211平面課件（人教A版必修2）

1、第二章點、直線、平面之間的位第二章點、直線、平面之間的位置關系置關系21空間點、直線、平面之間的位置關系空間點、直線、平面之間的位置關系21.1平面平面第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系新知初探思維啟動新知初探思維啟動1平面的有關概念平面的有關概念(1)定義：平面是最基本的不加定義的原始幾何概念，定義：平面是最基本的不加定義的原始幾何概念，平面無厚薄，無大小，是無限延展的，通常用平面無厚薄，無大小，是無限延展的，通常用_表示平面表示平面平行四邊形平行四邊形欄目欄目導引導引第二章

2、點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系(2)平面的表示法平面的表示法常把一個希臘字母如常把一個希臘字母如，或或等寫在表示平面的平行四邊等寫在表示平面的平行四邊形的一個角上來表示平面如圖形的一個角上來表示平面如圖所示，表示平面所示，表示平面.如如圖圖所示，表示平面所示，表示平面、平面、平面.也可以用表示平面的平行也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂點的大寫英文字四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱如圖母作為這個平面的名稱如圖所示中的平面所示中的平面，也可，也可以表示為平面以表示為平面ABCD、平面、平面AC或者平面或者平

3、面BD.欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系想一想想一想一個平面能把空間分成幾部分？一個平面能把空間分成幾部分？提示：提示：因為平面是無限延展的，一個平面把空間分成兩因為平面是無限延展的，一個平面把空間分成兩部分部分做一做做一做 1.下列說法：下列說法：書桌面是平面；書桌面是平面；8個平面重疊后，要比個平面重疊后，要比6個平面重疊個平面重疊后厚；后厚；有一個平面的長是有一個平面的長是100 m，寬是，寬是90 m；平面平面是絕對平滑，無厚度，無限延展的抽象概念是絕對平滑，無厚度，無限延展的抽象概念其中正確的個數(shù)為其中正確的個數(shù)為_答案：答案：1欄

4、目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系2點、直線、平面之間的位置關系及語言表達點、直線、平面之間的位置關系及語言表達文字語言表達文字語言表達圖形語言表達圖形語言表達符號語言表達符號語言表達點點A在直線上在直線上Al點點A在直線外在直線外A l點點A在平面內在平面內A欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系文字語言表達文字語言表達圖形語言表達圖形語言表達符號語言表達符號語言表達點點A在平面外在平面外_直線直線l在平面內在平面內_直線直線l在平面外在平面外或或 _A ll 欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之

5、間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系做一做做一做 2.如圖所示，點如圖所示，點A_平面平面ABC；點；點A_平面平面BCD；BD_平面平面ABD；平面；平面ABC平面平面BCD_.答案：答案： 直線直線BC欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系3平面的基本性質平面的基本性質(1)公理公理1文字語言：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那文字語言：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內么這條直線在此平面內符號語言：符號語言：Al，Bl，且，且A，B_圖形語言：圖形語言： l欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第

6、二章點、直線、平面之間的位置關系(2)公理公理2文字語言：過文字語言：過_的三點，有且只有的三點，有且只有一個平面一個平面符號語言：符號語言：A、B、C三點不共線三點不共線存在唯一的存在唯一的使使A、B、C.圖形語言：圖形語言： 不在一條直線上不在一條直線上欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系三個推論：三個推論：推論推論1：經過一條直線和直線外一點有且只有一個平面：經過一條直線和直線外一點有且只有一個平面 推論推論1亦可說成，直線及其外一點確定一個平面亦可說成，直線及其外一點確定一個平面推論推論2：經過兩相交直線有且只有一個平面：經過兩相交直線有

7、且只有一個平面推論推論3：經過兩平行直線有且只有一個平面：經過兩平行直線有且只有一個平面(3)公理公理3文字語言：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么文字語言：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的它們有且只有一條過該點的_圖形語言：圖形語言：公共直線公共直線l欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系做一做做一做 3.兩個平面重合的條件是兩個平面重合的條件是()A有三個公共點有三個公共點 B有無數(shù)個公共點有無數(shù)個公共點C有一條公共直線有一條公共直線 D有兩條相交公共直線有兩條相交公共直線解析：選解析：選D.兩條相交直線確定一

8、個平面兩條相交直線確定一個平面欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系典題例證技法歸納典題例證技法歸納題型一點線共面問題題型一點線共面問題例例1 已知已知a，b，c，d是兩兩相交且不共點的四條直是兩兩相交且不共點的四條直線，求證：線，求證：a，b，c，d共面共面【題型探究題型探究】【證明】(1)無三線共點情況，如圖.設 adM，bdN，cdP，abQ，acR，bcS.adM，a、d 可確定一個平面.Nd，Qa，N，Q.NQ，即 b.同理 c，a，b，c，d 共面欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系(2)

9、有三線共點的情況，如圖.設 b，d，c 三線相交于點 K，與 a 分別交于 N、P、M，且 Ka.Ka，K和 a 確定一個平面，設為.Na，a，N，NK，即 b.同理 c，d，a，b，c，d 共面由(1)(2)知 a，b，c，d 共面欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系【名師點評名師點評】四條直線兩兩相交且不共點有兩種情四條直線兩兩相交且不共點有兩種情況：一是無三線共點，二是有三線共點，要分兩種情況況：一是無三線共點，二是有三線共點，要分兩種情況加以證明加以證明欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系互

10、動探究互動探究 1若將本例中條件改為三條直線，且已知若將本例中條件改為三條直線，且已知ab，直線，直線l與與a，b都相交，交點分別為都相交，交點分別為A，B.如何證明直線如何證明直線a，b，l共面？共面？證明：直線 aba，b 確定平面laAAalbBBbA，BAl，Blla，b，l 共面欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系例例2 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，設中，設A1C平面平面ABC1D1E.求證：求證：B、E、D1三點共線三點共線【證明證明】如圖，連接如圖，連接A1B、BD1、CD1，A1C平面平面ABC1D1E

11、，EA1C，E平面平面ABC1D1.A1C平面平面A1BCD1，E平面平面A1BCD1.平面平面A1BCD1平面平面ABC1D1BD1，EBD1，B、E、D1三點共線三點共線題型二多點共線問題題型二多點共線問題欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系【名師點評名師點評】本題的方法是利用公理本題的方法是利用公理3證明這些點都是證明這些點都是兩個平面的公共點，則必在這兩個平面的交線上兩個平面的公共點，則必在這兩個平面的交線上欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系跟蹤訓練跟蹤訓練 2如圖所示，在空間四邊形各邊如

12、圖所示，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果四點，如果EF，GH交于一點交于一點P，求證：點，求證：點P在直線在直線BD上上證明：證明：EF，GH交于一點交于一點P又又EF平面平面ABD，GH平面平面CBD，P平面平面ABD，且，且P平面平面CBD，平面平面ABD平面平面CBDBD，由公理由公理3可得可得PBD.點點P在直線在直線BD上上欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系例例3 題型三多線共點問題題型三多線共點問題欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系【證明

13、】E，F(xiàn) 分別是 AB，AD 的中點，EFBD 且 EF12BD.又BGGCDHHC2，GHBD 且 GH13BD，EFGH 且 EFGH，四邊形 EFHG 是梯形，其兩腰所在直線必相交，設兩腰 EG，F(xiàn)H 的延長線相交于一點 P，EG平面 ABC，F(xiàn)H平面 ACD，P平面 ABC，P平面 ACD，又平面 ABC平面 ACDAC，PAC，故直線 EG，F(xiàn)H，AC 相交于同一點欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系【名師點評名師點評】證明本題的關鍵是證直線證明本題的關鍵是證直線EG與直線與直線FH相交，直線相交，直線AC經過該交點經過該交點欄目欄目導

14、引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系跟蹤訓練跟蹤訓練 3證明：三棱臺證明：三棱臺A1B1C1ABC三條側棱延長后相交于一點三條側棱延長后相交于一點證明：延長證明：延長AA1，BB1，設，設AA1BB1P，又又BB1面面BC1，P面面BC1，AA1面面AC1，P面面AC1，P為平面為平面BC1和面和面AC1的公共點，的公共點，又又面面BC1面面AC1CC1，PCC1，即即AA1，BB1，CC1延長后交于一點延長后交于一點P.欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系1證明多點、多線共面的常用方法證明多點、多線共面的常

15、用方法(1)直接利用公理直接利用公理2和它的三個推論判斷和它的三個推論判斷(2)先由給定的點和直線中的某些元素確定一個平面，其先由給定的點和直線中的某些元素確定一個平面，其理論依據(jù)是公理理論依據(jù)是公理2及其三個推論，再利用公理及其三個推論，再利用公理1證明其他證明其他元素在這個平面內元素在這個平面內(3)先說明一些元素在一個平面內，其余元素在另一個平先說明一些元素在一個平面內，其余元素在另一個平面內，然后證明這兩個平面重合證明兩個平面重合的面內，然后證明這兩個平面重合證明兩個平面重合的主要依據(jù)是確定平面的條件如例主要依據(jù)是確定平面的條件如例1.【方法感悟方法感悟】欄目欄目導引導引第二章點、直線

16、、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系2證明點共線的方法證明點共線的方法(1)首先找出兩個平面的交線，然后證明這若干點都是這首先找出兩個平面的交線，然后證明這若干點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理兩個平面的公共點，根據(jù)公理3，可推知這些點都在交線，可推知這些點都在交線上，即證若干點共線上，即證若干點共線(2)選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另外一些點都選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另外一些點都在這條直線上如例在這條直線上如例2.3證明三線共點的基本方法證明三線共點的基本方法(1)先確定待證的三線中的兩條相交于一點，再證明此點先確定待證的三線中的兩條相交于一點，再證明此點是

17、二直線所在平面的公共點，第三條直線是兩個平面的是二直線所在平面的公共點，第三條直線是兩個平面的交線由公理交線由公理3知，不重合的兩個平面的公共點在它們的知，不重合的兩個平面的公共點在它們的交線上，從而證明了三線共點交線上，從而證明了三線共點欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系(2)先將其中一條直線看作是某兩個平面的交線，證明該先將其中一條直線看作是某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，由三角形全等推導出交線與另兩條直線分別交于兩點，由三角形全等推導出線段相等，證明這兩點重合，從而證明三線共點線段相等，證明這兩點重合，從而證明三線共

18、點欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系精彩推薦典例展示精彩推薦典例展示 下列命題：下列命題：和平行直線和平行直線a，b都相交的兩條直線在同一個平面內；都相交的兩條直線在同一個平面內；三條兩兩相交的直線在同一平面內；三條兩兩相交的直線在同一平面內；有三個不同公共點的兩個平面重合；有三個不同公共點的兩個平面重合；兩兩平行的三條直線確定三個平面兩兩平行的三條直線確定三個平面其中正確的命題個數(shù)是其中正確的命題個數(shù)是()A4 B3C2 D1易錯警示易錯警示 因思考問題不全面，以偏概全而致誤因思考問題不全面，以偏概全而致誤 例例4欄目欄目導引導引第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系【常見錯誤常見錯誤】對對錯是比較容易看出的，對于錯是比較容易看出的，對于則容易以偏概全，思考問題不夠全面，忽略一部分可能則容易以偏概全，思考問題不夠全面，忽略一部分可能的結果錯選的結果錯選B.【解析解析】由兩條平行線確定一個平面可知由兩條平行線確定一個平面可知正確，對正確，對于于三條兩兩相交直線，