特級教師明知白拋物線的一個重要模型

1、拋物線焦點弦模型DOyAFBCx【模型思考】過拋物線焦點的直線，交拋物線于兩點，則稱線段為拋物線的焦點弦。過拋物線的焦點弦的端點分別拋物線準線的垂線，交于，構成直角梯形（圖1）.這個圖形是拋物線問題中極為重要的一個模型，圍繞它可以生出許多重要的問題，抓住并用好這個模型，可以幫助我們學好拋物線的基本知識與基本方法，同時，圖1它又體現了解析幾何的重要思想方法。在圖1中，有哪些重要的幾何量可以算出來？又可以獲得哪些重要結論呢?【模型示例】設直線的傾角為，當時，稱弦為通徑。例1. 求通徑長.例2 求焦點弦長.例3. 求的面積.例4. 連.例5. 設準線與軸交于點，求證：是與的比例中項，即 .例6. 如

2、圖3，直線交準線于，求證：直線 軸. （多種課本中的題目）例7設拋物線的焦點為，經過點的直線交拋物線于兩點.點在拋物線的準線上，且軸. 證明直線經過原點.例8. 證明：梯形中位線MN長為.例9. 連.例10. 求證：以線段為直徑的圓與準線相切.例11. 連NF，證明：NFAB，且.例12. 已知拋物線的焦點為F，是拋物線的焦點弦，過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M. （I）證明：點在拋物線的準線上；（）求證：·為定值； 【模型解析】設直線的傾角為，當時，稱弦為通徑。例1 求通徑長.解： 由于， 當時，代入中，得 .例2 求焦點弦長.解法一：設，當由得， . . . ，準線方

3、程， .由知， .當，由（一）知.說明： 因此，由 得特別，當是通徑長。解法二：設.由 得 . .（由得） . .【重要說明】（）關于直線方程的設定，上面用了兩種形式，各有優(yōu)劣。對于拋物線，多用，對于拋物線，多用（）上面的解法體現了解決拋物線問題乃至解析幾何問題的基本思想方法，要多多玩味。其中的多步變形，要熟練掌握，其結果可以作為公式使用。（）如果給出，其焦點弦長的求法類似上面的解法，但要特別的注意，為直線的夾角?？傊瑨佄锞€焦點弦長結論中，為直線的夾角。此外，上述兩種解法中，還得出了兩個重要結論：與均為定值：（由得），以及【探究】拋物線的焦點弦為，設，則有 ，此命題的逆命題是否成立？為什么？

4、例3 求的面積.解法一：直線的方程為：，即.DOEyAFBCx（由得）,解法二： （由得）（由得）例4 連.DOEyAFBCx證明：設，則 ,圖2 故.例5 設準線與軸交于點，證明：是與的比例中項，即 .容易證明，留給讀者完成。例6 如圖3，直線交準線于，證明：直線 軸. （多種課本中的題目）分析：只要證兩點縱坐標相同。證明：設，則.圖3 它與準線方程聯立,得.由得.因此兩點縱坐標相同，軸.例7 設拋物線的焦點為，經過點的直線交拋物線于兩點.點在拋物線的準線上，且軸.證明：直線經過原點.分析：只要證.證法1：如圖3，設，再設直線的方程為.圖3 ， 三點共線.證法2：如圖4，設與相交于，準線與軸

5、交于.軸.D圖4 E （即），（即）.又 即點是的中點，與拋物線的頂點重合，所以直線經過原點.【專家點評】2001年試題評價報告（高考專家組）指出：理科（19）題（即上題）是課本習題八第8題（系指），第13題（系指（六）的轉化，揭示了拋物線的一個本質屬性：“若拋物線的焦點為，是拋物線上的兩點.點在它的準線上，且軸.則三點共線的充要條件是共線。【探究】上面的課本題與高考題共有三個條件與一個結論（對于拋物線及圖3）：弦過焦點；點在準線上；軸； 過頂點.可組成以下四個命題：圖3 （高考題） （課本題）是否正確？xq_OMDNEDACFBy例8 證明： 梯形中位線MN長為.留給讀者做。例9 連.證明較

6、難，留作習題。例10 證明：以線段為直徑的圓與準線相切。由例9，這個性質是顯然成立的。例11 連NF，證明：NFAB，且.圖5證明：設，又設直線的方程為，則， （由得） 此即在為斜邊上的高，故有說明：在平面幾何中，有下述定理：斜邊上的高是的比例中項。例12 已知拋物線的焦點為F，是拋物線的焦點弦，過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M. （I）證明：點在拋物線的準線上；（）求證：·為定值； 證明：（I）設，圖6則由已知，設直線的方程為：，則由得 由得，所以過兩點的切線方程分別為：即 【注：過點(的切線方程為：】由上式可得顯然 故因此，.由于拋物線準線方程為，故點在拋物線的準線上

7、。因此，·為定值，其值為0.【推廣】 過拋物線的焦點F的直線交拋物線于 A、B兩點，過A、B兩點的切線交于點M，則點M在拋物線的準線上，且【小結】由拋物線的焦點弦所構成的直角梯形中蘊涵著豐富多彩的內容，可以獲得多達十多條的重要結論，它涉及拋物線的定義與基本性質，在解決各類問題時，又貫穿著解析幾何的基本思想方法，其中尤以求拋物線弦長時的兩種方法集中體現了解決拋物線問題的基本思路與常用方法，應予以牢固把握。 上面十多條結果歸納起來有：（1）焦點弦長（通徑長）；（2）的面積；（3）梯形中位線長；（4）；圖7（5）；（6）兩組直角三角形： 以及相應的比例線段；（7）為直徑的圓與準線相切；（8

8、）過拋物線上兩點的切線的交點落在準線上，且習 題1.（高考題）過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線，交拋物線于A、B兩點，若AB的長為8，則p= .分析：由例2知，由已知4p=8,故p=2.2. 拋物線線的焦點為F,其焦點弦為AB,直線AB與y軸的夾角為，則= .分析：仿例2可得：=.3. 已知直線與拋物線交于M、N兩點，O為坐標原點，求弦MN的長及的面積。解： 在直線上，MN為焦點弦，且傾角為，故. 4. （高考題）過拋物線焦點F作一直線交拋物線于兩點，若線段PF與QF的長分別為p，q，則等于 解1（解析法）：較繁，略。解2（向量法）：設，由及定義可知： 因為F分的定比為故因此選C.解3：取特例，PQ為通徑，即則所以選C.5. 直線AB交拋物線于A、B兩點，作軸交拋物線準線于C,且A、O、C共線，證明：直線AB過拋物線的焦點F。證明：設，AB與x軸交于點故直線AB的方程為代入中，得故. 直線AO的方程為它與準線方程聯立得又軸，故于是即.由