線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及極點配置

1、現(xiàn)代控制理論實驗（一）線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及極點配置09級自動化本科線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及極點配置一實驗?zāi)康?了解和掌握狀態(tài)反饋及極點配置的原理。2了解和掌握利用矩陣法及傳遞函數(shù)法計算狀態(tài)反饋及極點配置的原理與方法。3掌握在被控系統(tǒng)中如何進行狀態(tài)反饋及極點配置，構(gòu)建一個性能滿足指標(biāo)要求的新系統(tǒng)的方法。二實驗原理及說明一個控制系統(tǒng)的性能是否滿足要求，要通過解的特征來評價，也就是說，當(dāng)傳遞函數(shù)是有理函數(shù)時，它的全部信息幾乎都集中表現(xiàn)為它的極點、零點及傳遞函數(shù)。因此若被控系統(tǒng)完全能控，則可以通過狀態(tài)反饋任意配置極點，使被控系統(tǒng)達到期望的時域性能指標(biāo)。若有被控系統(tǒng)如圖3-3-61所示，它是一個型二階閉環(huán)系

2、統(tǒng)。圖3-3-61被控系統(tǒng)如圖3-3-61所示的被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：(S)=b011（3-3-51） =22TiS(TS+1)+1TiTS+TiS+1S+a1S+a0b0（3-3-52） (S-1)(S-2)采用零極點表達式為：(S)=進行狀態(tài)反饋后，如圖3-3-62所示，圖中“輸入增益陣”L是用來滿足靜態(tài)要求。圖3-3-62狀態(tài)反饋后被控系統(tǒng) 設(shè)狀態(tài)反饋后零極點表達式為：(S)=b0(S-)(S-)*1*2 （3-3-53）1矩陣法計算狀態(tài)反饋及極點配置1）被控系統(tǒng)被控系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)變量圖見圖3-3-63。圖3-3-63被控系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)變量狀態(tài)反饋后的被控系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)變量圖見圖3-3-64。

3、圖3-3-64狀態(tài)反饋后的被控系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)變量圖1 / 7線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及極點配置圖3-3-61的被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為： 11X1=-TX1+TX2狀態(tài)方程：11X1+uX2=-TiTiY=X1X=Ax+Bu A，B，C）=（0Y=Cx（3-3-54） 式中1-Tx1x=,A=1x2-Ti10 T，B=,C=1010Ti被控系統(tǒng)的特征多項式和傳遞函數(shù)分別為：0(S)=b1S+b0-1=C(SI-A)B S2+a1S+a0f0(S)=S2+a1S+a0=det（SI-A）可通過如下變換（設(shè)P為能控標(biāo)準(zhǔn)型變換矩陣）：X=PxX=Ax+Bu 將（化為能控標(biāo)準(zhǔn)型，即：A，B，C）（A，B

4、，C）0Y=Cx0式中A=P-1AP=10，C-1，=CP=b0b1 B=PB=-a11-a02）被控系統(tǒng)針對能控標(biāo)準(zhǔn)型引入狀態(tài)反饋： （A，B，C）u=-kx式中k=k0k1（3-3-55） 可求得對x的閉環(huán)系統(tǒng)(A-Bk，的狀態(tài)空間表達式： B，C）仍為能控標(biāo)準(zhǔn)型，即：X=（A-Bk）x+Bu Y=Cx式中A-Bk= （a0+k0）-（a1+k1）-01則閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式和傳遞函數(shù)分別為： （A-Bk，B，C） fk(S)=detSI-(A-Bk)=S2+（a1+k1）S+（a0+k0）b1S+b0 k(S)=CSI-(A-Bk)B=S2+（a1+k1）S+(a0+k0)-12 / 7

5、線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及極點配置3）被控系統(tǒng)如圖3-3-61所示：其中：Ti=1T=0.05-20200X+1u-10Y=10X則其被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：X=期望性能指標(biāo)為：超調(diào)量MP20%；峰值時間tP0.5秒。2n (S)=22S+2nS+nMp=e-/1-220%=0.4560.5n7取=0.46由tp=n-2取n=10可寫出期望特征多項式：* P*(S)=S2+9.2S+100=S2+a1S+a*（S-1）(S-*）0=2因此，根據(jù)性能指標(biāo)確定系統(tǒng)期望極點為：*1=-4.6+8.88j *2=-4.6-8.88j令fk(S)=P*(S)，可解出能控標(biāo)準(zhǔn)型，使閉環(huán)極點配置到期望極點

6、的狀態(tài)反饋（A，B，C）*增益矩陣為：k=kka1-a1=80-10.8 01=a0-a0將X=Px代入式3-3-55：u=-kx=-kP-1x=-kx則原被控系統(tǒng)（即對應(yīng)于狀態(tài)X，引入狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點配置到期望極點A，B，C）0的狀態(tài)反饋增益矩陣為：K=kP-1aP=BAB11-11020201200 =10=201010200P-1=201011P*-20200=20P20-11K=k010-1k1P=80-10.820=14.8-10.8-11“增益陣”L是用來滿足靜態(tài)要求,可取L=5，設(shè)計如圖3-3-68所示的極點配置后系統(tǒng)的模擬電路。2傳遞函數(shù)法計算狀態(tài)反饋量對于型二階閉環(huán)系統(tǒng)還可

7、以用傳遞函數(shù)方法簡便地進行狀態(tài)反饋，以達到期望性能指標(biāo)。1）被控系統(tǒng)3 / 7線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及極點配置如圖3-3-61所示的型二階閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：(S)=b011（3-3-56） =22TiS(TS+1)+1TiTS+TiS+1S+a1S+a02）狀態(tài)反饋后的被控系統(tǒng)狀態(tài)反饋后系統(tǒng)見圖3-3-65。圖3-3-65狀態(tài)反饋后系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖根據(jù)圖3-3-65列出狀態(tài)反饋后的被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：G(S)1=1/TiS1，G(S)2=1, =TS+11-K1/TiSTiS-K1(S)=注：G(S)1是一個帶正反饋的閉環(huán)系統(tǒng)，G(S)2是一個慣性環(huán)節(jié)。 （3-3-57） G(S)1G(S)211

8、/TiT1+G(S)1G(S)2K2=(TiS-K1)(TS+1)+K2=S2+i11S+2TiTTiT與式（3-3-56）比對可知：a1=Ti-K1TTiTa0=K2-K1a01b0=TiTTiT0K2-K1（3-3-58）顯而言之，狀態(tài)反饋后的被控系統(tǒng)的閉環(huán)增益降低了（K2-K1）倍，為了滿足靜態(tài)要求，須增加“增益陣”L ：L=K2-K1（3-3-59）根據(jù)式（3-3-58）和（3-3-59）求出K1、 K2和L，設(shè)計狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的模擬電路。3）被控系統(tǒng)如圖3-3-61所示：其中：Ti=11系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：(S)= TiS(TS+1)+1T=0.05 若期望性能指標(biāo)校正為：超調(diào)量MP20

9、%；峰值時間tP0.5秒。 Mp=e-/1-220%0.5n7=0.46取n=10由tp=n-2 可寫出期望特征多項式：(S)=按圖3-3-65進行狀態(tài)反饋。 2n100 =222S+2nS+nS+9.2S+100代入式（3-3-57）、（3-3-58）和（3-3-59）求出：K1=10.8可設(shè)計如圖3-3-68所示的狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的模擬電路。三實驗內(nèi)容及步驟1 觀察狀態(tài)反饋前系統(tǒng)狀態(tài)反饋前系統(tǒng)的模擬電路見圖3-3-66所示。4 / 7K2=15.8L=5線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及極點配置圖3-3-66狀態(tài)反饋前系統(tǒng)的模擬電路2觀察狀態(tài)反饋后系統(tǒng)根據(jù)如圖3-3-66所示的被控系統(tǒng)，若期望性能指標(biāo)校正

10、為：超調(diào)量MP20%，峰值時間tP0.5秒，設(shè)計狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的模擬電路見圖3-3-68所示。經(jīng)計算要求反饋系數(shù)K1=10.9 = R1/R3，R1=200K，則R3=18.3K；反饋系數(shù)K2=-5.9=R1/R2，R1=200K，則R2=33.9K。圖3-3-68狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的模擬電路四. 實驗結(jié)果實驗被控系統(tǒng)為型二階閉環(huán)系統(tǒng)，狀態(tài)反饋前的系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線5 / 7線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及極點配置狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線(S)=系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：Mp=e-/tp=1-21TiS(TS+1)+1 期望性能指標(biāo)校正為：超調(diào)量MP20%；峰值時間tP0.5秒。 20%0.5n7=0.46取n=10n-2由2n100(S)=2=2S+2nS+nS2+9.2S+100 可寫出期望特征多項式：所以反饋