matlab與力學

1、第六章 位移法超靜定結構兩類解法：力法：思路及步驟，適用于所有靜定結構計算。結合位移法例題中需要用到的例子。有時太繁，例。別的角度：內(nèi)力和位移之間的關系隨外因的確定而確定。 位移法，E，超靜定梁和剛架。于是，開始有人討論：有沒有別的方法來求解或換一個角度來分析，what？我們知道，當結構所受外因（外荷載、支座位移、溫度變化等）一定Þ內(nèi)力一定Þ變形一定Þ位移一定，也就是結構的內(nèi)力和位移之間有確定的關系（這也可以從位移的公式反映出來）。力法：內(nèi)力Þ位移，以多余力為基本未知量，能否反過來，也就是先求位移Þ內(nèi)力，即以結構的某些位移為基本未知量，先想辦法

2、求出這些位移，再求出內(nèi)力。這就出現(xiàn)了位移法。目前通用的位移法有兩種：英國的、俄羅斯的，兩者的實質(zhì)是相同的。以結構的某些結點位移作為基本未知量，由靜力平衡條件先求出他們，再據(jù)以求出結構的內(nèi)力和其它位移。這種方法可以用于求解一些超靜定梁和剛架，十分方便。例：上面的例子，用位移法求解，只有結點轉角一個未知量。下面，我們通過一個簡單的例子來說明位移法的解題思路和步驟：一個兩跨連續(xù)梁，一次超靜定，等截面EI=常數(shù)，右跨作用有均布荷載q，（當然可以用力法求解），在荷載q作用下，結構會發(fā)生變形，無N，無軸向變形，B點無豎向位移，只有轉角jB。且B點是一個剛結點傳遞M；變形時各桿端不能發(fā)生相對轉動和移動，剛結

3、點所連接的桿件之間角度受力以后不變。也就是AB、BC桿在結點B處的轉角是相同的。原結構的受力和變形情況和b是等價的。B當作固定端又產(chǎn)生轉角jB。 a（原結構）c AB： BC：b如果把轉角jB當作支座位移這一外因看，則原結構的計算就可以變成兩個單跨超靜定梁來計算。顯然，只要知道jB，兩個單跨靜定梁的計算可以用力法求解出全部反力和內(nèi)力，現(xiàn)在的未知量是jB（位移法的基本未知量）。關鍵：如何求jB？求出jB后又如何求梁的內(nèi)力？又如何把aÞb來計算？我們采用了這樣的方法：假定在剛結點B附加一剛臂（），限制B點轉角，BÞ固定端（無線位移，無轉動）（略軸向變形）原結構就變成了AB、BC

4、兩個單跨超靜定梁的組合體：AB： ，BC：但現(xiàn)在和原結構的變形不符，jB，所以為保持和原結構等效，人為使B結點發(fā)生與實際情況相同的轉角jB（以Z1表示，統(tǒng)一）。一緊一松，兩者抵消，C結構和原結構等效，也就是：兩者受力和變形相同。C稱原結構的基本結構，a、b、c三個結構是相同的，現(xiàn)在我們可以用基本結構來代替原結構的計算，C的未知量是Z1，求Z1的條件是什么呢？附加剛臂本身沒有，加上去限制轉動后又放松，所以要等效，剛臂不應受力。（不產(chǎn)生反力）。也就是基本結構在原荷載q和Z1（jB）的共同作用下使附加剛臂上的反力偶等于0。取出B點作為隔離體R1=0，要求R1用疊加法。qqq:Z1（jB）1）基本結構

5、在原結構荷載q單獨作用下，用力法求出BC的M圖，AB段=0，取出B作為隔離體，平衡，剛臂上反力偶R1P= ql2/8（和Z1同向為+），基本結構在原荷載單獨作用下在附加剛臂上產(chǎn)生的反力偶。2）在Z1單獨作用下力法求出（圖），B隔離體。 基本結構在Z1單獨作用下“”上的反力偶。共同作用下，疊加：，帶Z1算不方便，也不通用，在Z1處加單位轉角Þf、圖位移法的典型方程，其中當r11、R1P和Z1同向為正。求出后，最后M圖疊加，即原結構的M圖，由桿件平衡作出Q圖。簡單地重復一下思路：比較力法和位移法可知：（異同點）兩者所選取的基本未知量不同； 力法： 位移法：思路不同，途徑不同；但所遵循的原

6、則是一致的：利用基本結構和原結構的受力和變形相同的條件求解。力法的基本結構是靜定結構，利用多余力處的位移條件建立力法典型方程，求多余力，將超靜定結構Þ靜定結構來求解依據(jù)：靜定結構的內(nèi)力和位移計算。并且基本結構形式可能會很多。位移法的基本結構（一般是唯一的）：單跨超靜定梁的組合體（可以分開計算）。利用附加聯(lián)系處的力的平衡條件建立位移法典型方程。求出結點位移未知量。依據(jù)：以力法和單跨超靜定梁的計算作為計算基礎，單跨超靜定梁的形式較少，計算可先列出通式算出來或制成表格直接查用。這是下一節(jié)的內(nèi)容。從一例 第一節(jié) 位移法的基本思路a,b變形、受力、內(nèi)力相同，a算b算。若將、當作支座位移這一外因

7、來算，原結構 兩個單跨超靜定梁的組合體分別計算，而兩個單跨超靜定如何計算？由力法推出的轉角位移方程可以建立桿端內(nèi)力桿端位移、荷載之間的關系：例： 由具體荷載可以直接求出結果顯然：只有知道剛結點A：，只有一個（結點A的轉角）未知量（位移法基本未知量）。求的方程，B點M平衡：，這就是解題步驟：1）. 2）. 3）. 4）. 桿端內(nèi)力作內(nèi)力圖一、位移法的解題思路超靜定結構求解的前提：當結構形式一定，所受外因（外荷載、支座位移、溫度變化等）一定Þ內(nèi)力、反力一定Þ變形一定Þ位移一定。也就是在一定的外因下，結構的內(nèi)力和位移之間有確定的關系。由思維的正、逆過程，分出超靜定結構的

8、兩種解法：力法，內(nèi)力Þ位移，以多余力作出基本未知量；位移法：位移Þ內(nèi)力，以結構的某些位移為基本未知量，先想辦法求出這些位移，再求出內(nèi)力Þ求解一些超靜定梁及剛架十分方便。下面結合圖10-11所示剛架來討論一下位移法的解題思路：原結構（受力P作用下變形如圖，1處有一結點轉角Z1）（在某些結點上加上一定的附加聯(lián)系（附加剛臂或附加鏈桿）把這些結點®固定端或鉸支，如圖?；窘Y構，代替原結構進行計算。（單跨超靜定梁的組合體）（要使基本結構保持和原結構完全等效，也就是受力、變形相同）。（再使各附加聯(lián)系處發(fā)生與實際相符的位移，當作外因，稱位移法的基本未知量）由于基本結構

9、和原結構完全等效（力、位移），每個附加聯(lián)系處產(chǎn)生的約束反力等于0。則（結論）：基本結構在原荷載及這些結點位移共同作用下在各個附加聯(lián)系上產(chǎn)生的總約束力等于0的平衡條件建立位移法典型方程。（計算手段：人頭頂磚）利用疊加法分別求出基本結構在原荷載作用下的約束反力基本結構在各結點未知量作用下的約束反力，疊加法。求這些約束反力的基礎：單跨超靜定梁的轉角位移方程®求解位移法典型方程，求出結點位移未知量®疊加出最后M（桿件平衡）®Q（結點平衡）®N作出內(nèi)力圖。1、 彎矩正負問題。1） 正負的規(guī)定2） M成對出現(xiàn)3） 彎矩方向和受拉邊的關系2、 附加約束再放松結點位移是

10、解題的一種思路和手段。3、 結合一個簡單的剛架例子重述步驟。位移法基本未知量可以通過作出位移變形圖來確定，但比較麻煩，歸納出一般的規(guī)律，和基本結構的選取同時進行。§10-2等截面直桿的轉角位移方程 位移法中將桿件看作單跨超靜定梁，桿端位移可看作單跨超靜定梁的支座位移。單跨超靜定梁在荷載、支座位移（桿端位移）作用下的桿端彎矩和剪力（桿端內(nèi)力）之間的關系式，對于等截面直桿，它們的關系有一個統(tǒng)一的表達式，稱為轉角位移方程。本節(jié)主要推導此關系式：一、桿端內(nèi)力及桿端位移的表示方法及正負號規(guī)定：1、 桿端內(nèi)力（M、Q）：Mik、 Qik （i桿端，k同一桿的遠端）；（ik為M所屬的桿件）桿端位移

11、（j、）：A：uA、vA、jAB：uB、vB、jBAB=vB - vA AB兩端在垂直于桿軸方向上的相對線位移b=AB/l 弦轉角表桿端的相對線位移2、正負規(guī)定：桿端彎矩MAB、MBA：繞桿端順時針為正，逆時針為負。（對結點或支座而言，以逆時針為正）桿端剪力QAB、QBA：繞隔離體以順時針轉動為+。結點轉角（桿端轉角）jA、jB弦轉角bAB（表桿軸弦轉的方向）：以順時針轉動為正兩端的相對線位移：以使桿件順時針轉動為正，反之為負。注：對桿端彎矩作規(guī)定，對其它截面彎矩并沒作規(guī)定。作彎矩圖時，應先按此符號規(guī)定正確判定桿件的受拉邊，M圖畫在受拉邊，不標正負號。二、位移法的計算假定：a、 忽略軸力產(chǎn)生的

12、軸向變形的影響Þ桿件變形前的直線長=變形后的曲線長度。b、 彎曲變形是微小，j、b()很少Þ桿件變形后的曲線長度=弦線長度例：jA、jB、AB、bAB、jÞ推論1）：盡管桿件產(chǎn)生彎曲變形，但直桿件兩端（桿件兩端）點之間的沿桿的軸線方向的距離變形前后仍保持不變。也就是uA=uB；直桿兩端的水平位移相等。推論2）：直桿的一端不變動而桿發(fā)生彎曲變形時，桿的另一端的線位移桿原軸線。或兩個不動點，引出兩直桿的交點，也是不變動的。也就是uA=uB=0c、 略去剪切變形對位移的影響，剪切角=0推論3）：桿件軸撓曲線上某點之切線的傾角j（與桿原軸線夾角）便是該點橫截面的轉角。j=

13、+rÞj=在力法中也有類似的假定，只不過當時未強調(diào)而已。在超靜定梁、剛架的位移系數(shù)計算時：1）不考慮N引起的軸向變形Þ位移2）不考慮Q引起的剪力變形Þ位移3）小變形假設由力法對于單跨靜定梁，桿端M、Q（內(nèi)力）是由荷載和（jA、jB、AB、bAB桿端位移所決定的。也就是它們之間存在有確定的關系，等截面直桿的轉角位移方程。三、等截面直桿的轉角位移方程三種常見形式的單跨超靜定梁：由荷載作用、溫度變化、支座移動引起的桿端力可由力法求得。一般特殊1、兩端固定的梁：（1）受任意荷載作用（或溫度變化）： 、 、固端彎矩。（可由力法求得）：表10-1。（2）支座移動作用： jA、

14、jB、AB、（都假設為正）：也可由力法求得（3）jA、jB、AB和荷載共同作用下：由疊加原理： （1）i=EI/l 桿件的線剛度。兩端固定的單跨超靜定梁轉角位移方程。注：也可用于剛架中有軸力的桿件。因為對于小撓度問題（小變形范圍）可以不考慮N、M之間的相互影響，也就是軸向變形和彎曲變形之間是相互獨立的。2、一端固定，一端鉸支的單跨超靜定梁（1）受任意荷載作用（或溫度變化）： 、 、（可由力法求得）：表10-1。（2）支座移動作用： jA、AB、（都假設為正）：也可由力法求得（3）jA、AB和荷載共同作用下：由疊加原理： （2）也可由（1）式得： 解出jB，代入（1）式就可得（2）式。3、一端固

15、定，一端定向的單跨超靜定梁：同理可得： （3）注：表中桿端內(nèi)力是根據(jù)圖示方向的位移方向和荷載情況求得的，當計算某一結構時，應根據(jù)其桿件所受的實際位移方向和荷載情況，判斷其桿端內(nèi)力的正負號。轉角位移方程雖是針對單跨超靜定梁（等截面）導出的，它們建立的關系對于剛架中任何一根等截面受彎桿件來說都是適用的。特殊情況：單位角位移或單位線位移下桿件內(nèi)力圖： §10-3位移法的基本未知量和基本結構 （闡述：根據(jù)第一節(jié)的分析，我們知道：位移法是以一些結點位移作為基本未知量的，先求這些位移，再求內(nèi)力。那么：到底以那些位移為基本未知量或位移法的基本未知量的數(shù)目如何確定呢？要解決這個問題，首先應該從它的解

16、題思路開始，我們先回顧一下位移法的基本思路：原結構（某些結點上加上一定的附加聯(lián)系，把結點變成固定端或鉸支）基本結構（單跨超靜定梁的組合體）再使各附加聯(lián)系處發(fā)生與實際相符的位移。位移法的基本未知量（當作外因）原結構，所以根據(jù)基本結構在原荷載及這些結點位移共同作用下，在附加聯(lián)系處（上）產(chǎn)生的總約束力等于0的平衡條件建立位移法的典型方程求出這些結點位移未知量（以單跨靜定梁的轉角位移方程為基礎）最后內(nèi)力。顯然，位移法的基本未知量數(shù)目指的是：原結構基本結構（附加聯(lián)系限制的位移數(shù)）或基本結構原結構應放松的結點位移數(shù)。等于基本結構上所應具有的附加聯(lián)系數(shù)目。所以：確定位移法基本未知量的數(shù)目可以和位移法的基本結

17、構的選取聯(lián)系起來。例：一個門式剛架，所受荷載P1、P2，（如何變形？） 原結構 變形可能的變形：A、B固定端，無角位移和線位移，一般情況下，C、D應該各有三個位移（水平、豎向線位移、角位移）但，由位移法假定推論2可知：CV=DV=0（豎向線位移等于0）C只沿AC軸方向移動CD只沿BD軸方向移動D由推論1：C=D=所以C、D兩點共有三個獨立的位移C、D、。要使原結構基本結構（三個單跨超靜定梁的組合體）。也就是C、D固定端需加三個附加聯(lián)系兩個剛臂，一個鏈桿，再使基本結構原結構（受力、變形等效）應該在附加聯(lián)系處強迫產(chǎn)生與實際相同的位移C、D、Z1、Z2、Z3 ）一、基本未知量：包括：獨立剛結點角位移

18、；獨立的結點線位移。確定位移法基本未知量的方法1、剛結點的獨立角位移=結構中剛結點的數(shù)目=附加剛臂的數(shù)目。因為原結構凡屬各桿相互剛結的每個剛結點均有一個獨立的角位移，變成基本結構，均需附加一個剛臂，所以只要數(shù)一下這種剛結點的數(shù)目即可；2、獨立的結點線位移數(shù)=附加鏈桿的數(shù)目。要確定原結構基本結構所需附加鏈桿的數(shù)目，主要依據(jù)為推論2：結構中兩個不動點所引出的不共線的兩直桿相交的結點也是不動的。忽略受彎桿件的軸向變形，并認為彎曲變形是微小的，進而假設受彎直桿兩端間的距離在變形前后保持不變。例1：如圖，A、B、C不動；D、F加剛臂后仍有沿（DEF水平向）的線位移，在F加一鏈桿，F(xiàn)不動E不動D不動或在D

19、附加一鏈桿，D不動E不動F不動。（加在D或F效果相同，結果是唯一）例2：B、C、D處應附加三個剛臂；B、C、D尚有線位移，B處加一鏈桿，B不動C、D還動，D處加一鏈桿，D不動，B、D不動ÞC不動。（雙鉸門式剛架）例3：A、E、G不動ÞD不動；在C加鏈桿，不動ÞB不動。例4：對需要考慮軸向變形的二力桿，其兩端距離不能看作不變的：情況例5：情況：3、有時，這種方法太煩，易出錯，另一種方法：幾何構造的分析方法。把原結構所有的剛結點（包括固定端）全改為鉸結點，要使鉸接后的鉸接體系成為不變體系時需添加的最少鏈桿數(shù)就是原結構的獨立線位移的數(shù)目。注：位移法的基本未知量數(shù)目和超靜

20、定次數(shù)無關。有的超靜定梁、剛架用力法或用位移法方便，各有適用范圍。二、基本結構：單跨超靜定梁的組合體在原結構可能發(fā)生獨立位移的結點上加上相應的附加約束：（1） 在每個剛結點上施加附加剛臂“”，控制剛結點的轉動，但不能限制結點的線位移；（2） 在每個產(chǎn)生獨立結點線位移的結點上，沿線位移方向施加附加鏈桿，控制該結點該方向的線位移；原結構彼此獨立的單跨超靜定梁。例：§10-4位移法的典型方程及計算步驟 Pi,li,lPPl/8Pl/8Pl/84i2i2iMP圖M1圖Pl/165Pl/32Pl/329Pl/64M圖一、對無側移剛架：(只有結點角位移)基本結構1、 基本未知量：結點角位移Z12

21、、 基本結構：結點上施加附加剛臂3、 為使原結構=基本結構變形一致：附加剛臂的加入，阻止了結點的轉動；但原結構具有轉角位移的，因此令附加剛臂連同結點一起發(fā)生與原結構相同的轉角Z1。基本結構在荷載和結點位移（基本未知量）共同作用下的體系基本體系。受力一致：基本結構由于加入了附加剛臂，產(chǎn)生附加力矩R1，而原結構沒有剛臂。因此，得靜力平衡條件：R1=04、 基本結構在荷載、Z1共同作用下附加剛臂中的附加反力矩：基本結構在荷載作用下附加剛臂中的附加反力矩，可以求。：基本結構在Z1作用下附加剛臂中的附加反力矩，由于Z1未知，因此，仿力法：沒r11為單位Z1=1時附加剛臂產(chǎn)生的附加反力矩，則 位移法方程5

22、、系數(shù)r11：含義；由結點平衡條件求解。r11=8i 自由項：含義；由結點平衡條件求解. =-Pl/86、7、二、有側移剛架：結點角位移+結點線位移1、 本未知量：結點角位移Z1、結點線位移Z22、 基本結構：結點上施加附加剛臂、附加鏈桿3、 為使原結構=基本結構變形一致：附加剛臂、鏈桿的加入，阻止了結點的轉動、移動；但原結構具有轉角位移、線位移的，因此令附加剛臂連同結點一起發(fā)生與原結構相同的轉角Z1，附加鏈桿連同結點一起發(fā)生與原結構相同的線位移Z2?；窘Y構在荷載和結點位移（基本未知量）共同作用下的體系基本體系。受力一致：基本結構由于加入了附加剛臂、附加鏈桿，產(chǎn)生附加力矩R1、附加反力R2，

23、而原結構沒有剛臂、鏈桿。因此，得靜力平衡條件：R1=0R2=04、基本結構在荷載、Z1、Z2共同作用下附加剛臂中附加反力矩基本結構在荷載、Z1、Z2共同作用下附加鏈桿中附加反力、：基本結構在荷載作用下附加剛臂、附加鏈桿中的附加反力矩、附加反力，可以求。、：基本結構在Z1、Z2作用下附加剛臂中的附加反力矩，由于Z1未知，因此，仿力法：同理： 位移法方程注：系數(shù)和自由項分成兩類：一是附加剛臂的反力矩r12、r11、R1P：含義；由結點平衡條件求解。 另一類是附加鏈桿上的反力r21、r22、R2P：含義；由桿件平衡條件求解.r12=-6i/l、r11=7i、R1P=pl/8r21=-6i/l、r22

24、=15i/l2、R2P=-p/25、代入求解：6、三、對三個未知量剛架：一個剛架建立方程的依據(jù)：基本結構在荷載基本位移未知量Z11、Z2、Z3共同作用下每個附加聯(lián)系上的總的約束反力等于0，也就是：附加剛臂上反力偶R1=0；R2=0；R3=0用疊加法來求附加鏈桿上的反力疊加：(a)Z1+(b)Z2+(c)Z3+(d) Û原結構或基本結構方程中系數(shù)自由項含義：反力互等定理：線性變形體系中，支座1由于支座2的單位位移所引起的反力r12=支座2由于支座1的單位位移所引起的反力r21。r12= r21；r13= r31；r23= r32所以：方程中的付系數(shù)是對稱的，只求一半。從位移法的方程可以

25、看出：R1=0，R2=0就表示1、2兩點（剛結點）的力矩平衡；R3=0表示截斷各豎柱的頂端所得的隔離體上面，各豎柱剪力之代數(shù)和應與隔離體上全部荷載的水平投影維持平衡。也就是：位移法方程的實質(zhì)就是靜力平衡方程。四、位移法典型方程推廣：對于一個超靜定結構，若加上幾個附加聯(lián)系后Þ基本結構（單跨超靜定梁的組合體）相應地有n個位移（基本）未知量（獨立的剛結點的角位移+獨立的結點線位移），則依據(jù)基本結構在原荷載和n個基本未知量（位移）共同作用下使每個附加聯(lián)系上的總約束力（總反力偶或反力）都等于0的靜力平衡條件，（仿上例），便可寫出n個方程。 (i=1、2n) 位移法典型方程注：1、和力法典型方程

26、類似：組成上具有一定的規(guī)律，具有付系數(shù)互等的關系，且不管結構類型（形狀）如何，只要具有n個基本位移未知量，位移法方程就有統(tǒng)一的形式，各項含義也一樣。 2、主系數(shù)（主反力）rii：rii>0付系數(shù)（付反力）rij（i¹j and rij=rji）：rij0或<0自由項（荷載項）Rip ：+、-、03、正負號規(guī)定：所有系數(shù)和自由項（力或力偶）與所屬附加聯(lián)系相應的位移所設方向一致為正，反之為負。4、 系數(shù)及自由項的求解：從系數(shù)和自由項的含義可知：基本結構在結點單位位移或荷載的單獨作用下附加聯(lián)系上的反力或反力偶，所有只要分別作出基本結構在及荷載單獨作用下的彎矩圖和Mp，便可用結點

27、力矩平衡條件和隔離體力的平衡條件求出所有的系數(shù)和自由項。5、求出所有系數(shù)和自由項以后，代入位移法典型方程，求出所有基本未知量Zi，再用疊加法疊加出最后M圖ÞQ圖（桿件平衡）ÞN圖（結點平衡）五、總結位移法計算步驟a：原結構（加上一定的附加聯(lián)系）Þ基本結構（單跨超靜定梁的組合體），同時確定了位移法的基本未知量；b：建立位移法典型方程。（統(tǒng)一形式）c：求出所有系數(shù)及自由項。（作出、Mp圖由結點力矩或隔離體力的平衡條件）d：求出所有的基本未知量（解典型方程）Zie：疊加出最后M圖 f：取各桿平衡 M圖Þ桿端剪力ÞQ圖各結點平衡：桿端軸力ÞN

28、圖例： 則；例：§10-5直接由平衡條件建立位移法方程 這種位移法求超靜定結構的最后內(nèi)力比較死，步驟十分清楚，每步作法對不同題目類似，位移法方程已經(jīng)統(tǒng)一形式，不易錯。蘇聯(lián)人喜歡這樣做，而英國紳士卻不愿意這樣做，他們喜歡比較自然的位移法，這就是我們今天要討論的內(nèi)容：以一些結點位移為基本未知量，不通過基本結構，直接依據(jù)轉角位移方程利用原結構的平衡條件建立位移法方程。下面用一個小例子來說明這種方法：忽略軸向變形及剪切變形產(chǎn)生jA。 Û + 將jA當成支座位移的外因，原結構的計算兩個單跨靜定梁的計算。AC：AB：只要知道jAÞ桿端MÞ區(qū)段疊加法作M圖ÞQ、N圖。A點剛結點，力矩平衡：MAB+MAC=07、一端固定、一端定向支承的等截面直桿（單跨超靜定梁）的轉角位移方程：在用位移法計算下列半剛架時，有幾個未知量呢？求解步驟和以前一樣（半），多了一個先處理和后處理。§10-6對稱性的利用 一、復習前面已講過的內(nèi)容： 1、對稱結構1） 結構的幾何形式和支承情況對某軸對稱；2） 桿件截面尺寸（A、I）和材料性質(zhì)（E、G、），也對此軸對