導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3

1、第五講定積分的簡單應(yīng)用知識(shí)梳理知識(shí)盤點(diǎn)1定積分在幾何中的應(yīng)用（1）當(dāng)有時(shí)，由直線和曲線圍成的曲邊梯形的面積（2）當(dāng)有時(shí)，由直線和曲線圍成的曲邊梯形的面積（3）當(dāng)有時(shí)，由直線和曲線圍成的曲邊梯形的面積（4）若是偶函數(shù)，則；若是奇函數(shù)，則2定積分在物理中的應(yīng)用（1）作變功直線運(yùn)動(dòng)的物體在時(shí)間區(qū)間上所經(jīng)過的路程（2）在恒力的作用下，物體沿力的方向作直線運(yùn)動(dòng)，并且由運(yùn)動(dòng)到，則力對(duì)物體所做的功（3）在恒力的作用下，物體沿與力的方向成角的方向作直線運(yùn)動(dòng)，并且由運(yùn)動(dòng)到，則力對(duì)物體所做的功（4）在變力的作用下，物體沿力的方向作直線運(yùn)動(dòng)，并且由運(yùn)動(dòng)到，則力對(duì)物體所做的功（5）在變力的作用下，物體沿與力的方向成角

2、的方向作直線運(yùn)動(dòng)，并且由運(yùn)動(dòng)到，則力對(duì)物體所做的功特別提醒1研究定積分在平面幾何中的應(yīng)用，其實(shí)質(zhì)就是全面理解定積分的幾何意義，當(dāng)平面圖形的曲邊在軸上方時(shí)，容易轉(zhuǎn)化為定積分求其面積；當(dāng)平面圖形的一部分在軸下方時(shí)，其在軸下的部分對(duì)應(yīng)的定積分為負(fù)值，應(yīng)取其相反數(shù)（或絕對(duì)值）；2求含有曲邊的平面圖形的面積問題時(shí)，在平面幾何中是很難解決的問題，而定積分為這類問題的求解提供了很好的解決方法，這充分顯示了定積分的巨大作用；3利用定積分解決簡單的物理問題，關(guān)鍵是要結(jié)合物理學(xué)中的相關(guān)內(nèi)容，將物理意義轉(zhuǎn)化為用定積分解決.基礎(chǔ)闖關(guān)1.已知曲線在軸的下方，則由和所圍成的曲邊梯形的面積可表示為( )ABCD2曲線與坐標(biāo)

3、軸圍成的面積是 （ ）A.4 B. C.3 D.23若與是上的兩條光滑曲線，則由這兩條曲線及直線所圍圖形的面積( )A B C D 4由與曲線所圍成的圖形的面積為（）ABCD5一物體以初速度的速度自由下落，則下落后的第二個(gè)內(nèi)所經(jīng)過的路程為。6.曲線與坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積是。典例精析例1求拋物線與直線圍成的平面圖形的面積.剖析先求出拋物線與直線的交點(diǎn)，將積分區(qū)間確定，再求定積分。解由方程組解出拋物線和直線的交點(diǎn)為（2, 2）及（8, 4）解法1:選x作為積分變量，由圖可看出S=A1+A2在A1部分：由于拋物線的上半支方程為，下半支方程為，所以（ ）8,-48（）2,2 于是：.解法二: 選y

4、作積分變量，將曲線方程寫為及 .警示對(duì)于求平面圖形的面積問題，應(yīng)首先畫出平面圖形的大概圖形，然后根據(jù)圖形的特點(diǎn)，選擇相應(yīng)的積分變量以確定積分區(qū)間，寫出圖形面積的積分表達(dá)式，再進(jìn)行求解。變式訓(xùn)練：1求由曲線與圍成的平面圖形的面積.例2已知函數(shù)在x=1處有極值-2（1）求常數(shù)a、b；（2）求曲線y=f(x)與x軸所包圍的面積。剖析利用待定系數(shù)法求出的值，以便于確定函數(shù)的解析式，再將y=f(x)與y=0聯(lián)立，以確定積分區(qū)間，利用定積分求平面圖形的面積。解（1），由f(1)=2及f(1)=0得：，解得；（2）由（1）知當(dāng)或時(shí)，f(x)<0，當(dāng)或時(shí)，f(x)>0，曲線y=f(x)與x軸所包圍

5、的面積： .警示要把定積分與利用定積分計(jì)算平面圖形的面積這兩個(gè)概念區(qū)分開，定積分是一種積分和的極限，可正，也可以為負(fù)數(shù)或零；而平面圖形的面積在一般意義下總是為正，因此當(dāng)時(shí)，要通過絕對(duì)值處理成正，一般情況下是借助定積分求出兩個(gè)曲邊梯形的面積，然后再相加。變式訓(xùn)練1 求與直線及軸所圍成圖形的面積。例3物體A以速度在一直線上運(yùn)動(dòng)，在此直線上與物體A出發(fā)的同時(shí)，物體B在物體A的正前方5m處以的速度與A同向運(yùn)動(dòng)，問當(dāng)兩物體何時(shí)相遇？相遇時(shí)物體A的走過的路程是多少？（時(shí)間單位為：s，速度單位為：m/s）剖析對(duì)速度函數(shù)積分即可得物體A所走過的路程，從而根據(jù)題意建立方程進(jìn)行求解。解解：設(shè)A追上B時(shí),所用的時(shí)間

6、為依題意有即，=5 (s)所以 =130 (m)因此5秒后兩物體相遇，此時(shí)物體A走過了130米。警示利用定積分解決物理問題，分清運(yùn)動(dòng)過程中的變化情況是解決問題的關(guān)鍵。應(yīng)注意的是加速度的定積分是速度，速度的定積分是路程。變式訓(xùn)練3. 列車以速度72km/h行駛，當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得的加速度，問列車應(yīng)在進(jìn)站前多少時(shí)候，以及多少距離處開始制動(dòng)？例4直徑為20cm，高為80cn的圓柱體內(nèi)充滿壓強(qiáng)為10N/cm2的蒸氣，設(shè)溫度保持不變，要使蒸氣的體積縮小為原來的一斗，求需要做多少功？剖析對(duì)變力F進(jìn)行定積分即可得變力所作的功。hxFO解設(shè)上端為活塞，且如圖所示取定軸.另設(shè)底面面積為，活塞壓縮至位置時(shí)氣體的體積

7、為，壓強(qiáng)為，由于（其中為常數(shù)），則，其中故所求的功為警示求變力作功問題，一般利用定積分加以解決，但要注意尋找積分變量與積分區(qū)間。變式訓(xùn)練4證明：將質(zhì)量為m的從地球表面升高至處的高空所做功為（其中是引力常數(shù)，是地球的質(zhì)量，為地球半徑）例5已知拋物線，將以（0，0），（b，0），（b，h），（0，h）為頂點(diǎn)的矩形分成兩部分，其面積之比為1：2，試求拋物線方程中的系數(shù)a剖析由于點(diǎn)（b，h）的位置可以在曲線的上方可能在其下方，故應(yīng)分兩種情況加以討論。解如圖分兩種情況討論：（1）如圖一：， ，由已知，解得.（2）如圖二：，由題意知：，解得。警示對(duì)于積分區(qū)間不定的問題，應(yīng)注意針對(duì)積分變量的不同進(jìn)行分類討論

8、，解決此類問題的最好的辦法是畫出示意圖，根據(jù)示意圖進(jìn)行探討。變式訓(xùn)練5設(shè)拋物線為過點(diǎn)A（1,2）的拋物線C的切線，求由曲線C、所圍成圖形的面積。例6（2005年上海模擬）設(shè)是二次函數(shù)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，且（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）若直線把的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的面積二等分，求的值。剖析要求的值，根據(jù)題意，利用面積相等建立方程，通過解方程求出的值。解（1）由于是二次函數(shù)，設(shè)，則，由已知得，即.又因?yàn)橛袃蓚€(gè)相等的實(shí)根，所以，即，即（1） 依題意知：，所以即所以，即，于是所以的值為警示對(duì)于未知函數(shù)的解析式求定積分的問題，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件先求出函數(shù)的解析式，然后再根據(jù)題意進(jìn)行求解。變式訓(xùn)練6已知點(diǎn)P

9、在曲線上，它的橫坐標(biāo)為，由點(diǎn)P作曲線的切線為切點(diǎn)）。（1）求切的方程；（2）求證：由上述切線與所圍成圖形的面積S與無關(guān)。 能力提升1與軸所圍成圖形的面積是（）A3B4C5D62根據(jù)推斷，直線和正弦函數(shù)所圍成的曲邊梯形的面積時(shí)，正確的結(jié)論為（）A面積為0B曲邊梯形在軸上方的面積大于其在軸下方的面積C曲邊梯形在軸上方的面積小于其在軸下方的面積D曲邊梯形在軸上方的面積等于其在軸下方的面積3（2006年山東煙臺(tái)）一輛汽車以速度的速度行駛，這輛汽車從到這段時(shí)間內(nèi)所行駛的路程為（）AB1C3D274已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）ABCD5以初速度堅(jiān)直向上拋擲一物體，秒時(shí)刻的速度為，則此物體所能到達(dá)的最高高度是（）ABCD6（2006年廣州調(diào)研）若兩曲線與直線及軸圍成的圖形的面積是，則的值為_7汽車以作變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，在第1秒至第2秒間的1秒內(nèi)經(jīng)過