高等數(shù)學微積分總結

1、 積 分 整個高數(shù)課本,我們一共學習了不定積分,定積分,重積分(二重,三重),曲線積分(兩類),曲面積分(兩類).在此,我們對積分總結,比較,以期同學們對積分有一個整體的認識. 一、不定積分 不定積分是微分的逆運算,其計算方法、各種技巧是我們后面各種積分計算的基礎，希望同學們熟記積分公式，及各種方法(兩類換元,分部積分,有理函數(shù)積分等) 二、定積分 1.定義式: 2.定義域:一維區(qū)間,例如 3.性質:見課本P229-P232 特殊:若,則,即區(qū)間長度. 4.積分技巧:奇偶對稱性. 注意:定積分中積分變量可以任意替換即,而不定積分不具有這種性質. 5.積分方法:與不定積分的方法相同. 6.幾何應

2、用: 定積分的幾何意義: 表示以為頂與軸所夾區(qū)域面積的代數(shù)和(注意如,則面積為負); 其他應用:如表示截面積,則積分為體積;平面弧長等. 三、二重積分 1.定義式: 2.定義域:二維平面區(qū)域 3.性質:見下冊課本P77 特殊: 若,則,即為的面積.4.坐標系: 直角坐標系:型區(qū)域,型區(qū)域極坐標系:適用范圍為圓域或扇形區(qū)域,注意坐標轉換后不要漏掉,積分時一般先確定的范圍,再確定的范圍.5.積分技巧:奇偶對稱性(見后),質心;6.幾何應用:二重積分的幾何意義:若,則表示以為頂以為底的曲頂柱體體積;其他應用:求曲面的面積四、三重積分1.定義式2.定義域:三維空間區(qū)域;3.性質:與二重積分類似; 特殊

3、: 若,則,其中表示的體積.4.坐標系: 直角坐標系:投影法,截面法(一般被積函數(shù)有一個自變量,而當該變量固定時所得截面 積易求時采用) 柱坐標系:積分區(qū)域為柱形區(qū)域,錐形區(qū)域,拋物面所圍區(qū)域時可采用; 球坐標系:積分區(qū)域為球域或與球面相關的區(qū)域時,確定自變量范圍時,先,后,最后 . 5.積分技巧:奇偶對稱性,變量對稱性(見后),質心等. 6.應用: 表示密度,則為物體質量.(不考慮幾何意義)五、第一類曲線積分1.定義式:(二維) (三維)2.定義域:平面曲線弧 空間曲線弧3.性質:見課本P128 特殊: 則,表示曲線弧長.4.計算公式(二維為例): 類似可推出的公式.注意化為定積分時下限小于

4、上限.5.積分技巧:奇偶對稱性,變量對稱性,質心;6.幾何應用:見上3.六、第二類曲線積分1.定義式: (二維) (三維)2.定義域:有向平面曲線弧(二維)或有向空間曲線弧(三維)3.性質:見課本P1354.計算公式: 注意:曲線積分化為定積分時,下限為起始點,上限為終點.5.積分技巧:二維曲線積分可以應用格林公式(注意使用條件).積分與路徑無關.不能使用奇偶對稱性.6.應用:力做功.七、第一類曲面積分1.定義式: 2.定義域:空間曲面 注意:空間曲面與坐標面重合或平行時,即為二重積分,故二重積分時第一類曲面積分的特例.3.性質:見課本:與第一類曲線積分類似 特殊: 則,表示曲線面積.4.計算

5、公式:類似可得在另兩個曲面上的投影公式. 注意對于特殊的曲面如柱面考慮使用柱坐標,曲面考慮使用球坐標.5.積分技巧:奇偶對稱性,變量對稱性,質心.6.幾何應用:見上3.八、第二類曲面積分1.定義式2.定義域:有向空間曲面3.性質:見課本P1624.計算公式: ,類似可得另兩個.5.積分技巧:高斯公式,循環(huán)對稱性.不能使用奇偶對稱性.注:要熟練掌握使用高斯公式做第二類曲面積分的題目,使用時要注意曲面方向以及是否封閉.6.應用:求流量,磁通量等.奇偶對稱性:定積分:若積分區(qū)間關于原點對稱,例如 若關于為奇函數(shù),則若關于為偶函數(shù),則 二重積分:若積分區(qū)域關于軸對稱,記為的部分若關于為奇函數(shù),則若關于

6、為偶函數(shù),則同樣可以得到積分區(qū)域關于軸對稱時, 關于為奇、偶函數(shù)的公式.三重積分: 若積分區(qū)域關于面對稱,記為的部分若關于為奇函數(shù),則若關于為偶函數(shù),則同樣可以得到區(qū)域關于另兩個曲面對稱的情況.例題:P123#1(1)(2) P124#2(4)第一類曲線積分:若積分曲線關于軸對稱,記為的部分若關于為奇函數(shù):若關于為偶函數(shù):同樣可以得到曲線關于軸對稱的情況. 第一類曲面積分:若積分曲面關于面對稱,記為的部分,若關于為奇函數(shù):若關于為偶函數(shù):同樣可以得到曲面關于另兩個坐標面對稱的情況.例題:課本P158#6(3),P184#2變量對稱性:一般在做重積分、曲面積分時使用， 使用時要注意曲面或區(qū)域必須是關于變量是對稱的,即對于曲面方程自變量相互替換后方程不改變,例如等,此時 例題1:其中為球面被平面所截的曲線.例題2: 其中為球面 循環(huán)對稱性(適用第二類曲面積分):若積分曲面滿足變量對稱,而