屆北京先知文化中心高三數(shù)學(xué)模擬測(cè)試(一)

1、2009屆北京先知文化中心高三模擬測(cè)試(一)數(shù)學(xué)試題（試卷總分150分 考試時(shí)間120分鐘第卷（選擇題 共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）.1、設(shè)集合，則 ( ). . . .2、（理）已知復(fù)數(shù)，則（ ）A. 2 B. 2 C. D. （文）若為銳角，且，則（）A B C D3、若等差數(shù)列滿足，則的值是（ ）A20 B36 C24 D724、已知是的高的交點(diǎn)， 則有（ ）A BC D5、三鹿奶粉添加三聚氰胺的問(wèn)題引起了全社會(huì)的關(guān)注。某市質(zhì)量監(jiān)督局為了保證人民的飲食安全要對(duì)超市中奶粉的質(zhì)量進(jìn)行專項(xiàng)抽查，已知該地區(qū)超市中賣

2、的各種類型的奶粉的分布情況如下：老年人專用奶粉300種，普通奶粉240種，嬰幼兒奶粉360種，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取150種進(jìn)行檢驗(yàn)，則這三種型號(hào)的奶粉依次應(yīng)抽?。?） A. 18種，12種，24種 B. 7種，30種，10種C. 50種，40種，60種 D. 8種，21種，18種6、設(shè)正數(shù)，則“”是“”的（ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件7、奇函數(shù)在上的解析式為，則不等式的解集為（ ）A B CD8、（理）已知的展開(kāi)式中的系數(shù)與的展開(kāi)式中的系數(shù)的和為（）ABCD（文）若的展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則滿足要求的最小偶數(shù)是（ ）A2 B6 C8 D10

3、9、（理）為得到函數(shù)的圖像，可將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度或向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度（均為正數(shù)），則的最小值是（ ）A B C. D（文）為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象按照向量平移，則可以為（）ABCD10、（理）拋物線的焦點(diǎn)為，其上的動(dòng)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為若，則的橫坐標(biāo)是（ ） （文）一動(dòng)圓的圓心在拋物線上，且動(dòng)圓恒與直線相切，則此動(dòng)圓必過(guò)定點(diǎn)（）A B C D11、（理）在三棱錐中，則下面一定成立的是（ ）A. B. C. D. （文）用與球心距離為的平面去截球，所得截面的面積為，則截面直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的球面距離為 ( ) A. B. C. D. 12、（理）下表為第29屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜前10名

4、，設(shè)表示從“金牌、銀牌、銅牌、總數(shù)”4項(xiàng)的獎(jiǎng)牌數(shù)中任取不同兩個(gè)構(gòu)成的一個(gè)排列，按下面的方式對(duì)10個(gè)國(guó)家進(jìn)行排名首先按由大至小排序（表格中從上至下），若值相同，則按值由大至小排序，若值也相同，則順序任意，那么在所有的排序中，中國(guó)的排名之和是（ ）A15 B20 C24 D27（文）一次演講比賽中，需要安排10名選手的出場(chǎng)順序，方法是按照姓氏筆畫(huà)順序（由少至多），如姓氏筆畫(huà)相同則順序任意，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)10名選手中姓氏4畫(huà)的有2人，5畫(huà)的有3人，6畫(huà)的4人，7畫(huà)有1人，則不同的出場(chǎng)順序共有（ ）A24種 B48種 C144種 D288種第卷（非選擇題 共90分）二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，

5、共20分.把答案填在題中橫線上.)13、已知函數(shù)的反函數(shù)為，若，則a = .14、一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長(zhǎng)為a，則這個(gè)球的體積為 .15、將一個(gè)長(zhǎng)、寬分別是8，7的鐵皮的四角均切去邊長(zhǎng)為的正方形，然后折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體的盒子，則當(dāng)這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線最短時(shí)，的值為 .16、（理）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線，已知的頂點(diǎn),，若其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是 （文）已知的兩頂點(diǎn)A、B是雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，頂點(diǎn)C在雙曲線右支上，則三、解答題（本大題共6

6、小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17、（本小題滿分10分）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，且（1）求證：（2）當(dāng)時(shí)，求18、（本小題滿分12分）第29屆奧運(yùn)會(huì)期間，來(lái)自美國(guó)和英國(guó)的共計(jì)6名志愿者被隨機(jī)地平均分配到跳水、籃球、體操這三個(gè)崗位服務(wù)，且跳水崗位至少有一名美國(guó)志愿者的概率是（1）求6名志愿者中來(lái)自美國(guó)、英國(guó)的各幾人（2）求籃球崗位恰好美國(guó)人、英國(guó)人各一人的概率（3）（只理科作）設(shè)隨機(jī)變量為在體操崗位服務(wù)的美國(guó)志愿者的個(gè)數(shù)，求的分布列及期望19、（本小題滿分12分）如圖，已知平面，平面，三角形為等邊三角形，為的中點(diǎn)（1）求證：平面（2）求證：平面平面（3）求二面角的

7、大小20、（本小題滿分12分）（理）設(shè)函數(shù)（1）若存在使不等式能成立，求實(shí)數(shù)的最小值（2）若關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（文）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為且滿足：，數(shù)列滿足：（1）求（2）設(shè)，求的通項(xiàng)公式；21、（本小題滿分12分）已知橢圓的右準(zhǔn)線方程為，右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(1)求橢圓的方程(2)是否存在過(guò)點(diǎn)且與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),使得,并說(shuō)明理由.22、（本小題滿分12分）（理）在數(shù)列中，a1=2，b1=4，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（）（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；（2）證明：數(shù)學(xué)答案解析及

8、評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1、B ，故2.（理） B （文）可得，故3. C 因，得，得，則， ，則4 點(diǎn)是的高的交點(diǎn)，則 因此同理可得: ,5、C 根據(jù)分層抽樣的知識(shí)可知，抽樣比為，則老年人專用奶粉應(yīng)該抽取30050種，普通奶粉24040種，嬰幼兒奶粉36060種.從而可知答案選C6. A ，平方得， 但反之無(wú)法推出，故是充分而不必要條件7、B 根據(jù)奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，觀察圖像即可8（理） 所求和為（文）B ，,，則滿足要求的最小偶數(shù)是69、（理）B 由周期性可知，則，易知當(dāng)時(shí)，（文），比較可得10、（理）A ，故，由拋物線定義可知，故是等邊三角形，必有，說(shuō)明F在的垂直平分線上，故，得M的橫坐標(biāo)是（文）D

9、依題意得為拋物線的準(zhǔn)線，由拋物線定義知圓心到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)的距離相等，故圓必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)11、（理）B 易知， ,由，故，故11.（文）A 截面半徑為1，設(shè)球半徑為，則，得，當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)是截面直徑端點(diǎn)時(shí)易得球心角為60°，則球面距離為12、（理）D 提示：分類討論：若為金牌，3種排序中，中國(guó)均第1；若為銀牌，在銀牌-金牌，銀牌-總數(shù)兩種排序中，中國(guó)均第2，在銀牌-銅牌的排序中，中國(guó)排第2或第3；若為銅牌，在銅牌-金牌，銅牌-總數(shù)的排序中，中國(guó)均第2，在銅牌-銀牌的排序中，中國(guó)排第2或第3；若為總數(shù)，則3種排列中國(guó)均第2；故在所有的排序中，中國(guó)的排名之和為，選D（文）D 提示：安排4

10、畫(huà)的方法有種，5畫(huà)的方法有種，6畫(huà)的方法有種，7畫(huà)的方法有1種，由分步計(jì)數(shù)原理得=288種136 ， ，.14a的正方體，而一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，即這個(gè)球與正方體的六個(gè)面都相切，因此，球的半徑即為正方體棱長(zhǎng)的，即R=a)3Feq f(,24)pa3.15 設(shè)對(duì)角線為，則，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性可知當(dāng)時(shí)有最小值，且，是符合實(shí)際情況的16、（理） AB中點(diǎn)為（1，2），直線AB的垂直平分線方程為，將其與歐拉線方程聯(lián)立，解得外心（，1），設(shè)C(a，b)，則重心，有與，聯(lián)立得或（舍）（文）17、(10分)解：（1）在中，由正弦定理及，可得即，故； 5分（2），故，得，因，故，于是，所以當(dāng)時(shí)， 1

11、0分18.(12分)解：（1）記至少一名美國(guó)志愿者被分到跳水崗位為事件，則的對(duì)立事件為“沒(méi)有美國(guó)志愿者被分到跳水崗位”，設(shè)有美國(guó)人個(gè)，那么，解得，即來(lái)自美國(guó)的2人，來(lái)自英國(guó)的4人4分（2）記籃球崗位恰好美國(guó)人、英國(guó)人各有一人為事件，那么，所以籃球崗位恰好美國(guó)人、英國(guó)人各一人的概率是理8分文12分（3）（只理科作）的所有可能值為0，1，2， ， 故有分布列012P從而（人）理12分19(12分)（1）證明：取的中點(diǎn)，連，為的中點(diǎn) ，而平面，平面，故，又，四邊形為平行四邊形,又所以平面 3分（2）為等邊三角形，而故平面 5分，平面所以平面平面 7分（3）在平面內(nèi)作交于，在平面內(nèi)作交于，連 平面平面

12、 平面，由三垂線定理得為二面角的平面角 9分設(shè)，則， 10分又，其中 所以二面角的大小為（或） .12分方法二：設(shè)，則；由已知得建立如圖所示的坐標(biāo)系， 則：為的中點(diǎn)， 2分（1）證明： 3分，A不在平面內(nèi)，平面 4分（2） 5分， 6分平面，又平面平面平面 7（3）設(shè)平面的法向量為由可得： 設(shè)平面的法向量為由可得： 9分 二面角的大小為 12分20.(12分)（理） 解：（1）設(shè)在的最小值為，依題意有， 當(dāng)時(shí)，故在為增函數(shù)， ，于是，即實(shí)數(shù)的最小值為1 6分 （2）依題意得，在上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，令，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，8分算得，即，故應(yīng)有，故12分（文）解：（1）由得： 則 當(dāng)時(shí)， 故為等比數(shù)列，且 6分 （2）由得： 因，故 8分 為等比數(shù)列，首項(xiàng)；公比 12分21.(12分)解.：(1)由題意可知，又，解得，橢圓的方程為；4分（2）由（1）得，所以.假設(shè)存在滿足題意的直線，設(shè)的方程為，代入，得，設(shè)，則 ，6分，而的方向向量為，;于是當(dāng)時(shí),，也即存在這樣的直線;當(dāng)時(shí),不存在，即不存在這樣的直線 .12分22.（理）解：（1）由條件得，由此可得猜測(cè)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，由上可得結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，那么當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立由，可知對(duì)一切正整數(shù)都成立6分（2）時(shí)，由（1）知故綜上，原不