b .3當(dāng)此=0時(shí)一直線Qx2的方程為工=%.點(diǎn)&5，兒）,& Qa ）的坐標(biāo)滿足方程組工d +2科=2我所以巧=巧，）匕=212/一 d由。01002知玉與+ y偽=0和一絲產(chǎn) =Q解得W 濟(jì)9這時(shí)，點(diǎn)刀的坐標(biāo)仍滿足*十%=；乩綜上，點(diǎn)D的軌跡方程為x2 +y2=2b2.3解法二：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（Xo,y。）.直線OD的方程為yx%y=0,由OD_LQiQ2,垂足為D,可 知直線Q1Q2的方程為xox +y0y

44、=x2 +y2.記m=x02 +y2 （顯然m00）.點(diǎn)Qi（Xi,yo）,Q2（X2,y2）的坐標(biāo)滿足方程組X0X + yoy = m,：x2+2y2=2b2.由式得y0y=m%x由式得2 22 22 2-yx +2yy =2yb .將式代入式得2 2_2_2 2y0x2（m &x） =2yb ,整理得（K + A” - 4映工+為J 2b2yl = 0.于是2m2 -田式0巧巧=皖+* ,由式得由式得君，+2%：/=遍和將式代入式得（加一北丁）竭力整理得（2x2 +y2）y2 2myy +m2 -2b2x2 =0.于是22 2V1V2 =m 2b x02x2y；由OQ _LOQ2知xx2 +y1y2 =0.將式和式代入得2222m2 -2b2yo2 2xo yom2 -2b2x22x2 y2 =,3m 2b (xoyo) =0.22將m = xoyo代