數(shù)學(xué)(文)二輪復(fù)習(xí)通用講義：專題七第二講選修4-5不等式選講

1、第二講選彳4-5不等式選講考情分析1 .不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一，考查的重點是絕對值不等式的解法以及不等式的證明，其中絕對值不等式的解法以及絕對值不等式與函數(shù)綜合問題的求解是命題的熱點.2 .該部分命題形式單一、穩(wěn)定，難度中等，備考時應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用.考點一絕對值不等式的解法典例感悟典例(2018全國卷n)設(shè)函數(shù)f(x)=5|x+a|-|x-2|.(1)當a=1時，求不等式f(x)>0的解集；(2)若f(x)<1,求a的取值范圍.2x+4,x<-1,解(1)當a=1時，f(x)=<2,-1<x<2,I-2x+6,x>2.當x<1時，

2、由2x+4>0,解得一2Wx<1；當一1WxW2時，顯然滿足題意；當x>2時，由一2x+6>0,解得2<xW3,故f(x)>0的解集為x|2WxW3.(2)f(x)W1等價于|x+a|+|x2|>4.而|x+a|+|x2|>|a+2,且當x=2時等號成立.故f(x)W1等價于|a+2|>4.由|a+2|>4可得aw6或a>2.所以a的取值范圍是(一8,-6u2,+2.方法技巧絕對值不等式的5種常用解法(1)基本性質(zhì)法：對aCR+,|x|<a?a<x<a,|x|>a?x<a或x>a.(2)平方法

3、：兩邊平方去掉絕對值符號.(3)零點分區(qū)間法：含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分區(qū)間法脫去絕對值符號，將其轉(zhuǎn)化為與之等價的不含絕對值符號的不等式(組)求解.(4)幾何法：利用絕對值的幾何意義，畫出數(shù)軸，將絕對值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點的距離求解.(5)數(shù)形結(jié)合法：在直角坐標系中作出不等式兩邊所對應(yīng)的兩個函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解.演練沖關(guān)(2019屆高三沈陽模擬)已知函數(shù)f(x)=|x-a|+3x,其中aCR.當a=1時,求不等式f(x)>3x+|2x+1|的解集；(2)若不等式f(x)wo的解集為x|xv1,求a的值.解：當a=1時,f(x)=|x-1|+3x,由f(x)>

4、;3x+|2x+1|,得|x1|2x+1|>0,當x>1時，x1(2x+1)>0,得xw2,無解；當一xw1時，1X(2x+1)>0,得一-<x<0;1I當xva時，1x+(2x+1)>0,得一2Wxv、.不等式的解集為x|2&XV0.(2)法一：由|xa|+3xW0,x>a,x<a,可得1或f4xa<0|2x+a<0,(g.kx>a,x<a,即SA或SAdd卜3lx<-2-al當a>0時，不等式的解集為pc|x<-J由一：=1,得a=2.當a=0時，不等式的解集為x|x<0,不合題意

5、.當a<0時，不等式的解集為由=1,得a=-4.綜上，a=2或a=4.法二：當x>a時，f(x)=4x-a,函數(shù)f(x)為增函數(shù),由不等式f(x)wo的解集為x|xv1得，f(-1)=4X(-1)-a=0,得a=-4.當xa時，f(x)=2x+a,函數(shù)f(x)為增函數(shù)，由不等式f(x)wo的解集為x|xw1得，f(1)=2X(1)+a=0,彳#a=2.經(jīng)檢驗，a=2或a=4都符合題意，故a的值為2或4.考點二不等式的證明典例感悟典例(2017全國卷n)已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明：(1)(a+b)(a5+b5)>4;(2)a+b<2.證明(1)(

6、a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)22a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2b2)2>4,當且僅當a=b=1時取等號.23(2)因為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)<2+4a+b)=2+(一4所以(a+b)3w8,因此a+b<2,當且僅當a=b=1時取等號.方法技巧證明不等式的常用方法不等式證明的常用方法有比較法、分析法、綜合法、反證法等.(1)如果已知條件與待證結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，則考慮用分析法.(2)如果待證的是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的問題，則考慮用反證法.演練沖關(guān)設(shè)不等

7、式|x+1|x1|<2的解集為A.(1)求集合A;1abc(2)右a,b,cCA,求證：abc>1.2,x>1,解：(1)由已知，令f(x)=|x+1|-|x-1|=22x,-1<x<1,由|f(x)|<2得一1<x<1,即12,x<1,A=x1<x<1.1abc(2)證明：要證>1,只需證|1-abc|>|ab-c|,abc只需證1+a2b2c2>a2b2+c2,只需證1a2b2>c2(1a2b2),只需證(1a2b2)(1c2)>0,由a, b, cC A,得1<ab<1, c2&l

8、t;1,所以(1 a2b2)(1 c2)>0 恒成立.綜上,1 abcab c>1.考點三含絕對值不等式的恒成立問題典例感悟典例(2018全國卷I)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)當a=1時，求不等式f(x)>1的解集；(2)若xC(0,1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍.2,x<-1故不等式f(x)>1解(1)當a=1時，f(x)=|x+1|x1|,即f(x)=$2x,-1<x<12,x>1.1x>2(2)當xC(0,1)時|x+1|ax1卜x成立等彳于當xC(0,1)時|ax1|<1成立.若aw。，則

9、；所以2>1,故 0<a<2.一，_一2當xC(0,1)時，|ax1|>1;右a>0,貝“ax1|<1的解集為lx0<x<-a綜上，a的取值范圍為(0,2.方法技巧已知不等式恒成立求參數(shù)范圍問題的3種解法分離參數(shù)法運用“f(x)Wa恒成立？f(x)maX<a,f(x)>a恒成立？f(x)min>a”可解決恒成立中的參數(shù)取值范圍問題更換主元法對一些含參不等式恒成立問題，若直接從主兀入手非常困難或不可能解決問題時，可轉(zhuǎn)換思維角度，將主元與參數(shù)互換，常可得到簡捷的解法數(shù)形結(jié)合法在研究曲線交點的恒成立問題時數(shù)形結(jié)合，揭示問題所蘊含的幾何

10、背景，發(fā)揮形象思維與抽象思維的優(yōu)勢，可直接解決問題演練沖關(guān)已知函數(shù)f(x)=|2x+1|-|2x-3|,g(x)=|x+1|+|x-a|.(1)求f(x)>1的解集;(2)若對任意的tCR,sCR,都有g(shù)(s)>f(t).求a的取值范圍.解：(1)因為函數(shù)f(x)=|2x+1|-|2x-3|,故f(x)R1,等價于|2x+1|-|2x-3|>1,等價于廠；-2x-1-(3-2x戶1,2x+1(32x廣1,33x>-,或$22x+1-(2x-3廣1.無解，解得3>x>3，解得x>3.242綜上可得，不等式的解集為x|x>31：(2)若對任意的tCR

11、,SCR,都有g(shù)(s)>f(t),可得g(x)min>f(x)max.函數(shù)f(x)=|2x+1|-|2x-3|<|2x+1(2x3)|=4,.f(x)max=4.g(x)=|x+1|+|x-a|>|x+1-(x-a)|=|a+1|,故g(x)min=|a+1|.|a+1|>4,解得a>3或a<-5.故a的取值范圍為a|a>3或aw5.課時跟檢測*存在實數(shù)x使1. (2018廣州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=|xm|+|x|,mCNf(x)<2成立.(1)求實數(shù)m的值；(2)若1,1,f(a)+f(3)=4,求證：4+：>3.(X

12、p解：(1)因為|xm|十|x|引(xm)-x|=|m|.所以要使不等式|x-m|十|x|<2有解，則|m|<2,解得一2Vm<2.因為mCN*,所以m=1.(2)證明：因為1,1,所以f(a)+f(3=2a1+23-1=4,即a+片3,所以一十4114+1a83.4 3 a 1 i, J曠*2=35+當且僅當手.即“=2,3=1時等號成立，故烏+*3.(Xp2. (2018唐山卞莫擬)設(shè)f(x)=|x|+2|xa|(a>0).(1)當a=1時，解不等式f(x)W4;(2)若f(x)>4,求實數(shù)a的取值范圍.2-3x,x<0,解：(1)當a=1時，f(x)=

13、|x|+2|x-1|=2-x,0<x<1,3x-2,x>1.當x<0時，由23xW4,得一2Wx<0;3當0WxW1時，由2xw4,彳導(dǎo)0WxW1；當x>1時，由3x2W4,得1<xW2.綜上，不等式f(x)W4的解集為一3，2L2a-3x,x<0,(2)f(x)=|x|+2|xa|=2ax,0<x<a,13x2a,x>a.可見，f(x)在(00,a上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增.當x=a時，f(x)取得最小值a.若f(x)>4恒成立，則應(yīng)a>4.所以a的取值范圍為4,+8).3. (2018全國卷出)設(shè)函數(shù)f

14、(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)畫出y=f(x)的圖象；(2)當xC0,+8)時，f(x)<ax+b,求a+b的最小值.1/-3x,x<2，解：(1)f(x)=x+2,-2<x<1,'3x,x>1.y=f(x)的圖象如圖所示.(2)由(1)知，y=f(x)的圖象與y軸交點的縱坐標為2,且各部分所在直線斜率的最大值為3,故當且僅當a>3且b>2時，f(x)<ax+b在0,十8)成立，因此a+b的最小值為5.4. (2018開封模擬)已知函數(shù)f(x)=|x-m|,m<0.(1)當m=1時，求解不等式f(x)+f(-x)>2

15、-x;(2)若不等式f(x)+f(2x)<1的解集非空，求m的取值范圍.解：設(shè)F(x)=f(x)+f(-x)=|x-1|+|x+1|-2x,x<-1,=2,1<x<1,G(x尸2-x,2x,x>1,由F(x)>G(x)解得x|xw2或x>0.(2)f(x)+f(2x)=|xm|+|2xm|,m<0.設(shè)g(x)=f(x)+f(2x),當xWm時，g(x)=mx+m2x=2m3x,則g(x)>m;m當m<x<2時，g(x)=xm+m2x=x,則一；<g(x)<一m;m當x>2時，g(x)=xm+2xm=3x2m,則

16、g(x"-m則g(x)的值域為m,+8j不等式f(x)+f(2x)<1的解集非空，即1>解得m>-2,由于m<0,則m的取值范圍是(一2,0).5. (2018昆明模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|+x+；(aw0,aCR).(1)當a=1時，解不等式f(x)W5;(2)記f(x)的最小值為g(a),求g(a)的最小值.解：(1)當a=1時,f(x)=|x1|+|x+2|,2x+1,x>1,故f(x)=33,-2<x<1,I2x1,x<2.當x>1時，由2x+1W5,得xW2,故1<xW2;當一2WxW1時，由3W5,彳#xR

17、,故一2WxW1；當x<一2時，由一2x1W5,得x>一3,故一3Wx<2.綜上，不等式的解集為3,2.(xa 尸a十一2(2)f(x)=|x-a|+x+a且僅當xa+a0時等號成立所以g(a)=a+a，因為a+a=|a|十|2封24同用=2亞,當且僅當|a|=2,a即a=W2時等號成立，所以g(a)min=2J2.6. (2018陜西模擬)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1)解不等式f(x)W3;(2)記函數(shù)g(x)=f(x)+|x+1|的值域為M,若tCM,證明：t2+1>3+3t.<3x，xw1,1解：(1)依題意，得f(x)=22X,1<

18、;x<2,1L3x,x>2，xw 1,于是 f(x)< 3? f|- 3x< 3-1<x<1,或 22-x<3或；x43x< 3,解得一1WxW1.故不等式f(x)W3的解集為x|一1WxW1.(2)證明:g(x)=f(x)+|x+1|=|2x-1|+|2x+2|引2x12x2|=3,當且僅當(2x1)(2x+2)W0時取等號，M=3,+8).t2+1R；+3t等價于t2-3t+1->0,23t3-3t2+t-3(t-3ft2+1)t23t+1-=xt3ttt.tM,.t-3>0,t2+1>0,.I!L0,t2+1>3+3

19、t.7. (2018福州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|.(1)求不等式f(x)W3f(x1)的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式f(x)wf(x+1)|xa|的解集為M,若1,2bM,求實數(shù)a的取值范圍.解：(1)因為f(x)<3-f(x-1),所以|x-1|w3|x-2|,即|x1|十|x2|W3,x<1,1<x<2,x>2,則或或3-2x<33|2x-3<3,解得0Wx<1或1WxW2或2<xW3,所以0WxW3,故不等式f(x)<3-f(x-1)的解集為0,3.一3"L一(2)因為1,2?M,所以當xC1,3h寸，f(x)wf(x+1)|xa|恒成立，而f(x)w